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1、第第6 6章章 定积分定积分微 积 分问题问题的提出的提出存在存在定理定理小结小结 思考题思考题6.16.1 定积分的概念定积分的概念定积分定积分的定义的定义定积分定积分的几何意义的几何意义abxyo实例实例1 1 （求（求曲边梯形的面积）的面积）一、问题的提出一、问题的提出A=?abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）下和下和 上和上和下下和与上和和与上和 观察下列演示过程，注意当分割加细时，上和观察下列演
2、示过程，注意当分割加细时，上和 、下和下和 、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积A这三者之间关系；并考这三者之间关系；并考虑上和虑上和 及下和及下和 的极限的极限S与与A的关系。的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意
3、当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面
4、积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系(1)分割分割(2)取近似取近似它可以近似代替小曲边梯形的面积它可以近似代替小曲边梯形的面积,即即曲边梯形面积为曲边梯形面积为(3)求和求和n个小矩形面积的和就是曲边
5、梯形的面积个小矩形面积的和就是曲边梯形的面积A的近似值的近似值(4)取极限取极限当分割无限加细，即小区间的最大长度当分割无限加细，即小区间的最大长度趋近于零时，趋近于零时，问题问题：是否是一回事？是否是一回事？实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值程的精确值（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的
6、速度某时刻的速度（3）求和）求和（4）取极限）取极限(路程的精确值路程的精确值)（2）取近似）取近似第第i个时间段的长度个时间段的长度:其中其中二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义有界有界，各小区间的长度依次为各小区间的长度依次为如果如果不论不论对对a,b怎样怎样记为记为即即只要当只要当0时，和时，和S总趋于确定的极限总趋于确定的极限 I，则称则称这个极限这个极限 I 为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上的上的定积分定积分，被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理对定
7、积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在后面的性质中，假定定积分都存在，在后面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义几何意义：几何意义：例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解证明证明利用对数的性质得利用对数的性质得极限运算极限运算与指数运算交换顺序与指数运算交换顺序得得分割是将分割是将0,1n等分，分点为等分，分点为指数部分为：指数部分为：lnf(x)在区间在区间0,1上的一个积分和上的一个积分和.故故例例3 3 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解五、小结五、小结定积分的实质：特殊和式的极限特殊和式的极限定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似求近似,以直以直(不变不变)代曲代曲(变变)取极限取极限思考题思考题将和式极限：将和式极限：表示成定积分表示成定积分.思考题解答思考题解答原式原式或者