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1、第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质一、引入定积分概念的实例一、引入定积分概念的实例 二、定积分的概念二、定积分的概念 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义四、定积分的性质四、定积分的性质引例引例1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形曲边梯形 设函数设函数f(x)在区间在区间 a,b(a，也可能，也可能，但一定要，但一定要求满足求满足 ，即，即 对应于对应于 ，对应于对应于 .例1 求解方法二方法二例例4 求求解例例7证明证明 例例7表明了连续的奇、偶函数在对称区间表明了连续的奇、偶函数在对称区间a,a上上的积分性质，即偶函数在的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间上
2、的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算称区间上的定积分的计算.例例8 8解解例例9 证明证明证明证明 应用分部积分公式计算定积分时,只要在不定积分的结果中代入上下限作差即可.若同时使用了换元积分法,则要根据引入的变量代换相应地变换积分限.二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法例例10解解例例12 求求解例例13 求求解解第四节第四节 广义积分广义积分一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分二、无界函数的
3、广义积分二、无界函数的广义积分 函数f(x)在无穷区间 上的广义积分，记作 ，即定义1 若上述等式右端的极限存在,则称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分 发散.一、无穷区间上的广义积分 类似地，无穷区间 上的广义积分定义为无穷区间 上的广义积分定义为上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.例1 求解例2 求解所以，广义积分 收敛，且例3证明若上式右端极限存在，则称广义积分 收敛.如果上述极限不存在，就称广义积分发散.定义2 设函数f(x)在(a,b上连续，且极限称为无界函数称为无界函数 在在(a,b上的积分上的积分,记为记为二、无界函数的广义积分 类似地，函数f(x)在a,b)上连续，且 广义积分定义为如果极限存在，则称广义积分 收敛.如果上述极限不存在，就称广义积分 发散.此时，如果上式右端两个广义积分 都收敛，则称广义积分 收敛，否则称广义积分 发散.上述三种积分统称为无界函数的广义积分,也称为瑕积分.函数f(x)在a,b上除点x=c(a,b)外都连续，且 ，则广义积分定义为例5 计算解由于上面两个极限都不存在由于上面两个极限都不存在,所以所以发散发散.例7解