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1、高一数学函数的单调性第1页，本讲稿共22页1.3.1-1函数的单调性第2页，本讲稿共22页教学目的教学目的（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性教学重点：函数的单调性及其几何意义教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 第3页，本讲稿共22页观察下列各个函数的图象，并说说它们分观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律别反映了相应函数的哪些变化规律：1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随随
2、x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？第4页，本讲稿共22页画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律：1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象上升还是下降 _?2、在在区区间间 _上上，随随着着x的的增增大大，f(x)的的值值随随着着 _ f(x)=x(-,+)增大增大上升上升第5页，本讲稿共22页1、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _2、在在区区间间 _ 上上，f(x)的的值值随随着着x的的增增大大而而 _ f(x)=x2(-,0(0,+)增大增大减小减小画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图
3、象，观察其变化规律：第6页，本讲稿共22页x-4-3-2-101234f(x)=x2 16941014916第7页，本讲稿共22页一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一一般般地地，设设函函数数y=f(x)的的定定义义域域为为I，如如果果对对于于定定义义域域I内内的的某某个个区区间间D内内的的任任意意两两个个自自变变量量x1，x2，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那那么么就就说说f(x)在在区区间间D上上是是增函数增函数 1增函数增函数第8页，本讲稿共22页一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么
4、就说f(x)在区间D上是减函数减函数 2减函数减函数 第9页，本讲稿共22页1、函函数数的的单单调调性性是是在在定定义义域域内内的的某某个个区区间间上上的的性质，是函数的性质，是函数的局部性质局部性质；注意：注意：2、必须是对于区间必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；当；当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2)分别是分别是增函数和减函数增函数和减函数.第10页，本讲稿共22页 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区在这一区间具有（严格的）间具有（严格的）单调性单调
5、性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.二二函数的单调性定义函数的单调性定义第11页，本讲稿共22页yoxoyxyoxyoxyox在 增函数在 减函数在 增函数在 减函数在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数yox第12页，本讲稿共22页例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2),1,3)是减函
6、数，是减函数，在区间在区间-2,1),3,5 上是增函数。上是增函数。第13页，本讲稿共22页 例例2、物理学中的玻意耳定律、物理学中的玻意耳定律 告诉告诉我们，对于一定量的气体，当其体积我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压减小时，压强强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明之。证明：证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则由V1，V2(0，+)且V10,V2-V1 0又k0,于是 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号变形作差结论结论第14页，本讲稿共22页三三判断函数单调性的方法步
7、骤判断函数单调性的方法步骤 1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 下下结结论论（即即指指出出函函数数f(x)在在给给定定的的区区间间D上上的的单单调调性）性）利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性上的单调性的一般步骤：的一般步骤：第15页，本讲稿共22页思考？思考：画出反比例函数的图象1 这个函数的定义域是什么？2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论 第16页，本讲稿共22页
8、证明：函数证明：函数f(x)=1/x f(x)=1/x 在在(0(0，+)+)上是减函数。上是减函数。证明：证明：设设x1,x2是是(0(0(0(0，+)+)+)+)上任意两个实数，且上任意两个实数，且x10,又由又由x10所以所以f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2)因此因此f(x)=1/x在在(0，+)上是减函数。上是减函数。取值定号变形作差判断第17页，本讲稿共22页1、法二：作商的方法由x10)yxoy=kx+b (k0)讨论一般性讨论一般性问题：1、当、当k变化时函数的单调性有何变化？变化时函数的单调性有何变化？2、当、当b变化时函数的单调性有何变化？变化时函数的单调性有何变化？第19页，本讲稿共22页例3借助计算机作出函数y=x2+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间 第20页，本讲稿共22页四、归纳小结四、归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断根据图象判断，再利用定再利用定义证明义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论 第21页，本讲稿共22页1书书面面作作业业：课课本本P45 习习题题13（A组组）第第3、4题题五、作业五、作业第22页，本讲稿共22页