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1、学案学案5 5 函数与方程函数与方程 名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 函数与方程函数与方程了解函数的零点与方程根的联系了解函数的零点与方程根的联系,判断判断一元二次方程根的存在性与根的个数一元二次方程根的存在性与根的个数.体会用二分法求方程近似解的思想体会用二分法求方程近似解的思想(只要求能借助于计算器只要求能借助于计算器,确定形如确定形如
2、x x3 3+ax+b=0,a+ax+b=0,ax x+bx+c=0,lgx+bx=0+bx+c=0,lgx+bx=0的方的方程的解的范围程的解的范围)返回目录返回目录 名师伴你行 1.函数与方程中函数的零点及二分法是新增内容函数与方程中函数的零点及二分法是新增内容,是是高考必考内容高考必考内容.2.高考中多以难度较低的选择、填空为主，结合函数高考中多以难度较低的选择、填空为主，结合函数图象，考查图象交点，以及方程的根的存在性问题图象，考查图象交点，以及方程的根的存在性问题.3.在解答题中亦有考查在解答题中亦有考查,多定位于数形结合、分类讨多定位于数形结合、分类讨论、函数与方程思想的应用论、函
3、数与方程思想的应用,属于易错题型属于易错题型.4.方程与函数的相互转化，在以前的高考中都出现过，方程与函数的相互转化，在以前的高考中都出现过，如如“三个二次三个二次”的相互转化，指数、对数方程等，要做的相互转化，指数、对数方程等，要做一些这方面的准备一些这方面的准备.函数的零点必将成为高考的重点函数的零点必将成为高考的重点,尤尤其以函数为载体考查方程根的个数的判断其以函数为载体考查方程根的个数的判断,以及求参数的以及求参数的范围范围,将是重点考查的问题将是重点考查的问题.考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 返回目录返回目录 1.函数零点的定义 (1)对于函数对于函数y=f(x)(xD),把
4、使把使 的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)(xD)的零点的零点.(2)方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与 有交点有交点函数函数y=f(x)有有 .f(x)=0 x轴轴 零点零点 名师伴你行 2.函数零点的判定 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不断上的图象是连续不断的一条曲线的一条曲线,并且有并且有 ,那么那么,函函数数y=f(x)在区间在区间 内有零点内有零点,即存在即存在c(a,b),使得使得 ,这个这个c也就是也就是f(x)=0的根的根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.3.二
5、次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系返回目录返回目录 f(a)f(b)0)(a0)的的图象图象与与X X轴的交点轴的交点无交点无交点零点个数零点个数返回目录返回目录 无无 (x1,0),(x2,0)(x1,0)两个两个 一个一个 名师伴你行返回目录返回目录 4.用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤零点近似值的步骤 第一步第一步,确定区间确定区间a,b,验证验证 ,给定精确度给定精确度;第二步第二步,求区间求区间(a,b)的中点的中点c;第三步第三步,计算计算 :若若 ,则则c就是函数的零点就是函数的零点;若若 ,则令则令b=c(此时零点
6、此时零点x0(a,c);若若 ,则令则令a=c(此时零点此时零点x0(c,b);第四步第四步,判断是否达到精确度判断是否达到精确度:即若即若|a-b|,则得到则得到零点近似值零点近似值a(或或b);否则重复第二、三、四步否则重复第二、三、四步.f(c)f(b)0f(a)f(b)0 f(c)f(c)=0f(a)f(c)0,f(2)=4sin5-20,函数函数f(x)在在0,2上存在零点；上存在零点；f(-1)=-4sin1+10,函数函数f(x)在在-2,0上存在零点；上存在零点；又又2 0,而而f(2)0,函数函数f(x)在在2,4上存在零点上存在零点.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回
7、目录 名师伴你行由由f(-4)=4sin(-7)+4=4-4sin7,sin360sin7sin405,0sin70;又又f(-2)=4sin(-3)+2=2-4sin3,而而sin3sin171,f(-2)0.由由f(-4)0,f(-2)0知知,f(x)在在-4,-2内不存在零点内不存在零点.函数的零点存在性问题常用的办法有三种函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用一是用定理定理,二是解方程二是解方程,三是用图象三是用图象.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 判断下列函数在给定区间上是否存在零点判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）f(x)=x2-3x-18,x1,8;
8、（2）f(x)=x3-x-1,x-1,2;（3）f(x)=log2(x+2)-x,x1,3.名师伴你行返回目录返回目录【解析解析解析解析】(1)解法一解法一:f(1)=-200,f(1)f(8)0,故故f(x)=x2-3x-18,x1,8存在零点存在零点.解法二解法二:令令x2-3x-18=0,解得解得x=-3或或6,函数函数f(x)=x2-3x-18,x1,8存在零点存在零点.(2)f(-1)=-10,f(x)=x3-x-1,x-1,2存在零点存在零点.(3)f(1)=log2(1+2)-1log22-1=0,f(3)=log2(3+2)-3log28-3=0,f(1)f(3)0的零点个数为
9、的零点个数为 .2010年高考福建卷函数年高考福建卷函数f(x)=【分析分析】解方程求零点解方程求零点.返回目录返回目录 名师伴你行 x0 x2+2x-3=0 x0 -2+lnx=0f(x)的零点个数为的零点个数为2个个.【解析】【解析】由由 又又 得得x=-3.得得x=e2,分段函数求零点时应分段去求分段函数求零点时应分段去求.返回目录返回目录 求函数求函数y=lnx+2x-6的零点个数的零点个数.名师伴你行 【解析解析解析解析】在同一坐标系在同一坐标系中画出中画出y=lnx与与y=6-2x的图的图象如图所示象如图所示,由图已知两图由图已知两图象只有一个交点象只有一个交点,故函数故函数y=l
10、nx+2x-6只有一个零点只有一个零点.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点3 3 零点性质的应用零点性质的应用零点性质的应用零点性质的应用 （1）若函数）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数有且仅有一个零点，求实数a的值；的值；（2）若函数）若函数f(x)=|4x-x2|+a有四个零点，求实数有四个零点，求实数a的的取值范围取值范围.【分析分析分析分析】(1)二次项系数含有字母二次项系数含有字母,需分类讨论需分类讨论.(2)利用函数图象求解利用函数图象求解.名师伴你行【解析解析解析解析】(1)若若a=0,则则f(x)=-x-1,令令f(x)=0,即
11、即-x-1=0,得得x=-1,故符合题意故符合题意;若若a0,则则f(x)=ax2-x-1是二次函数是二次函数,故有且仅有一个零点等价于故有且仅有一个零点等价于=1+4a=0,解得解得a=-.综上所述综上所述,a=0或或a=-.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 (2)若若f(x)=|4x-x2|+a有有4个零点个零点,即即|4x-x2|+a=0有四个根有四个根,即即|4x-x2|=-a有四个根有四个根.令令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出作出g(x)的图象如图所示的图象如图所示,由图象可知由图象可知,如果要使如果要使|4x-x2|=-a有四个根有四个根,那么那么g(x
12、)与与h(x)的图象的图象应有应有4个交点个交点.故需满足故需满足0-a4,即即-4a0.a的取值范围是的取值范围是(-4,0).名师伴你行 此类方程根的分布问题此类方程根的分布问题,通常有两种解法通常有两种解法.一是利用一是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图 象求解象求解;二是构造两个函数分别作出图象二是构造两个函数分别作出图象,利用数形结合法求解利用数形结合法求解.此类题目也体现了函数与方程、数形结合的思想此类题目也体现了函数与方程、数形结合的思想.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录(1)函数函数f(x)=x2+2(m+3)x+2
13、m+14有两个零点有两个零点,且一个且一个 大于大于1,一个小于一个小于1,求实数求实数m的取值范围的取值范围;(2)关于关于x的方程的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根有两实根,且且 一根大于一根大于4,一根小于一根小于4,求实数求实数m的取值范围的取值范围.名师伴你行(1)解法一解法一:设方程设方程x2+2(m+3)x+2m+14=0的两根分别为的两根分别为x1,x2(x1x2).依题意依题意,只需满足只需满足(x1-1)(x2-1)0.即即x1x2-(x1+x2)+10.由根与系数的关系可得由根与系数的关系可得(2m+14)+2(m+3)+10,即即4m+210,解得解得
14、m-.解法二解法二:由于函数图象开口向上由于函数图象开口向上,故依题意故依题意,只需只需f(1)0,即即1+2(m+3)+2m+140,即即4m+210,解得解得m0 m0 g(4)0,解得解得-m0.返回目录返回目录 依题意得依题意得或或名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行1.1.函数的零点、方程的根、函数图象与函数的零点、方程的根、函数图象与函数的零点、方程的根、函数图象与函数的零点、方程的根、函数图象与x x轴的交点的横坐标，轴的交点的横坐标，轴的交点的横坐标，轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就实质是同
15、一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与是函数零点的个数，亦即函数图象与是函数零点的个数，亦即函数图象与是函数零点的个数，亦即函数图象与x x轴交点的个数轴交点的个数轴交点的个数轴交点的个数.2.2.变号零点与不变号零点变号零点与不变号零点变号零点与不变号零点变号零点与不变号零点.(1)(1)若函数若函数若函数若函数f(xf(x)在零点在零点在零点在零点x x0 0左右两侧的函数值异号左右两侧的函数值异号左右两侧的函数值异号左右两侧的函数值异号,则称该零点则称该零点则称该零点则称该零点为函数为函数为函数为函数f
16、(xf(x)的变号零点的变号零点的变号零点的变号零点.(2)(2)若函数若函数若函数若函数f(xf(x)在零点在零点在零点在零点x x0 0左右两侧的函数值同号左右两侧的函数值同号左右两侧的函数值同号左右两侧的函数值同号,则称该零点则称该零点则称该零点则称该零点为函数为函数为函数为函数f(xf(x)的不变号零点的不变号零点的不变号零点的不变号零点.(3)(3)若函数若函数若函数若函数f(xf(x)在区间在区间在区间在区间a,ba,b上的图象是一条连续的曲线上的图象是一条连续的曲线上的图象是一条连续的曲线上的图象是一条连续的曲线,则则则则f(a)f(bf(a)f(b)0)0是是是是f(xf(x)在区间在区间在区间在区间(a,ba,b)内有零点的充分不必要条内有零点的充分不必要条内有零点的充分不必要条内有零点的充分不必要条件件件件.名师伴你行