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1、第 10 课判别式与韦达定理知识点一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理大纲要求1. 掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2. 掌握韦达定理及其简单的应用；3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式；4. 会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。内容分析1. 一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0) 的根的判别式b2-4ac 当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 0 时，
2、方程有两个相等的实数根，当 0 时，方程没有实数根 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0) 的两个根是x1， x2，那么abxx21，acxx21(2) 如果方程x2+px+q=0 的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-P， x1x2=q(3) 以 x1，x2为根的一元二次方程( 二次项系数为1) 是 x2-(x1+x2)x+x1x2=03. 二次三项式的因式分解( 公式法 ) 在分解二次三项式ax2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0 的两个根是x1,x2，那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 考查重
3、点与常见题型1. 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于 x 的方程 ax22x10 中，如果a0，那么梗的情况是（）（ A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2. 利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设 x1，x2是方程 2x26x30 的两根，则x12x22的值是（）（ A）15 （B） 12 （C）6 （ D）3 3在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考
4、生分析问题、解决问题的能力。考查题型1关于 x 的方程 ax22x10 中，如果 a0，那么根的情况是（）（ A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（ D）不能确定2设 x1，x2是方程 2x26x30 的两根，则x12x22的值是（）（A）15 （ B）12 （C ）6 （D）3 3下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（A）2y2+5=6y（ B）x2+5=25 x （C）3 x22 x+2=0 （D）3x2 26 x+1=0 4以方程x22x30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A）y2+5y 6=0 （ B）y2+5y6=0 （C）y25y6=0
5、（D）y25y6=0 5如果 x1， x2是两个不相等实数，且满足x122x11，x22 2x21，那么 x1x2等于（）（A）2 （B） 2 （C ）1 （D） 1 6如果一元二次方程x24xk20 有两个相等的实数根，那么k7如果关于x 的方程 2x2(4k+1)x 2 k210 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是8已知 x1，x2是方程 2x27x40 的两根，则x1x2，x1x2， （x1x2）29若关于x 的方程 (m2 2)x2(m2)x 1 0的两个根互为倒数，则m 二、考点训练：1、 不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2x=5 (2)9x262 +2=0 (3)x
6、2x+2=0 2、 当 m= 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当 m= 时，方程mx2+4x+1=0 有两个不相等的实数根；3、 已知关于x 的方程 10 x2(m+3)x+m 7=0，若有一个根为0，则 m= ，这时方程的另一个根是；若两根之和为35，则 m= ，这时方程的两个根为 . 4、 已知 32 是方程 x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。5、 求证：方程 (m2+1)x22mx+(m2+4)=0 没有实数根。6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是15 和 1+5 。7、 设 x1,x2是方程 2x2+4x3=0 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
7、(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2x1 + x1x2（ 3）x12+ x1x2+2 x1解题指导1、 如果 x22(m+1)x+m2+5 是一个完全平方式，则m= ; 2、 方程 2x(mx4)=x2 6 没有实数根，则最小的整数m= ; 3、 已知方程2(x 1)(x 3m)=x(m4) 两根的和与两根的积相等，则m= ; 4、 设关于 x 的方程 x2 6x+k=0 的两根是m和 n，且 3m+2n=20 ，则 k 值为 ; 5、 设方程 4x2 7x+3=0 的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值: (1) x12+x22 (2)x1x2（3）12（ 4）x1x2212
8、x1 6. 实数、分别满足方程192 99 1 0 和且19 992 0 求代数式 4 1的值。7. 已知 a 是实数，且方程x2+2ax+1=0 有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+112 (a2x2a21)=0 有无实根？8. 求证：不论k 为何实数，关于x 的式子 (x 1)(x 2)k2都可以分解成两个一次因式的积。9实数 K在什么范围取值时，方程22（ 1）（ K 1） 0有实数正根？独立训练（一）1、 不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t 4=0, ; (2)16x2+9=24x, ; (3)5(u2+1) 7u=0, ; 2、 若方程 x2(2m1)x+m
9、2+1=0 有实数根，则m的取值范围是 ; 3、 一元二次方程x2+px+q=0 两个根分别是2+3 和 23 ，则 p= ,q= ; 4、 已知方程3x219x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是，m= ; 5、 若方程 x2+mx1=0 的两个实数根互为相反数，那么m的值是 ; 6、 m,n 是关于 x 的方程 x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式mn= 。7、 已知关于x 的方程 x2(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求 k 的值 ; 8、 如果 和是方程 2x2+3x1=0 的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于+1和
10、+1 ; 9、 已知 a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10. 取什么实数时，二次三项式2x2 (4k+1)x+2k21 可因式分解 . 11. 已知关于X的一元二次方程222（3） 10 的两实数根为 , ，若11，求的取值范围。独立训练（二）1、 已知方程x23x+1=0 的两个根为 , ，则 + = , = ; 2、 如果关于x 的方程 x24x+m=0与 x2x 2m=0有一个根相同，则m的值为 ; 3、 已知方程2x23x+k=0 的两根之差为212，则 k= ; 4、 若方程 x2+(
11、a22)x 3=0 的两根是1 和 3，则 a= ; 5、 方程 4x22(a-b)x ab=0 的根的判别式的值是 ; 6、 若关于x 的方程x2+2(m1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ; 7、 已知 p0,q0 ，则一元二次方程x2+px+q=0 的根的情况是 ; 8、 以方程 x23x1=0 的两个根的平方为根的一元二次方程是 ; 9、 设 x1,x2是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 1x11x210 m取什么值时，方程2x2(4m+1)x+2m2 1=0 （1） 有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；11设方程x2+px+q=0 两根之比为1:2 ，根的判别式=1，求 p,q 的值。12 是否存在实数， 使关于的方程9x2(4 7)x 62=0的两个实根x1,x2， 满足x1 x232， 如 果 存 在 ， 试 求 出 所 有 满 足 条 件 的 的 值 ， 如 果 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 。