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1、第二十一章第二十一章第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程第第第第1111课时课时课时课时 根与系数关系根与系数关系根与系数关系根与系数关系人教版数学九年级上册人教版数学九年级上册人教版数学九年级上册人教版数学九年级上册试一试：试一试：请你以请你以请你以请你以最快的速度说出下列方程的两根的和与两根的最快的速度说出下列方程的两根的和与两根的最快的速度说出下列方程的两根的和与两根的最快的速度说出下列方程的两根的和与两根的积积积积 2 2活动一活动一 自主学习自主学习1 1观察：已知下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项观察：已知下列一元二次方程的二次项系数
2、、一次项系数、常数项观察：已知下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项观察：已知下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是分别是分别是分别是，两根分别是，两根分别是，两根分别是，两根分别是，在下表中填空：，在下表中填空：，在下表中填空：，在下表中填空：一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程 a ab bc c1 13 36 61 13 3-3-36 61 13 32 21 1-5-5-5-5-4-42 2-2-2-1-12 22 2-4-45 5-4-41 12 2猜想：观察上述表格，猜想一元二次方程猜想：观察上述表格，猜想一元二次方程猜想：观察上述表格，猜想一元
3、二次方程猜想：观察上述表格，猜想一元二次方程的两根之和、两根之积与系数的两根之和、两根之积与系数的两根之和、两根之积与系数的两根之和、两根之积与系数a a、b b、c c之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系活动一活动一 自主学习自主学习想一想结论成立的前提条件是什么？想一想结论成立的前提条件是什么？想一想结论成立的前提条件是什么？想一想结论成立的前提条件是什么？一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程 a ab bc c1 13 36 6-3-36 61 13 32 21 1-5-5-5-5-4-42 2-2-25 5-4-41 13 3验证：利用求根公式写出一元二次方程验证：利用
4、求根公式写出一元二次方程验证：利用求根公式写出一元二次方程验证：利用求根公式写出一元二次方程的两根，并求出两根之和、两根之积的两根，并求出两根之和、两根之积的两根，并求出两根之和、两根之积的两根，并求出两根之和、两根之积活动一活动一 自主学习自主学习一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）韦达定理）注意：根与系数关系存在的条件注意：根与系数关系存在的条件是是 （1）a0（2）0特殊特殊一般一般一元二次方程的一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系 16 16世纪法国最杰出的数学家世纪法国最杰出的数学家世纪法国最杰出的数学家世纪法国最杰出的数学家韦达韦达韦达韦达发现发现
5、发现发现 代数方程的根与系数之间有这种关系，代数方程的根与系数之间有这种关系，代数方程的根与系数之间有这种关系，代数方程的根与系数之间有这种关系，因此因此因此因此,人们把这个关系称为人们把这个关系称为人们把这个关系称为人们把这个关系称为韦达韦达韦达韦达定理定理定理定理 韦达是第一个有意识地和系统地使用韦达是第一个有意识地和系统地使用韦达是第一个有意识地和系统地使用韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示字母表示字母表示字母表示数数数数的人，并且对数学符号进行了很多的人，并且对数学符号进行了很多的人，并且对数学符号进行了很多的人，并且对数学符号进行了很多改进人们改进人们改进人们改进人们称称称称他
6、他他他“代数学之父代数学之父代数学之父代数学之父”4 4尝试练习：尝试练习：尝试练习：尝试练习：（1 1）根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积）根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积）根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积）根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为（方程两根为（方程两根为（方程两根为x x1 1，x x2 2）活动一活动一 自主学习自主学习（2 2）下列哪个方程的两根之和等于）下列哪个方程的两根之和等于）下列哪个方程的两根之和等于）下列哪个方程的两根之和等于11（）A Ax x2 2x x1 10B0Bx x2 2+x
7、 x1 100C Cx x2 2x x1 10D0Dx x2 2+x x1 10 0C C化成一般式，找准化成一般式，找准化成一般式，找准化成一般式，找准a a，b b，c c前提：前提：前提：前提：活动二活动二 探究学习探究学习例例例例1 1：已知方程已知方程已知方程已知方程x x2 2kxkx6 60 0的一个根为的一个根为的一个根为的一个根为x x1 12 2，求另一个根及求另一个根及求另一个根及求另一个根及k k的值的值的值的值已知方程一根，求另一根已知方程一根，求另一根 解：解：（方法一）（方法一）将将 代入原方程可得，代入原方程可得，得得解得解得答：另一个根是答：另一个根是答：另一
8、个根是答：另一个根是3 3，k k的值是的值是的值是的值是1 1（方法二）（方法二）又又 能否运用根能否运用根能否运用根能否运用根与系数关系解与系数关系解与系数关系解与系数关系解决问题呢？决问题呢？决问题呢？决问题呢？活动二活动二 探究学习探究学习例例例例1 1：已知方程已知方程已知方程已知方程x x2 2kxkx6 60 0的一个根为的一个根为的一个根为的一个根为x x1 12 2，求另一个根及求另一个根及求另一个根及求另一个根及k k的值的值的值的值变式：变式：变式：变式：关于关于关于关于x x的方程的方程的方程的方程的一个根是的一个根是的一个根是的一个根是1 1，则方程的另一根是则方程的
9、另一根是则方程的另一根是则方程的另一根是，k k已知方程一根，求另一根已知方程一根，求另一根 变式题与例变式题与例变式题与例变式题与例1 1的区别在哪里的区别在哪里的区别在哪里的区别在哪里？又又分析：分析：活动二活动二 探究学习探究学习例例例例2 2：设设设设x x1 1、x x2 2是一元二次方程是一元二次方程是一元二次方程是一元二次方程不解方程，求不解方程，求不解方程，求不解方程，求 x1x22x1x2 x12x22 的值的值的值的值的两个根：的两个根：的两个根：的两个根：不解方程，求关于两根对称式的不解方程，求关于两根对称式的值值x12x22解：解：x1x22x1x2 未知未知已知已知转
10、转转转 化化化化活动二活动二 探究学习探究学习例例例例3 3：已知一元二次方程的两根之和是已知一元二次方程的两根之和是已知一元二次方程的两根之和是已知一元二次方程的两根之和是3 3，两根之积是，两根之积是，两根之积是，两根之积是写出这个方程写出这个方程写出这个方程写出这个方程，已知方程两根，构造方程已知方程两根，构造方程令令解：解：则则这个方程可以是这个方程可以是若方程若方程的两根分别为的两根分别为活动二活动二 探究学习探究学习变式：变式：变式：变式：求一个一元二次方程，使它的两个根分别为求一个一元二次方程，使它的两个根分别为求一个一元二次方程，使它的两个根分别为求一个一元二次方程，使它的两个
11、根分别为4 4，例例例例3 3：已知一元二次方程的两根之和是已知一元二次方程的两根之和是已知一元二次方程的两根之和是已知一元二次方程的两根之和是3 3，两根之积是，两根之积是，两根之积是，两根之积是写出这个方程写出这个方程写出这个方程写出这个方程，已知方程两根，构造方程已知方程两根，构造方程令令分析：分析：则则这个方程可以是这个方程可以是若方程若方程的两根分别为的两根分别为活动二活动二 探究学习探究学习例例例例4 4：已知已知已知已知、是方程是方程是方程是方程的两根，的两根，的两根，的两根，求代数式求代数式求代数式求代数式的值的值的值的值不解方程，求关于两根的不对称式的值不解方程，求关于两根的
12、不对称式的值根的定义根的定义根的定义根的定义分析：分析：转转转转 化化化化 降降降降 次次次次根与系数关系根与系数关系根与系数关系根与系数关系活动二活动二 探究学习探究学习例例例例4 4：已知已知已知已知、是方程是方程是方程是方程的两根，的两根，的两根，的两根，求代数式求代数式求代数式求代数式的值的值的值的值不解方程，求关于两根的不对称式的值不解方程，求关于两根的不对称式的值解：解：是方程是方程的两根，的两根，结合结合结合结合根的定义根的定义根的定义根的定义和和和和根与系数关系根与系数关系根与系数关系根与系数关系解解解解决问题决问题决问题决问题活动二活动二 探究学习探究学习变式：变式：变式：变
13、式：已知已知已知已知、是方程是方程是方程是方程的实数根，求的实数根，求的实数根，求的实数根，求的值的值的值的值 例例例例4 4：已知已知已知已知、是方程是方程是方程是方程的两根，的两根，的两根，的两根，求代数式求代数式求代数式求代数式的值的值的值的值不解方程，求关于两根的不对称式的值不解方程，求关于两根的不对称式的值分析：分析：根的定义根的定义根的定义根的定义转转转转 化化化化根与系数关系根与系数关系根与系数关系根与系数关系自主完成解自主完成解自主完成解自主完成解答过程答过程答过程答过程活动三活动三 提升学习提升学习已知已知已知已知、是关于是关于是关于是关于x x的方程的方程的方程的方程的两个
14、实根，且满足的两个实根，且满足的两个实根，且满足的两个实根，且满足，求，求，求，求mm值值值值解：解：当当时时当当时时综上所述：综上所述：分类讨论分类讨论分类讨论分类讨论（舍去）（舍去）活动四活动四 反思学习反思学习1 1我们是我们是我们是我们是如何如何如何如何探究探究探究探究一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程根与系数的关系的？根与系数的关系的？根与系数的关系的？根与系数的关系的？根与系数关系成立的前提根与系数关系成立的前提根与系数关系成立的前提根与系数关系成立的前提条件是什么？条件是什么？条件是什么？条件是什么？特殊特殊一般一般特殊特殊活动四活动四 反思学习反思学习2 2 本节
15、课运用本节课运用本节课运用本节课运用根与系数关系根与系数关系根与系数关系根与系数关系解决了哪些相关解决了哪些相关解决了哪些相关解决了哪些相关问题？问题？问题？问题？解题过程解题过程解题过程解题过程中运用到哪些思想方法？有中运用到哪些思想方法？有中运用到哪些思想方法？有中运用到哪些思想方法？有什么注意点？什么注意点？什么注意点？什么注意点？（1）已知）已知方程一根，求另一根方程一根，求另一根（2）不解）不解方程，求关于两根对称式的方程，求关于两根对称式的值值（3）已知）已知方程两根，构造方程方程两根，构造方程（4）不解）不解方程，求关于两根的不对称式的值方程，求关于两根的不对称式的值相关问题：相关问题：注意：注意：转化转化降次降次分类讨论分类讨论化成一般式，找准化成一般式，找准化成一般式，找准化成一般式，找准a a，b b，c c思想方法：思想方法：前提：前提：前提：前提：课后作业：课后作业：1 1设设设设、是方程是方程是方程是方程的两根，则的两根，则的两根，则的两根，则；的一个根是的一个根是的一个根是的一个根是1 1，的值是的值是的值是的值是2 2已知方程已知方程已知方程已知方程则它的另一个根是则它的另一个根是则它的另一个根是则它的另一个根是 ，拓展训练：拓展训练：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问：与能否同号？的取值范围；若不能同号，请说明理由 若能同号请求出相应的