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1、提升数学能力提升数学能力 优化理性思维优化理性思维 20102010年高考数学年高考数学备考策略备考策略 试题包括立意、情境和设问三个方面试题包括立意、情境和设问三个方面.以能力立意命题，就是首先确定在能力方以能力立意命题，就是首先确定在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适当的考查内容，设计适当的设问方选择适当的考查内容，设计适当的设问方式式.以能力立意命题，不仅是命题方式的变以能力立意命题，不仅是命题方式的变化，更是命题理念和原则的变化化，更是命题理念和原则的变化.数学能力是指空间想象能力、抽数学能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证
2、能力、运算求象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力解能力、数据处理能力.对能力的考查，对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性和应用性，切合考生力，强调综合性和应用性，切合考生实际实际.一一.空间想象能力空间想象能力 数学高考对空间想象能力提出了三个方面的数学高考对空间想象能力提出了三个方面的要求：能根据条件做出正确的图形，根据图形想要求：能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换及其相互关系；能对图形进行分解
3、、组合与变换.例例1 1 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h3，则则h1h2h3=A11B22C2D2 设棱长为设棱长为a，则正四，则正四棱锥的高棱锥的高,正三棱锥的高及三棱正三棱锥的高及三棱柱的高柱的高故故h1h2h3=例例2 2已知正四面体已知正四面体ABCD的表面积的
4、表面积为为S，其四个面的中心分别为，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体设四面体EFGH的表面积为的表面积为T，则则等于等于=.例例3 3棱长为棱长为2的的正四面体的四个顶点正四面体的四个顶点都在同一个球面上都在同一个球面上,若过该球球心的一个若过该球球心的一个截面如图截面如图,则图中三角形则图中三角形(正四面体的截面正四面体的截面)的面积是的面积是例例4 4正四面体正四面体ABCD的棱长为的棱长为1，棱棱AB平面平面，则正四面体上的所有，则正四面体上的所有点在平面点在平面内的射影构成的图形面积的内的射影构成的图形面积的取值范围是取值范围是.当当CD时，射影构成的三角形时，射影构成的三
5、角形ABE面面积最小，最小面积为积最小，最小面积为SABE 当棱当棱CD平面平面时，射影构成的四边形时，射影构成的四边形AFEB面面积最大，最大面积为积最大，最大面积为例例5 5如图如图,在等腰梯形在等腰梯形ABCD,AB=2DC=2,，DAB=60,E为为AB的中点，将的中点，将ADE与与BEC分别沿分别沿ED、EC向上折起，使向上折起，使A、B重合于点重合于点P，则三棱锥，则三棱锥PDCE的外接球体积为的外接球体积为 例例6 6 直三棱柱直三棱柱ABCA1B1C1的的底面为直角三角底面为直角三角形，形，ACB90，AC6,BCCC1,P是是BC1上动点，上动点，则则CPPA1的最小值是的最
6、小值是.沿沿BC1将二面角将二面角A1 BC1C展开，使展开，使A1，B，C1，C四点位于同一平四点位于同一平面，生成四边形面，生成四边形A1BCC1.由直三棱柱由直三棱柱ABC A1B1C1 的底面为直角三角形，的底面为直角三角形，且且 ACB90，故在四边形，故在四边形A1BCC1中，中，A1C1BC1；又；又BCCC1，可知，可知BC1C是等腰直角三角形是等腰直角三角形.例例7 7已知二面角已知二面角-l-为为60,动点动点P，Q分别在分别在面面,内，内，P到到的距离为的距离为，Q到到的距离为的距离为2，则则P，Q两点之间距离的最小值为两点之间距离的最小值为A.B.2C.2D.4例例8
7、8如图，动点如图，动点P在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线的对角线BD1上，过点上，过点P作垂直于平面作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面的直线，与正方体表面相交于相交于M，N.设设BP=x，MN=y,则函数则函数y=f(x)的图象大致是的图象大致是 y=MN=2MP =2BPtanMBP =(2tan MBP)x例例9 9如图，等腰如图，等腰ABC的底边的底边，高，高CD=3，点点E是线段是线段BD上异于点上异于点B,D的动点，点的动点，点F在在BC边上，且边上，且EFAB，现沿，现沿EF将将BEF折起到折起到PEF的位置的位置,使使PEAE,记记BE=x,V(x)表示
8、四棱锥的体积表示四棱锥的体积(1)求求V(x)的表达式；的表达式；(2)当当x为何值时，为何值时，V(x)取得最大值？取得最大值？(3)当当V(x)取得最大值时，求异面直线取得最大值时，求异面直线AC与与PF所成角所成角的余弦值的余弦值（1）由折起过程知，）由折起过程知，PE平面平面ABC，故，故PE是四棱锥的高是四棱锥的高.由由EF/BC,得得二二.抽象概括能力抽象概括能力 能在对具体的实例抽象概括的过能在对具体的实例抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或做出新的判断
9、并能应用于解决问题或做出新的判断.例例1010函数函数f(x)的定义域为的定义域为R，若，若f(x+1)与与f(x-1)都是奇函数，则都是奇函数，则A.f(x)是偶函数是偶函数B.f(x)是奇函数是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数是奇函数 由由 f(x-1)是奇函数知是奇函数知 f(x)的图像关于的图像关于(-1，0)对称，对称，由由f(x+1)是奇函数知是奇函数知f(x)的图像关于的图像关于(1，0)对称，对称，故函数故函数f(x)是周期为是周期为4的周期函数，的周期函数，f(x+3)=f(x-1)是奇函数是奇函数.排除排除A.例例11 11 定义在定义在R上的函数上
10、的函数f(x)满足满足则则f(2009)的值为的值为A.-1B.0C.1D.2例例1212 已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)满足满足f(x-4)=-f(x)，且在区间，且在区间0，2上是增函数上是增函数.若若方程方程f(x)=m(m0)在区间在区间-8，8上有四个不同上有四个不同的根的根x1,x2,x3,x4,则则x1+x2+x3+x4=.由奇函数由奇函数f(x)满足满足f(x-4)=-f(x)，可得，可得f(4-x)=f(x)，即，即f(2-x)=f(2+x)，且，且f(x-8)=f(x)，可知函数，可知函数f(x)的图像关于直线的图像关于直线x=2对称，且对称，且f(x)
11、为周期为周期T=8的周期函数的周期函数.又又f(x)在区间在区间0，2上是增函数，故在区间上是增函数，故在区间-2，0上也是增函数上也是增函数.如图，方程如图，方程f(x)=m(m0)在区间在区间-8，8上的四上的四个不同的根个不同的根x1,x2,x3,x4,满足满足x1+x2=-12，x3+x4=4，故，故x1+x2+x3+x4=-8.123123123123123123例例1313用用n个不同的实数个不同的实数a1,a2,an可得到可得到n!个不同个不同的排列，每个排列为一行写成一个的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵行的数阵.对第对第i行行ai1,ai2,ain,记记bi=-ai1
12、+2ai23ai3+(-1)nnain.i=1,2,3,n!.例如：用例如：用1,2,3可得数阵如图可得数阵如图,由于此数阵中每由于此数阵中每一列各数之和都是一列各数之和都是12，所以，所以，则在用，则在用1,2,3,4,5形成的数阵中，形成的数阵中，b1+b2+b120=.由于此数阵中每一列由于此数阵中每一列各数之和都是各数之和都是 24(1+2+3+4+5)=360，因此所求的因此所求的b1+b2+b120=360(-1+2-3+4-5)=-1080.三三.推理论证能力推理论证能力 根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性的
13、能力一数学命题的真实性的能力.推理是数学思维的基本形式，推理是数学思维的基本形式，贯穿于数学学习与解题过程的始终贯穿于数学学习与解题过程的始终.论证是由已有的正确论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的正确性的一连串的过程的前提到被论证的结论的正确性的一连串的过程.推理推理既包括合情推理，也包括演绎推理既包括合情推理，也包括演绎推理.论证方法既包括按形论证方法既包括按形式划分的归纳法和演绎法，也包括按思考方法划分的直式划分的归纳法和演绎法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法接证法和间接证法.一般说来，运用合情推理探索和发现一般说来，运用合情推理探索和发现结论，再运用演绎推理进行证明结论，
14、再运用演绎推理进行证明.例例1414观察下列式：观察下列式：由以上等式推测一个一般的结论：对于由以上等式推测一个一般的结论：对于nN*，3,7,11,15,4n-1;1,3,5,7,2n-1;例例1515 平面内的一个四边形为平行四边形的平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：要条件：充要条件充要条件 ；充要条件充要条件 .例例1616平面几何里有勾股定理平面几何里有勾股定理:“设设ABC中中,AB,AC互相垂直互相垂直,则则
15、AB2+AC2=BC2”,拓展到空间，类比勾股拓展到空间，类比勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：间的关系，可以得出的正确结论是：“设设三棱锥三棱锥A-BCD的三个侧面的三个侧面ABC,ACD,ADB两两两垂直，则两垂直，则.”例例17 17 设函数设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值有两个极值点点x1,x2,且且x1s1s2Bs2s1s3Cs1s2s3Ds2s3s1甲的成绩环数7 8 9 10频数5 5 55乙的成绩环数7 8 9 10频数6 4 46丙的成绩环数7 8 9 10频数4 6 64例例2828从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，袋，测得各袋的质量分别为（单位：测得各袋的质量分别为（单位：g）：）：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在的袋装食盐质量在497.5g501.5g之间的概率为之间的概率为谢谢 谢谢