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1、工程力学（A）北京理工大学理学院力学系 韩斌(7-1)(7-1)31+6/II 7 7 力系的平衡力系的平衡（1）力系的平衡条件。）力系的平衡条件。（2）求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。）求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。（3）求桁架）求桁架(二力直杆系统）的内力。二力直杆系统）的内力。（4）带有摩擦的平衡问题。带有摩擦的平衡问题。本章内容是静力学的核心部分，包括：本章内容是静力学的核心部分，包括：关于关于“平衡平衡平衡平衡”的概念的概念（1）物体或物体系统的平衡物体或物体系统的平衡物体或物体系统的平衡物体或物体系统的平衡相对于惯性参考相对于惯性参考 空间静止或匀速直线平移。空间
2、静止或匀速直线平移。（2）平衡力系平衡力系平衡力系平衡力系即零力系，力系的主矢和主矩即零力系，力系的主矢和主矩均为零。均为零。27.1 7.1 力系的平衡条件及平衡方程力系的平衡条件及平衡方程1.空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件；力系平衡条件的数学表达式称为平衡方程；力系平衡条件的数学表达式称为平衡方程；任意空间力系平衡的充要条件是：任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢力系的主矢力系的主矢力系的主矢 和对任一确定点和对任一确定点和对任一确定点和对任一确定点O O的主矩的主矩的主矩的主矩 全为零。全为零。全为
3、零。全为零。即即(7.1)3在在O点建立点建立Oxyz 直角坐标系，以上两个矢量方直角坐标系，以上两个矢量方程可写为程可写为6个独立的代数方程：个独立的代数方程：ODixyzl1l3l2(7.2)注意注意注意注意（1）解题时，矩心）解题时，矩心O可任选；力的投影轴、取矩可任选；力的投影轴、取矩轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴也可不一致，轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴也可不一致，但要保证但要保证6个方程是独立的。个方程是独立的。（2）巧妙选择投影轴、取矩轴，可）巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只使每个方程只使每个方程只使每个方程只含一个未知量，避免解联立方程组含一个未知量，避免解联立方程组含一
4、个未知量，避免解联立方程组含一个未知量，避免解联立方程组。4（3）任意空间力系，独立的力的投影方程只有）任意空间力系，独立的力的投影方程只有3个，个，但矩方程最多可有但矩方程最多可有6个。个。特殊的空间力系及独立平衡方程个数特殊的空间力系及独立平衡方程个数：（1）空间汇交力系）空间汇交力系 3 3个独立方程个独立方程个独立方程个独立方程各力交于各力交于O点点平衡方程仅有平衡方程仅有即即（2）空间力偶系）空间力偶系 3 3个独立方程个独立方程个独立方程个独立方程OO平衡方程仅有平衡方程仅有即即5（3）空间平行力系）空间平行力系 xyz设各力平行于设各力平行于z 轴，则有轴，则有平衡方程仅有平衡方
5、程仅有3 3个独立方程个独立方程个独立方程个独立方程（4）其他）其他例如：空间各力与某轴例如：空间各力与某轴 l 相交相交l仅有仅有仅有仅有5 5个独立的个独立的个独立的个独立的平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程各力对各力对 l 轴之矩恒为零轴之矩恒为零O62.2.平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程（1）在平面内任取点）在平面内任取点A：xyO各力均位于各力均位于Oxy平面内，故平衡平面内，故平衡方程（方程（7.1）中）中A称它为平面力系平衡方程的基本形式。由于其中只称它为平面力系平衡方程的基本形式。由于其中只有一个力矩式，故常称一矩式。有一
6、个力矩式，故常称一矩式。一矩式一矩式一矩式一矩式(7.4)故故平面任意力系的独立平衡方程为平面任意力系的独立平衡方程为平面任意力系的独立平衡方程为平面任意力系的独立平衡方程为3 3个个个个：(7.3)平面任意力系的平衡方程还有以下平面任意力系的平衡方程还有以下三种常用形式三种常用形式三种常用形式三种常用形式：7（2）在平面上任取）在平面上任取A,B两点两点 及不垂直于及不垂直于AB连线的连线的 l 轴：轴：二矩式二矩式二矩式二矩式且且 l 轴与轴与 不垂直不垂直(7.5)xyOA AB Bl l8(3)在平面上任取三点在平面上任取三点A，B，C不共线不共线:上述三组方程，每组中独立的平衡方程的
7、个数均为上述三组方程，每组中独立的平衡方程的个数均为3，若找到第，若找到第4个方程，则必是前个方程，则必是前3个方程的线性组合，个方程的线性组合，不是独立的。不是独立的。三矩式三矩式三矩式三矩式(7.6)xyOA AB BC C9例如：例如：因此，对于因此，对于单个刚体单个刚体单个刚体单个刚体，在平面力系作用下的平衡问在平面力系作用下的平衡问在平面力系作用下的平衡问在平面力系作用下的平衡问题，只能写出题，只能写出题，只能写出题，只能写出3 3个独立的平衡方程个独立的平衡方程个独立的平衡方程个独立的平衡方程，求解，求解3个未知量；个未知量；当未知量超过当未知量超过3个时，问题无法求解个时，问题无
8、法求解。对于刚体系统对于刚体系统,可分别对每个刚体可分别对每个刚体(或几个刚体的或几个刚体的组合组合)取分离体取分离体,画受力图画受力图,并分别列出每个分离体并分别列出每个分离体的的3个独立平衡方程个独立平衡方程,联立求解。联立求解。103、特殊平面力系的平衡方程、特殊平面力系的平衡方程(1)平面汇交力系：平面汇交力系：设汇交点为设汇交点为A或或(A,B,C三点三点不共线不共线)或或(AB连线不垂连线不垂直于直于x轴轴)(2)平面力偶系：平面力偶系：(各力偶各力偶Mi作用面相互平行即可作用面相互平行即可)两个独立方程！两个独立方程！两个独立方程！两个独立方程！一个独立方程！一个独立方程！一个独
9、立方程！一个独立方程！11（3）平面平行力系：）平面平行力系：设设各力与各力与 y 轴平行轴平行或或其中其中与各与各不平行。不平行。两个独立方程！两个独立方程！两个独立方程！两个独立方程！A AB B12小结：对某个研究对象，可列出的小结：对某个研究对象，可列出的 独立平衡方程个数的判断独立平衡方程个数的判断所研究的对象受任意空间力系所研究的对象受任意空间力系6个独立方程个独立方程所研究的对象受空间汇交力系所研究的对象受空间汇交力系3个独立方程个独立方程所研究的对象受空间力偶系所研究的对象受空间力偶系3个独立方程个独立方程所研究的对象受空间平行力系所研究的对象受空间平行力系3个独立方程个独立方
10、程所研究的对象受平面任意力系所研究的对象受平面任意力系3个独立方程个独立方程所研究的对象受所研究的对象受平面汇交力系平面汇交力系2个独立方程个独立方程所研究的对象受所研究的对象受平面力偶系平面力偶系1个独立方程个独立方程所研究的对象受所研究的对象受平面平行力系平面平行力系2个独立方程个独立方程13求求一端固支、一端自由的梁一端固支、一端自由的梁(悬悬臂梁臂梁)固支端的约束力。固支端的约束力。解：取解：取AB为分离体，画出受力图。为分离体，画出受力图。由由由由由由例例 题题 17 力系的平衡力系的平衡 例题例题均布载荷均布载荷(同向平行力系同向平行力系)合力为合力为()()ABAB1477力系的
11、平衡问题要求重点掌握的内容力系的平衡问题要求重点掌握的内容平面力系作用下物体系统的平衡问题平面力系作用下物体系统的平衡问题本章小结：本章小结：力系的平衡条件力系的平衡条件力系的主矢为零力系的主矢为零力系的主矢为零力系的主矢为零,对任意一点的主矩为零对任意一点的主矩为零对任意一点的主矩为零对任意一点的主矩为零即即(7.1)对对空间一般力系空间一般力系6个独立的标量方程个独立的标量方程对平面一般力系对平面一般力系3个独立的标量方程个独立的标量方程217 7 力系的平衡要求重点掌握的内容力系的平衡要求重点掌握的内容平面力系作用下物体系统的平衡问题平面力系作用下物体系统的平衡问题一矩式一矩式(7.4)
12、二矩式二矩式且且 x 轴与轴与 不垂直不垂直(7.5)三矩式三矩式(7.6)在平面上任取三点在平面上任取三点A，B，C不共线不共线22例例 题题 37 力系的平衡力系的平衡 例题例题ABCDEq图示支架结构，图示支架结构，AB=AC=BC=2l，D，E分别为分别为AB，AC的中点，杆的中点，杆DE上作用有三角形分布载荷，上作用有三角形分布载荷，B点作用有铅垂集中力，点作用有铅垂集中力，P =ql ，试求试求DE杆在杆在D，E两处的约束力。两处的约束力。23例例 题题 37 力系的平衡力系的平衡 例题例题ABCDEq解：解：刚体系统的平衡问题。刚体系统的平衡问题。1.受力分析：受力分析：(1)是
13、否有二力体？是否有二力体？(2)是否可以取出某些部分作为分离是否可以取出某些部分作为分离体，使之只有体，使之只有3个未知力？个未知力？2.取整体为研究对象：取整体为研究对象：ABCDEql/2()()24例例 题题 37 力系的平衡力系的平衡 例题例题ABCDEqq3.以杆以杆DE为研究对象取分离体：为研究对象取分离体：4个个未知力，未知力，3个方程；个方程；4.再以再以BC杆为研究对象取分离体：杆为研究对象取分离体：DEBCE增加增加2个未知力、个未知力、3个方程；个方程；()()25例例 题题 37 力系的平衡力系的平衡 例题例题5.以以DE杆为研究对象列出平衡方程：杆为研究对象列出平衡方
14、程：()DEql/2(1)()26例例 题题 37 力系的平衡力系的平衡 例题例题6.以以BC杆为研究对象：杆为研究对象：BCEDEql/2（）()代入代入(1)式式(负号表示方向为负号表示方向为)ABCDEql/2 ()(1)()27从此题的求解过程可见，对多个刚体组成的物体系从此题的求解过程可见，对多个刚体组成的物体系统，可以通过分别取每个刚体（或几个刚体一起）统，可以通过分别取每个刚体（或几个刚体一起）为分离体、列平衡方程，从而解出全部未知约束力。为分离体、列平衡方程，从而解出全部未知约束力。ABCDEq可由平衡方程求出全部未知力的物可由平衡方程求出全部未知力的物体系统称为体系统称为静定
15、系统静定系统静定系统静定系统若若物体系统全部独立的平衡方物体系统全部独立的平衡方程个数仍少于未知力个数程个数仍少于未知力个数则则该系统称为该系统称为静不定（或超静不定（或超静不定（或超静不定（或超静定）系统静定）系统静定）系统静定）系统将在变形体静力学中研究将在变形体静力学中研究28例例 题题 47 力系的平衡力系的平衡 例题例题aaaaaABCDEGHM支架结构受力如图，已知：支架结构受力如图，已知：M=Fa/2,求铰支座求铰支座A，B处的约束力。处的约束力。29例例 题题 47 力系的平衡力系的平衡 例题例题aaaaaABCDEGHM解：解：1.受力分析受力分析未知力数：未知力数：未知力数
16、：未知力数：方程数方程数方程数方程数：2 21 1取出取出DC杆，为二力杆，杆，为二力杆，2个未知力、个未知力、1个独立个独立方程；方程；以以ED杆为研究对象，杆为研究对象，三力汇交，增加三力汇交，增加1个未知力、个未知力、2个独立方程；个独立方程；ED+1+1+2+230例例 题题 47 力系的平衡力系的平衡 例题例题aaaaaABCDEGHMED未知力数：未知力数：未知力数：未知力数：方程数方程数方程数方程数：2 21 1+1+1+2+2DC2.以以ED为对象为对象,列平衡方程列平衡方程:()31例例 题题 47 力系的平衡力系的平衡 例题例题MaaaaaABCDEGHM3.以整体为研究对
17、象以整体为研究对象:A，B处共处共4个未知力，个未知力，3个独立方程；个独立方程；未知力数：未知力数：未知力数：未知力数：方程数：方程数：方程数：方程数：4 43 3()32例例 题题 47 力系的平衡力系的平衡 例题例题aaaaaABCDEGHM4.取取EHB杆为研究对象杆为研究对象:又增加又增加2个未知力、个未知力、3个独立方程；个独立方程；EHB未知力数：未知力数：未知力数：未知力数：方程数：方程数：方程数：方程数：4 43 3+2+2+3+3M()33例例 题题 47 力系的平衡力系的平衡 例题例题aaaaaABCDEGHMEHB()5.以以EHB为对象为对象,列平衡方程列平衡方程:(
18、负号表示负号表示)34例例 题题 47 力系的平衡力系的平衡 例题例题6.以整体为对象以整体为对象,列平衡方程列平衡方程:HM(负号表示负号表示 )()()35刚体系统平衡问题的求解步骤刚体系统平衡问题的求解步骤刚体系统平衡问题的求解步骤刚体系统平衡问题的求解步骤1.求解思路求解思路（1）根据所求的未知约束力，先对待求未知力所涉）根据所求的未知约束力，先对待求未知力所涉及的刚体进行受力分析及的刚体进行受力分析(可先找出系统中的二力体可先找出系统中的二力体,三三力汇交体力汇交体),画出分离体所受的已知主动力、未知约束画出分离体所受的已知主动力、未知约束力力(其中有些是待求的、有些是不必求的其中有
19、些是待求的、有些是不必求的),分析未知分析未知力个数及每个分离体的独立平衡方程个数。力个数及每个分离体的独立平衡方程个数。（2）若缺少方程，再对系统中的其他刚体（或几个刚）若缺少方程，再对系统中的其他刚体（或几个刚体一起）取分离体，引入新的未知力并分析增加的平体一起）取分离体，引入新的未知力并分析增加的平衡方程个数。直到未知力个数与平衡方程个数相等。衡方程个数。直到未知力个数与平衡方程个数相等。（3）对涉及的各分离体列出适当的平衡方程（注意各方）对涉及的各分离体列出适当的平衡方程（注意各方程的独立性程的独立性,充分利用矩形式的方程），求出全部待求未充分利用矩形式的方程），求出全部待求未知力。知
20、力。362.关于独立的平衡方程个数关于独立的平衡方程个数注意：刚体系统中如果每个刚体的平衡方程注意：刚体系统中如果每个刚体的平衡方程全部列出，则整体的平衡方程就成为恒等式，全部列出，则整体的平衡方程就成为恒等式，不再提供独立的方程。不再提供独立的方程。3.注意利用注意利用矩形式的平衡方程矩形式的平衡方程矩形式的平衡方程矩形式的平衡方程，可通过，可通过选择适当选择适当选择适当选择适当的矩心的矩心的矩心的矩心使得方程中尽量少出现未知力。使得方程中尽量少出现未知力。求解所用到的全部方程必须是相互独立的。求解所用到的全部方程必须是相互独立的。求解所用到的全部方程必须是相互独立的。求解所用到的全部方程必须是相互独立的。一般，若列出的方程保证每个方程中只有一个一般，若列出的方程保证每个方程中只有一个未知力，则全部方程一定是相互独立的。未知力，则全部方程一定是相互独立的。37