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1、MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 对于线弹性体：对于线弹性体：（余能（余能=应变能）应变能）卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第一定理：卡氏第一定理：公式中公式中 k k为广义力为广义力F Fk k的的相应广义位移相应广义位移 公式中的公式中的广义力广义力F Fk k为为相互独立的变量相互独立的变量Page1MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A例例4 4：图示刚架，：图示刚架，EI为常数，为常数，1 1、求、求A A点的水平与垂直位移；点
2、的水平与垂直位移；2 2、分析、分析 的意义。的意义。FFAaaF2AaaF11 1、求位移、求位移2 2、Page2MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 讨论讨论的意义的意义FFAB代表代表AB两点的相对位移两点的相对位移若两个若两个F F反向，反向，为两载荷对应的相对线位移为两载荷对应的相对线位移的意义的意义A AB BMM若两个若两个M M反向，反向，为两载荷对应的相对角位移为两载荷对应的相对角位移Page3MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A A
3、B U A A例例5 5：各杆：各杆EA相同相同，求，求A A、B B两点的相对水平位移和两点的相对水平位移和ABAB杆的转动角杆的转动角ABaaaPABaaaP1P1PPage4MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A AABaaaP求求ABAB杆的转动角杆的转动角MM/aM/aABPage5MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A本本 讲讲 内内 容容 例例 题题 分分 析析13-5 13-5 单位载荷法单位载荷法13-4 13-4 虚功原理虚
4、功原理Page6MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 引言引言 附加载荷法附加载荷法在在C截面附加一弯曲力偶截面附加一弯曲力偶M在附加力矩后，使得弯矩方在附加力矩后，使得弯矩方程更加复杂程更加复杂例：求梁中间截面例：求梁中间截面C C截面的转角截面的转角,已知已知EIEI、a a、P P、q q。ABPq/2a/2aa/2CDHABPq/2a/2aa/2CDMHPage7MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 回顾刚体虚功原理回顾刚体虚功
5、原理处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。虚位移：虚位移：满足约束条件的微小位移满足约束条件的微小位移 虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关 对于变形体又有什么样的结论？对于变形体又有什么样的结论？变形体区别于刚体的两个特点：变形体区别于刚体的两个特点：除了可以有虚位移之外，还有虚变形除了可以有虚位移之外，还有虚变形 在加虚位移时，外力在虚位移会做功，内力在虚在加虚位移时，外力在虚位移会做功，内力在虚 变形上也会做功变形上也会做功
6、13-4 13-4 13-4 13-4 虚功原理虚功原理虚功原理虚功原理Page8MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 变形体虚功原理变形体虚功原理P Plq(xq(x)T TF Fq(xq(x)F FS SF FN NM MT T 结构整体平衡结构整体平衡所有外力构成一组平衡力系所有外力构成一组平衡力系 结构任一段平衡结构任一段平衡截面上内力与该段外力构成截面上内力与该段外力构成一组平衡力系一组平衡力系可能内力：可能内力：满足平衡方程与静力边界条满足平衡方程与静力边界条件的内力件的内力 对于静定系统，可能内力即为
7、真实内力对于静定系统，可能内力即为真实内力 对于静不定系统，满足变形协调条件的对于静不定系统，满足变形协调条件的 可能内力才是真实内力可能内力才是真实内力平衡外力系与可能内力构成平衡外力系与可能内力构成静力许可场静力许可场Page9MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A AP Plq(xq(x)T TF F若加一虚位移若加一虚位移(可能位移可能位移)微段微段(刚体刚体)虚位虚位移移虚变形虚变形不同于刚体不同于刚体可能位移：可能位移：满足位移边界条件满足位移边界条件及及变变形连续条件形连续条件的任意的任意微小微小位移位移可
8、能位移与变形构成可能位移与变形构成运动许可场运动许可场dxd*/2d*/2dxd*/2d*/2dxd*/2d*/2dxd*/2d*/2dxdxPage10MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 研究外力和内力所作的虚功研究外力和内力所作的虚功方法：方法：分析微分析微段上力系在虚位移和虚变形上所作总虚功段上力系在虚位移和虚变形上所作总虚功 微段的受力分析：微段的受力分析：微段上作用有外力和内力微段上作用有外力和内力微段处于平衡状态微段处于平衡状态外虚功：外虚功：内虚功：内虚功：微段的变形分析：微段的变形分析：微段上有微
9、段上有(刚体刚体)虚位移和虚变形虚位移和虚变形外力在虚位移上所作的功外力在虚位移上所作的功内力在虚变形上所作的功内力在虚变形上所作的功We 静力许可场的外力在运动许可场的静力许可场的外力在运动许可场的位移上所作虚功位移上所作虚功Wi 静力许可场的内力在运动许可场的变形静力许可场的内力在运动许可场的变形上所作虚功上所作虚功Page11MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 微段上力系在虚位移和虚变形上所作总虚功微段上力系在虚位移和虚变形上所作总虚功(一一)：力系在虚位移力系在虚位移上所作虚功上所作虚功力系在虚变形力系在
10、虚变形上所作虚功上所作虚功刚体虚功原理刚体虚功原理外力在虚变形上不作功外力在虚变形上不作功内力在虚变形内力在虚变形上所作虚功上所作虚功dxdxq(xq(x)F FS SF FN NM MT TPage12MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 微段上力系在虚位移和虚变形上所作总虚功微段上力系在虚位移和虚变形上所作总虚功(二二)：外力在虚位移和外力在虚位移和虚变形上所作虚功虚变形上所作虚功内力在虚位移和虚内力在虚位移和虚变形上所作虚功变形上所作虚功1 1、内力均作用于切开面上、内力均作用于切开面上2 2、切开处的两面上
11、，内力大小相等、方向相、切开处的两面上，内力大小相等、方向相 反，总虚位移相同反，总虚位移相同dxdxq(xq(x)F FS SF FN NM MT TPage13MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A变形体虚变形体虚功原理功原理 处于处于平衡状态平衡状态的的变形体变形体，外力外力在在虚位移虚位移上所作上所作 虚功，恒等于虚功，恒等于可能内力可能内力在在虚变形虚变形上所作虚功。上所作虚功。与虚位移相应与虚位移相应能够与外力平衡能够与外力平衡Page14MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS O
12、F MATERIALSB U A AB U A A 任意杆件内虚功的计算任意杆件内虚功的计算通常略去通常略去FNdxd*/2d*/2dxd*/2d*/2dxd*/2d*/2dxd*/2d*/2TMFsPage15MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A例：验证虚功原理例：验证虚功原理q(x)lA Axdx虚位移虚位移位移边界条件与变形连续条件位移边界条件与变形连续条件Page16MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A位移边界条件位移边界条件静
13、力边界条件静力边界条件Page17MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 关于虚功原理：关于虚功原理：内力与外力满足平衡方程与静力边界条件内力与外力满足平衡方程与静力边界条件外力在虚位移作功外力在虚位移作功=内力在虚变形作功内力在虚变形作功 虚位移是任意微小的、可能的位移虚位移是任意微小的、可能的位移 虚变形是与虚位移相对应的变形虚变形是与虚位移相对应的变形 虚功原理适用于线弹性、非线弹性、非弹性结构虚功原理适用于线弹性、非线弹性、非弹性结构静力许可场静力许可场的的外力外力在在运动许可场运动许可场的的位移位移上所作虚
14、功上所作虚功静力许可场静力许可场的的内力内力在在运动许可场运动许可场的的变形变形上所作虚功上所作虚功Page18MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A13-5 13-5 单位载荷法单位载荷法 回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法 直接计算法直接计算法 (画变形图、积分法等画变形图、积分法等)利用功能原理利用功能原理 利用卡氏第二定理利用卡氏第二定理不适宜解决复杂问题不适宜解决复杂问题只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移只适
15、用于线弹性体，对于复杂问题，使内力方程更复杂只适用于线弹性体，对于复杂问题，使内力方程更复杂单位载荷法单位载荷法：一种新的计算方法。：一种新的计算方法。Page19MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 单位载荷法单位载荷法 理论基础：理论基础：变形体虚功原理变形体虚功原理 任务：任务：变形体在已知载荷作用下，求任意一点沿变形体在已知载荷作用下，求任意一点沿 任一方向的位移任一方向的位移q(x)PAnn例：求任一例：求任一A截面沿任一方向截面沿任一方向n-n方向的位移方向的位移 A A截面上没有作用广义力截面上没有作
16、用广义力 杆系结构上作用有多个广义力杆系结构上作用有多个广义力 所求位移不为某一广义力的相应位移所求位移不为某一广义力的相应位移Page20MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A Aq(x)PAnnAnn1方法一：卡氏第二定理方法一：卡氏第二定理方法二：虚功原理方法二：虚功原理 处于平衡状态的变形体，外力在处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所做功等于内力在虚变形上虚位移上所做功等于内力在虚变形上所做功。所做功。选择单位载荷状态选择单位载荷状态 选择虚位移选择虚位移将真实载荷状态下的位移作为虚位移将真实载荷状态下的位移作
17、为虚位移Page21MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A Aq(x)PAnnAnn1研究单位载荷状态，并取真实载荷引研究单位载荷状态，并取真实载荷引起的位移作为虚位移。起的位移作为虚位移。虚功原理的表达式：虚功原理的表达式：真实载荷在微段引起的虚变形：真实载荷在微段引起的虚变形：单位载荷在微段引起的内力：单位载荷在微段引起的内力：忽略剪力的影响忽略剪力的影响Page22MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A对于线弹性体：对于线弹性体：(a)(
18、b)Page23MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A对于线弹性体：对于线弹性体：(a)(b)Page24MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 关于单位载荷法的说明：关于单位载荷法的说明：应用应用(a)(a)式，不受材料性质的限制式，不受材料性质的限制(但须满足小变形条件但须满足小变形条件)应用应用(b)(b)式，只能是线弹性体式，只能是线弹性体 式中的式中的 A,nA,n也可以是转角也可以是转角(此时单位载荷状态加的此时单位载荷状态加的
19、 是单位力偶是单位力偶)q(x)PAxzA1Page25MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 式中的式中的 A,nA,n还可以是两截面的相对位移或相对转角还可以是两截面的相对位移或相对转角(此此 时单位载荷状态加的是一对反向的单位力或单位力偶时单位载荷状态加的是一对反向的单位力或单位力偶)FFAB原始受力状态原始受力状态11AB单位载荷状态单位载荷状态11AB单位载荷状态单位载荷状态 按以上公式求出的按以上公式求出的位移为正，则说明所求位移方向与位移为正，则说明所求位移方向与 所加单位载荷同向，为负，则说明两者反向
20、。所加单位载荷同向，为负，则说明两者反向。Page26MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A例例1：求：求A点的垂直位移。已知杆的抗弯刚度点的垂直位移。已知杆的抗弯刚度EI与抗扭刚度与抗扭刚度GItA1BCx1x2 选定单位载荷状态选定单位载荷状态 分别求原始受力状态下和单位分别求原始受力状态下和单位载荷状态下，杆的内力分布载荷状态下，杆的内力分布AB段：段：BC段：段：APBCx1x2al 代入公式计算位移代入公式计算位移Page27MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERI
21、ALSB U A AB U A A例例2：求：求A端截面的转角。已知梁的抗弯刚度端截面的转角。已知梁的抗弯刚度EI 选定单位载荷状态选定单位载荷状态 分别求原始受力状态下和单位分别求原始受力状态下和单位载荷状态下，杆的内力分布载荷状态下，杆的内力分布AB段：段：BC段：段：代入公式计算位移代入公式计算位移AqaBCax1x2AaBCax1x21Page28MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A例例3：求图示：求图示桁桁架中架中AB杆的转角及杆的转角及A、D点沿两点连线的点沿两点连线的相对位移。已知杆的拉压刚度相对位移
22、。已知杆的拉压刚度EA。lDABCl2PPDABC1/l1/l求求ABAB杆的转角杆的转角DABC11求求A A、D D的相对位移的相对位移 选定单位载荷状态选定单位载荷状态Page29MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A 分别求原始受力状态下和单位载荷状态下，杆的内力分布分别求原始受力状态下和单位载荷状态下，杆的内力分布（1）原始受力状态下原始受力状态下：DABC1/l1/l求求ABAB的转角的转角12345DABC11求求A A、D D的相对位移的相对位移12345单位载荷状态下单位载荷状态下：lDABCl2P
23、P12345Page30MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A（2）单位载荷状态下单位载荷状态下：代入公式计算位移代入公式计算位移DABC11求求A A、D D的相对位移的相对位移12345Page31MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A例例4：如图所示简支梁，试用单位载荷法：如图所示简支梁，试用单位载荷法(或卡氏定理或卡氏定理)计计算梁变形前后梁轴所围成的面积算梁变形前后梁轴所围成的面积A*。已知梁的抗弯刚度。已知梁的抗弯刚度EI，且材
24、料服从虎克定律。，且材料服从虎克定律。APaBCax1AaCax 选定单位载荷状态选定单位载荷状态Page32MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A AaaaAqBC例例5：已知：已知EI，求，求A_、A+x2x1qRARBRAx3ABC1解：解：(1)求求A-Page33MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A AABC1(2)求求A+ABC11Page34MECHANICS OF MATERIALSMECHANICS OF MATERIALSB U A AB U A A作业：作业：13-17(b),13-18(a),13-22 13-17(b),13-18(a),13-22Page35