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1、MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A本本 讲讲 内内 容容单位载荷法例题单位载荷法例题13-13-7 7 梁的横向剪切变形效应梁的横向剪切变形效应PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A变形体虚变形体虚功原理功原理 处于处于平衡状态平衡状态的的变形体变形体，外力外力在在虚位移虚位移上所作上所作 虚功，恒等于虚功，恒等于可能内力可能内力在在虚变形虚变形上所作虚功。上所作虚功。与虚位移相应与虚位移相应能够与外力平衡能够与外力平衡Page
2、MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 关于虚功原理：关于虚功原理：内力与外力满足平衡方程与静力边界条件内力与外力满足平衡方程与静力边界条件外力在虚位移作功外力在虚位移作功=内力在虚变形作功内力在虚变形作功 虚位移是任意微小的、可能的位移虚位移是任意微小的、可能的位移 虚变形是与虚位移相对应的变形虚变形是与虚位移相对应的变形 虚功原理适用于线弹性、非线弹性、非弹性结构虚功原理适用于线弹性、非线弹性、非弹性结构静力许可场静力许可场的的外力外力在在运动许可场运动许可场的的位移位移上所作虚功上所作虚功静力许可场静力许可场的
3、的内力内力在在运动许可场运动许可场的的变形变形上所作虚功上所作虚功PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 任意杆件内虚功的计算任意杆件内虚功的计算通常略去通常略去FNdxd*/2d*/2dxd*/2d*/2dxd*/2d*/2dxd*/2d*/2TMFsPageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A对于线弹性体：对于线弹性体：(a)(b)PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALS
4、B U A AB U A A 单位载荷法的应用步骤：单位载荷法的应用步骤：根据待求问题选择相应的单位载荷状态；根据待求问题选择相应的单位载荷状态；代入公式进行计算代入公式进行计算 分别写出原始受力状态下的变形表达式与单位载荷状态下分别写出原始受力状态下的变形表达式与单位载荷状态下 的内力分布函数；的内力分布函数；对于线弹性体直接写出两种状态下的内力表达式对于线弹性体直接写出两种状态下的内力表达式PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A例例4：如图所示简支梁，试用单位载荷法：如图所示简支梁，试用单位载荷法(或卡氏
5、定理或卡氏定理)计计算梁变形前后梁轴所围成的面积算梁变形前后梁轴所围成的面积A*。已知梁的抗弯刚度已知梁的抗弯刚度EI，且材料服从虎克定律。且材料服从虎克定律。APaBCax1AaCax 选定单位载荷状态选定单位载荷状态PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A AaaaAqBC例例5：已知：已知EI，求求A_、A+x2x1qRARBRAx3ABC1解：解：(1)求求A-PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A AABC1(2)求求A+A
6、BC11PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A例例1：图示圆弧形小曲率杆，：图示圆弧形小曲率杆，EI为常数，横截面为常数，横截面A、B间间存在夹角为存在夹角为的微小缝隙。若要使的微小缝隙。若要使A、B两截面密合，两截面密合，应在应在横截面横截面A、B上加怎样的载荷上加怎样的载荷?ABR解：解：同时加上力同时加上力P P和力偶和力偶M M 用单位载荷法计算用单位载荷法计算 A/B和和 A/BABR1MPRMP ABR1PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIAL
7、SB U A AB U A A 确定确定P P和和M MABRMPABR1PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A例例2：杆：杆1，物理非线性，物理非线性 ，杆，杆2，物理线性，物理线性，已知杆横截面积均为，已知杆横截面积均为A，求，求fBP12l45o1解：解：载荷状态载荷状态单位状态单位状态 BPageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A例例3：悬臂梁顶面与底面温度分别升高：悬臂梁顶面与底面温度分别升高T1与与T2(T2 T1)
8、，且温度沿横截面高度呈线性变化，已知材料线膨胀系数且温度沿横截面高度呈线性变化，已知材料线膨胀系数，求求fA和和 A。ABlxABx1ABx1解：解：用单位载荷法计算用单位载荷法计算f fA和和 APageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A AABlxdx T1dx T2dxd d ABx1ABx1PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A思考：思考：思考：思考：能量法与解析法的联系能量法与解析法的联系能量法与解析法的联系能量法与解析法
9、的联系各杆各杆EAEA相同，求相同，求f fA A解析法方程：解析法方程：平衡方程：平衡方程：几何方程：几何方程：l1 l2 l3物理方程：物理方程：能量法方程：能量法方程：(已满足物理方程已满足物理方程)P132l2l3l1 APageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A思考：思考：思考：思考：能量法与解析法的联系能量法与解析法的联系能量法与解析法的联系能量法与解析法的联系各杆各杆EAEA相同，求相同，求f fA A解析法方程：解析法方程：平衡方程：平衡方程：几何方程：几何方程：P132l2l3l1 l1 l2
10、l3物理方程：物理方程：能量法方程：能量法方程：(已满足物理方程已满足物理方程)APageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A能量法方程：能量法方程：若若平衡方程满足：平衡方程满足：N N2 2,N,N3 3为独立变量为独立变量能量法方程等价于几何方程能量法方程等价于几何方程 同理，若几何方程满足同理，若几何方程满足能量法方程等价于平衡方程能量法方程等价于平衡方程 PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A1 13 3-7 7 梁的横
11、向剪切变形效应梁的横向剪切变形效应前一章在计算变形能时，忽略了剪切变形的影响前一章在计算变形能时，忽略了剪切变形的影响 考虑剪切效应时考虑剪切效应时梁的应变能梁的应变能y xdxydyzyh/2h/2bdxbdy PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 应变能表达式：应变能表达式：?PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A Ay xdxzyydyh/2h/2bdxbdy 矩形：矩形：kS=6/5，圆截面：圆截面：kS=10/9薄壁
12、圆管：薄壁圆管：kS=2弯曲变形能弯曲变形能剪切变形能剪切变形能剪切形状剪切形状系数系数PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 剪力对梁位移的影响剪力对梁位移的影响：纯弯曲状态纯弯曲状态小变形假设小变形假设卡氏定理：卡氏定理：PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A不考虑剪力的影响不考虑剪力的影响考虑剪力的影响考虑剪力的影响例：例：qFqxPageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATER
13、IALSB U A AB U A A 单位载荷法求位移单位载荷法求位移q考虑剪力的影响考虑剪力的影响有没有其它办法有没有其它办法?1PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 结果分析结果分析：不考虑剪力的影响：不考虑剪力的影响：考虑剪力的影响：考虑剪力的影响：对于矩形截面梁：对于矩形截面梁：一般金属材料：一般金属材料：h/l为影响剪切效应的主要因素为影响剪切效应的主要因素PageMECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A作业：作业：13-2613-26，13-2713-27Page