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1、5 旋轮线 6 旋轮线也叫摆线7 旋轮线是最速降线 8 心形线 9 星形线 10 圆的渐伸线 11 笛卡儿叶形线 12 双纽线13 阿基米德螺线 14 双曲螺线 主 目 录（125 125）1516231 曲边梯形的面积4 曲边扇形的面积第1页/共73页19 平行截面面积为已知的立体的体积。20 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得 一圆柱楔。求其体积。21 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正 劈锥体的体积。22 旋转体体积(y=f(x)绕x轴)23 旋转体体积(x=g(y)绕y轴）24 旋转体体积（柱壳法）25 旋转体的侧面积1817求由双
2、纽线内部的面积。.第2页/共73页元素法1 1 化整为零2 2 以直代曲 (以常代变)3 3 积零为整yxoy=f(x)ab.分法越细，越接近精确值1.1.曲边梯形的面曲边梯形的面积积f(i).第3页/共73页元素法4 4 取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab.分法越细，越接近精确值1 1 化整为零2 2 以直代曲 (以常代变)3 3 积零为整1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f(i)第4页/共73页元素法4 4 取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.分法越细，越接近精确值1 1 化整为零2 2 以直代曲 (以常代变)3 3 积零为整1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f(i)
3、S=.S.ab第5页/共73页2。0y x2.2.444解方程组：得交点：(8,4)，(2,2)问题：选谁为积分变量？第6页/共73页。3.3.xyo33得两切线的斜率为故两切线为其交点的横坐标为。S =l1l2第7页/共73页()d o +d r=()元素法1 1 取极角 为积分变量，其变化区间为 ,以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到面积元素：.4.4.曲边扇形的面积曲边扇形的面积dSS3 作定积分.r 第8页/共73页xa圆上任一点所画出的曲线。5.5.旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，第9页/共73页x来看动点的慢动作圆上任一点所画出的曲线。.一圆沿直线无滑动地滚动，5.5.旋轮线第10页
4、/共73页2a2 a0yx ax=a(t sint)y=a(1 cost)t t 的几何意义如图示ta当 t 从 0 2，x从 0 2 a即曲线走了一拱a圆上任一点所画出的曲线。5.5.旋轮线.一圆沿直线无滑动地滚动，第11页/共73页x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板6.6.旋轮线也叫摆线单摆单摆第12页/共73页x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板.单摆单摆6.6.旋轮线也叫摆线第13页/共73页单摆单摆.6.6.旋轮线也叫摆线x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置
5、成挡板第14页/共73页两个旋轮线形状的挡板,使摆动周期与摆幅完全无关。在1717世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。单摆单摆.6.6.旋轮线也叫摆线x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板第15页/共73页x=a(t sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a(1 cost)7.7.旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？第16页/共73页x=a(t sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题:质点在重力作用下沿曲
6、线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a(1 cost).生活中见过这条曲线吗？7.7.旋轮线是最速降线第17页/共73页x=a(t sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a(1 cost)生活中见过这条曲线吗？7.7.旋轮线是最速降线.第18页/共73页x=a(t sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a(1 cost)生活中见过这条曲线吗？滑
7、板的轨道就是这条曲线7.7.旋轮线是最速降线.第19页/共73页xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。8.8.心形线 (圆外旋轮线)第20页/共73页xyoa来看动点的慢动作一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.8.8.心形线 (圆外旋轮线)a第21页/共73页xyoaa2a来看动点的慢动作一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.(圆外旋轮线)8.8.心形线第22页/共73页xyo2ar=a(1+cos )0 2 0 r 2aP r一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.(圆外旋轮线)8.8.心
8、形线第23页/共73页xyoa a一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。9.9.星形线(圆内旋轮线)第24页/共73页xyoa a来看动点的慢动作一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.9.9.星形线(圆内旋轮线)第25页/共73页xyoa a一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。来看动点的慢动作.9.9.星形线(圆内旋轮线)第26页/共73页xyoa a0 2 或.P.一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.9.9.星形线(圆内旋轮线)第27页/共73页0 xy一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨
9、迹10.10.圆的渐伸线a第28页/共73页0 xy一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹.a10.10.圆的渐伸线再看一遍第29页/共73页0 xy.a一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹10.10.圆的渐伸线第30页/共73页0 xy.a一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹10.10.圆的渐伸线第31页/共73页a0 xMttaat(x,y)0 xy试由这些关系推出曲线的方程.一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹10.10.圆的渐伸线第32页/共73页1.曲线关于 y=x 对称2.曲线有渐进线 x+y+a=0分析3.令 y=t x,得参数式故在原点，曲
10、线自身相交.11.11.狄狄卡儿叶叶形线4.第33页/共73页0 xyx+y+a=0曲线关于 y=x 对称曲线有渐近线 x+y+a=0.11.11.狄狄卡儿叶叶形线第34页/共73页0 xyPr.曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =.距离之积为a2的点的轨迹直角系方程12.双纽纽线第35页/共73页0 xy.所围面积.由对称性.12.例求求双纽线双纽线第36页/共73页0rr=a 曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线13.13.阿基米德螺线第37页/共73页0r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转
11、动从极点射出半射线.13.13.阿基米德螺线r=a 第38页/共73页0r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线再看一遍请问：动点的轨迹什么样？.13.13.阿基米德螺线r=a 第39页/共73页0r.13.13.阿基米德螺线r=a 第40页/共73页0rr=a.13.13.阿基米德螺线第41页/共73页0rr=a.13.13.阿基米德螺线第42页/共73页r这里 从 0+8r=a 02 a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.13.13.阿基米德螺线第43页/共73页0r8当 从 0 r=a.13.13.阿基米德螺线第44页/共73页r0.这
12、里 从 0+8a.14.14.双曲螺线第45页/共73页r0.当 从 0 8a.14.14.双曲螺线第46页/共73页xyo15.15.2.S=1+cos 3r =3cos 由 3cos =1+cos 得交点的坐标S S2.第47页/共73页.16.10 xy令 cos2 =0,由 sin 0,联立后得交点坐标.S=2.第48页/共73页xyo17.17.1s1s2.sS=1+cos 第49页/共73页求由双纽线0 xy.由对称性.18.a内部的面积。双纽线化成极坐标令 r=0,S=4+.第50页/共73页xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为 A(x)的立体.aV以下是几个例子以下
13、是几个例子19.19.平行截面面积为已知的立体的体积b第51页/共73页半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。R oxy20.20.第52页/共73页oyRxRR20.20.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。第53页/共73页oyRxxyRR.y tan 问题：问题：还有别的方法吗？还有别的方法吗？(x,y),截面积A(x).半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。20.20.第54页/共73页oyRxRR 方法方法2 2 2 2.20.20.半径为R的正圆柱体
14、被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。第55页/共73页oyRxRR 方法方法2 2 2 2ABCD BCDC.截面积S(y)(x,y)=2x=ytan.S(y).20.20.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。第56页/共73页 hRxoyR21.21.求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。第57页/共73页 hRxoxA(x)A(x)V=.Ry21.21.求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。y第58页/共73页xf(x)ab 曲边梯形：y=f
15、(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x轴旋转22.22.求旋转体体积第59页/共73页xf(x)abx.111111111.曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴旋转22.22.求旋转体体积V=第60页/共73页x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕 y轴23.23.求旋转体体积第61页/共73页x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕 y轴.23.23.求旋转体体积第62页/共73页x=g(y)yx0cdy.23.23.求旋转体体积.曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕 y轴第63页/共73页
16、abf(x)yx024.24.求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴xdx第64页/共73页xabyx0内表面积.dx.24.24.求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f(x)dxf(x)第65页/共73页byx0a.24.24.求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f(x)dxf(x)第66页/共73页byx0a.24.24.求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f(
17、x)dxf(x)第67页/共73页0y0 xbxadx.24.24.求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f(x)dxf(x)第68页/共73页f(x)Yx0bdx0yz.a.曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴24.24.求旋转体体积 柱壳法柱壳法dV=2 x f(x)dx第69页/共73页x=g(y)yx0cdx=g(y)绕 y 轴旋转25.25.求旋转体侧面积A第70页/共73页x=g(y)yx0cdx=g(y)绕 y 轴旋转ydA=2 g(y)ds.(ds是曲线的弧微分).故旋转体侧面积25.25.求旋转体侧面积Ads第71页/共73页谢谢使用返返回回首首页页.第72页/共73页感谢您的观看！第73页/共73页