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1、拉格朗日中值定理的一些应用摘要本文主要论述拉格朗日中值定理在函数极限计算、不等式证明以及根的存在性的判别这几个方面的应用.并给出实例进行说明.关键词: 拉格朗日中值定理 可导 连续Lagrange mean value theorem and some applicationsAbstractThis paper mainly discusses the Lagrange mean value theorem in computing function limit, the inequality proof as well as the root of existence theorem fo
2、r several aspects of this application and gives examples to illustrate.Key words: Lagrange mean value theorem can be mediated by continuous1引言拉格朗日中值定理是微分学最重要的定理之一,又称为微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数局部性研究函数整体性的重要工具.利用微分中值定理可用巧妙地解决一些问题,下面将论述拉格朗日中值定理在几个方面的应用.一 预备知识1. 定理：若函数满足如下条件：（1） 在闭区间上连续,（2） 在开区间上可导, 则
3、在内至少存在一点,使得.2. 拉格朗日中值定理的几何意义：若闭区间内有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点,过点的切线平行于过点的直线.3. 拉格朗日中值定理的证明：作辅助函数 . 已知函数在上连续,在开区间内至少存在一点.使得.而于是,即 .4. 拉格朗日中值定理和洛尔定理：洛尔定理：若函数满足如下条件：（1） 在闭区间上连续,（2） 在开区间上可导,（3）则在内至少存在一点,使得.通过比较可知洛尔定理是拉格朗日中值定理的当时的特殊形式. 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,而拉格朗日中值定理是柯西中值定理中时的特殊情况. 可惜中值定理：若函数与满足下列条件: (1)
4、 在闭区间上连续, (2) 在开区间上可导,且对,有,则在内至少存在一点,使得 二、拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用 若计算函数极限时,题目中出现有“”型或“”型的式子,并且 函数在连续,在上可导,满足拉格朗日中值定理的条件,此时可构造“”型或“”型,利用拉格朗日中值定理转变为导数形式进行极限计算,方便快捷;若果其中出现“”型或“”型或“”型或“”型,并且在上满足拉格朗日中值定理条件,则可直接利用拉格朗日中值定理进行转换计算极限.分析：此极限满足“”型,可用罗必达法则求解,但是用罗必达法则则须求很多次导数之比,非常麻烦,通过观察此极限发现它是“”型,只须令函数,则在区间上满足拉格朗日中值
5、定理条件,即,由于在上连续, 所以从而有. 分析：通过观察发现该题所求极限为“”.易知在区间上满足拉格朗日中值定理条件,运用拉格朗日中值定理得 ,解：原式 .分析：观察该例题,可以看出,此例题坟墓和分子两部分都是“”“”.同时该例题又符合柯西中值定理条件,在该例题中,可设,并且与在内可导,并且.于是在内至少存在一点使 解：,三.利用拉格朗日中值定理证明不等式 在证明不等式时,出现“”和“”的形式,并且在和上满足拉格朗日中值定理条件,则可以将不等式根据拉格朗日中值定理进行变换在证明；若在不等式的两边出现“”型,另一边出现“”型,则可将不等式变形为含“”在和“”型，则构造“”型. 例3.证明：,为
6、 分析：通过观察,不等式中“”为“”型,令.可知在上连续,当时, 在上连续, 则在区间上满足拉格朗日中值定理. 证明：,由于,则有,即.例4., . 分析：通过观察发现此不等式为“”,则在区间和上满足拉格朗日中值定理的条件. 证明：, 由于,则可知,即例5.证明不等式： 分析：例题中出现“”是“”型,此时可以考虑,在区间上的情况. 证明：设, 则在区间上连续,在开区间上可导,显然在区间上满足拉格朗日中值定理条件,则有则不等式右边 由于,并且,则,故原不等式成立. 在讨论函数根的存在性问题时,可利用函数与其导数之间的关系,借助拉格朗日中值定理（或罗尔定理）判别某些函数根的存在性.当需要判别某个函
7、数的导函数在某个区间是否有根时,若此函数在该区间上连续,则看该函数在这个区间上是否有两个或者有两个以上的点的函数值相等.若存在, 则其导函数在该区间有根；若不存在,则其导函数在该区间无根.当需要判别某个函数在某个区间上是否有根时,则看起导数在该区间上是否存在导数值为零的点.若存在使其导函数值为零的点,则原来的函数可能有根; 若不存在使其导函数值为零的点,则原来的函数一定不存在根. 这不是一个充要条件,说明利用拉格朗日中值定理判别根的存在与否有局限性 例6.证明：若方程有正根,则方程必存在小于的正根. 证明：令,则可知且在上连续,根据拉格朗日中值定理（或罗尔定理）可知,至少存在一个有,且,则可知方程至少存在一个根,且,故证毕.例7.方程在区间内没有两个不同的根. 证明：运用反证法,假设在区间内有两个相同的根,且.令,则在区间上连续, 则有在区间上满足拉格朗日中值定理（或罗尔定理）的条件,则有存在使得即存在使得.而即,解得,又.则假设不成立,故原命题得证. 1.同济大学应用数学.高等数学M.同济大学出版社.2004.132. 2.数学分析讲义(第五版).刘玉琏编.高等教育出版社.2007年5月.