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1、函数的单调性函数的单调性首先我们研究一次函数首先我们研究一次函数f(x)=x和二次函数和二次函数f(x)=x2的单调性的单调性.1 2 3-3 -2 -1 0321-1-2-3xy1 2 3-3 -2 -1 054321xy 观察图，可以看到，函数观察图，可以看到，函数f(x)=x的图象的图象由左至右是上升的，函数由左至右是上升的，函数f(x)=x2的图象在的图象在y轴左侧是下降的，在轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的，函轴右侧是上升的，函数图象的数图象的“上升上升”、“下降下降”反映了函数反映了函数的一个基本性质的一个基本性质单调性单调性.如何利用函数解析式如何利用函数解析式f(x)=x2描
2、述描述“随随着着x的增大，相应的的增大，相应的f(x)随着减小随着减小”“随着随着x的增大，相应的的增大，相应的f(x)也随着增大也随着增大”？定义：定义：一般地，设函数一般地，设函数 f(x)的定义域为的定义域为I：如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两上的任意两个自变量的值个自变量的值x1,x2,当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那么就那么就说函数说函数f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数(increasing function).xyy=f(x)f(x1)f(x2)x1x2Oxyy=f(x)f(x1)f(x2)x1x2O 如果对于定义域如果对于
3、定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两上的任意两个自变量的值个自变量的值x1,x2,当当x1f(x2),那么就那么就说函数说函数f(x)在区间在区间D上是减函数上是减函数(decreasing function).如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数或减函数，那么就说函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区在这一区间具有（严格的）单调性，区间间具有（严格的）单调性，区间D叫做叫做y=f(x)的单调区间的单调区间.【例【例1】下图是定义在区间下图是定义在区间-5,5上的函数上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及，根据图象说出函数的单调区间，以及在
4、每一单调区间上在每一单调区间上,它是增函数还是减函数它是增函数还是减函数.【例【例2】判定或证明函数在某个区间上具有单调判定或证明函数在某个区间上具有单调性的方法性的方法(定义法定义法)(1)取值：取值：在给定区间上任取两个值在给定区间上任取两个值x1，x2，且，且x1 x2;(2)作差变形：作差变形：作差作差f(x1)-f(x2)，通过因，通过因式分解、配方、分母有理化等变形方法，一式分解、配方、分母有理化等变形方法，一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号都能清楚地判断出个因式的正或负号都能清楚地判断出.(3)定号：定号：判断上述差判断上述差f(x1)-f(x2)的符号，的符号，若不能确定，则可分区间讨论若不能确定，则可分区间讨论;(4)结论：结论：根据差的符号，得出单调性根据差的符号，得出单调性的结论的结论.【例【例3】