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1、祖暅原理祖暅原理与柱体、锥体、球的体积与柱体、锥体、球的体积祖暅简介祖暅简介祖暅祖暅(5(5世纪世纪-6-6世纪世纪)，字景烁，字景烁，我国南北朝时期伟大科学家，祖冲之之子我国南北朝时期伟大科学家，祖冲之之子.“祖暅原理祖暅原理”被西方称为被西方称为“卡瓦列里卡瓦列里”原理，要比其他国家早原理，要比其他国家早一千多年一千多年.在欧洲直到在欧洲直到1717世纪，意大利数学家卡瓦列里才发现世纪，意大利数学家卡瓦列里才发现“祖暅原理祖暅原理”的结论的结论.成就成就:祖暅修补编辑了祖冲之的祖暅修补编辑了祖冲之的缀术缀术,十分巧妙的推导了球的体积公式十分巧妙的推导了球的体积公式.l l1 1问题问题1
2、1：平面内，相距平面内，相距h h的平行线的平行线的平行线的平行线l l1 1与与与与l l2 2内，有底边长为内，有底边长为内，有底边长为内，有底边长为a a，高为，高为，高为，高为h h的的的的矩形和平行四边形矩形和平行四边形矩形和平行四边形矩形和平行四边形,见下图见下图见下图见下图,它们的面积相等吗它们的面积相等吗它们的面积相等吗它们的面积相等吗?S矩形矩形=S平行四边形平行四边形=aha aa ah hl l2 2 祖暅原理祖暅原理：幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异祖暅原理祖暅原理图图图图2 2 2 2图图图图1 1 1 1 夹在平行平面间的两个几何体夹在平行平面间的两个几何体
3、,被平行于这两个平面被平行于这两个平面的任意平面所截的任意平面所截,如果截面的面积都相等如果截面的面积都相等,那么这两个几何那么这两个几何体的体积一定相等体的体积一定相等.(“幂幂”是截面积，是截面积，“势势”是几何体的高是几何体的高.)1.1.柱体体积的计算公式柱体体积的计算公式 h hV长方体长方体=Sh由祖暅原理可知：由祖暅原理可知：等底面积等底面积S等高等高h的的任意两个柱体的体积相等任意两个柱体的体积相等.V柱体柱体=Sh图图图图3 3 3 3结论结论1：问题问题2 2：设有底面积都等于设有底面积都等于设有底面积都等于设有底面积都等于S S，高都等于，高都等于，高都等于，高都等于h
4、h的任意一个棱柱、一个圆柱的任意一个棱柱、一个圆柱的任意一个棱柱、一个圆柱的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面内和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面内和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面内和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面内,见图见图见图见图3,3,3,3,它们的体积它们的体积它们的体积它们的体积相等吗相等吗相等吗相等吗?2.2.锥体体积的计算公式锥体体积的计算公式 问题问题3 3：设底面积都为设底面积都为S、高都等于、高都等于h的两个锥体的两个锥体,它们的底面在它们的底面在同一个平面内，它们的体积之间有怎样的关系呢？为什么？同一个平面内，它们的体积之
5、间有怎样的关系呢？为什么？图图图图4 4 4 4分析：分析：当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似.由祖暅原理可知由祖暅原理可知等底面积等底面积S、等高、等高h的两的两个锥体，体积相等个锥体，体积相等.ABCA1B1C1ABCA1B1C1CA1B1C1ABA1C图图图图5 5 5 5图图图图5(a)5(a)5(a)5(a)图图图图5(b)5(b)5(b)5(b)图图图图5(c)5(c)5(c)5(c)问题问题4 4：三棱柱分割成三个三棱锥三棱柱分割成三个三棱锥,它们三个的体积相等吗？为什么？它们三个的体积相等吗？为什么？1.1.观察图观察图5(a)5(a)与图与图5(c):5(c
6、):(1)(1)(2)(2)高为高为A1到平面到平面ABC的距离的距离2.2.观察图观察图5(b)5(b)与图与图5(c):5(c):(1)(1)(2)(2)高为点高为点A1平面平面BCC1B1的距离的距离2.2.锥体体积的计算公式锥体体积的计算公式 等底面积等底面积S等高等高h的任意两个锥体的体积相等的任意两个锥体的体积相等结论结论2：3.3.球体体积的计算公式球体体积的计算公式 RRRR给出以下三种几何模型，其高与底面半径均为给出以下三种几何模型，其高与底面半径均为R问题问题5 5：你能用它们来推导球的体积公式吗？你能用它们来推导球的体积公式吗？步骤：步骤：1.1.拿出圆锥和圆柱拿出圆锥和
7、圆柱2.2.将圆锥倒立放入圆柱将圆锥倒立放入圆柱 注意注意:O2OO3ABO1分析分析:结论结论3：4.4.小结小结知识点总结知识点总结:思想总结思想总结:(1)(1)祖暅原理祖暅原理(2)(2)柱体与锥体的体积公式柱体与锥体的体积公式(3)(3)球的体积公式球的体积公式化归思想化归思想借助借助“祖暅原理祖暅原理”,所有柱体的体积转化为长方体的体积；所有柱体的体积转化为长方体的体积；柱体都可以分为三个等体积的锥体；柱体都可以分为三个等体积的锥体；球的体积转化为圆柱体积和圆锥体积的差球的体积转化为圆柱体积和圆锥体积的差.5.5.探究作业探究作业 请各小组利用祖暅原理探究球的体积公式的思想探究椭球的请各小组利用祖暅原理探究球的体积公式的思想探究椭球的体积公式，椭球的体积公式如下体积公式，椭球的体积公式如下:xyzABC 椭球的球心在坐标原点椭球的球心在坐标原点,与与x,y,z轴正向的交点轴正向的交点分别为分别为A(0,0,a),B(0,b,0),C(0,0,c),其中其中a,b,c分别称为椭球的长半轴、中半轴分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴和短半轴.cabo