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第4讲:拉格朗日中值定理及应用一.典例分析手法1.刘维尔不等式例1.(2017天津)设,定义在上的函数在区间内有一个零点,为的导函数.(1)求的单调区间;(2)设,函数,求证:;(3)求证:存在大于0的常数,使得对于任意的正整数,且 满足.(公众号:凌晨讲数学)手法2.利普希茨条件上面例题便是关于刘维尔不等式在高考中的经典应用,下面我们再看以利普希茨条件为背景的2019天津卷导数题.例2.(2019天津理20)设函数为的导函数.(1)求的单调区间;(公众号:凌晨讲数学)(2)当时,证明.手法3.割线斜率.例3.已知函数 (1)讨论函数的单调性; (2)设,如果对任意,求的取值范围.解析:(2)法一:不妨设,而当时,由(1)可知在单调递减,从而,(公众号:凌晨讲数学)等价于,.构造函数,只需在单调递减,即在恒成立,分离变量法:,只需.(公众号:凌晨讲数学)法二:由拉格朗日定理知,等价于在存在,使得成立,只需恒成立,只需证明,得或(舍去).需要注意的是,拉格朗日定理并不是解决这类割线斜率问题的完美解决办法,很多题目盲目使用甚至还会出错,具体错误原因请见下面参考文献.参考文献:查晓东,金沛阳.割线斜率取值范围问题再研究.J.数学通讯.2020.07.2