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1、第四章 动能定理本讲稿第一页，共四十三页4.1 4.1 功功一、单质点的功一、单质点的功 1.恒力作功恒力作功功的单位功的单位（焦耳）：（焦耳）：定义：定义：如果有一个力作用在物体上，它使物体在力的如果有一个力作用在物体上，它使物体在力的方向上发生位移，则该力对物体做功。方向上发生位移，则该力对物体做功。意义：意义：只有平行于位移的分力做功，垂直于位移的分力不只有平行于位移的分力做功，垂直于位移的分力不做功。做功。本讲稿第二页，共四十三页B*A2变力的功变力的功3 3 讨论：讨论：(1)(1)定义式对于真实力、惯性力在惯性系、非定义式对于真实力、惯性力在惯性系、非 惯性系中都成立。惯性系中都成
2、立。(2)功是功是过程量过程量，总是和一个具体的过程相联系，总是和一个具体的过程相联系，是力的时间、空间的累积效果是力的时间、空间的累积效果本讲稿第三页，共四十三页(4)外力的总功等于各外力做功的代数和，外力的总功等于各外力做功的代数和，等于外力的合力的功。等于外力的合力的功。(3)功是标量，有正负之分。功是标量，有正负之分。本讲稿第四页，共四十三页(5)功在坐标系中的表示形式功在坐标系中的表示形式在直角坐标系中在直角坐标系中在自然坐标系中在自然坐标系中本讲稿第五页，共四十三页（6 6）外力做功大小和参照系有关）外力做功大小和参照系有关O OZ ZX XY YK K系系O OZ ZX XY Y
3、KK系系A AF FB B本讲稿第六页，共四十三页(7)(7)质点的位移看作质心的位移质点的位移看作质心的位移(8)(8)功率：做功的快慢功率：做功的快慢 平均功率平均功率 瞬时功率瞬时功率 功率的单位功率的单位 （瓦特）（瓦特）本讲稿第七页，共四十三页例例 质质量量为为 m 的的小小球球竖竖直直落落入入水水中中，刚刚接接触触水水面面时时其其速速率率为为 设设此此球球在在水水中中的的浮浮力力与与重重力力相相等等，水水的的阻阻力力为为 ,b 为为常常量量.求求阻阻力力对对球球作作功与时间的函数关系功与时间的函数关系解建立如图坐标解建立如图坐标代入代入本讲稿第八页，共四十三页二、质点系的功二、质点
4、系的功1.1.外力对质点系的总功外力对质点系的总功(Fi:作用在质点作用在质点 i 上的外力上的外力)1 12 2F1F2外外力力对对质质点点系系的的总总功功等等于于各各外外力力的的功功的的代代数数和和，但但不不等等于于“外外力力的的合合力力”的的功。功。质点们的位移各不相同！质点们的位移各不相同！质心系中：质心系中：外外力力的的做做功功等等于于外外力力矢矢量量和和对对质质心心所所作作的的功功与与外外力力在在质质心心系系中中对对个个质质点点所所作作总功之和总功之和本讲稿第九页，共四十三页重力对质点系做功重力对质点系做功本讲稿第十页，共四十三页质心系中质心坐标为质心系中质心坐标为0 0外力大小与
5、质点质量成正比，方向相同时，外力的外力大小与质点质量成正比，方向相同时，外力的功等于外力矢量和对质心所作的功。功等于外力矢量和对质心所作的功。本讲稿第十一页，共四十三页2.2.内力对质点系的总功内力对质点系的总功2 2对对1 1的作的作用用1 1相对于相对于2 2的位移的位移N N个质点：个质点：1 12 2F12F21内内本讲稿第十二页，共四十三页讨论：讨论：1.1.质点系内力做功用质点系内力做功用相对位移相对位移进行计算。进行计算。2.A2.A内内A A内内，内力的总功与参考系的选择无关，内力的总功与参考系的选择无关.3.3.虽然内力矢量和为零，虽然内力矢量和为零，FFi i0 0，但是内
6、力的总功一般不，但是内力的总功一般不为零，即为零，即A A内内0 0。例：计算木块与地面间的内力例：计算木块与地面间的内力 （摩擦力）做功。（摩擦力）做功。以地面为参考系：以地面为参考系：以木块为参考系：以木块为参考系：内本讲稿第十三页，共四十三页三、几种常见的力做功三、几种常见的力做功重力重力万有引力万有引力 弹性力弹性力有心力：有心力：本讲稿第十四页，共四十三页4.2 4.2 质点的动能定理质点的动能定理一、一、质点的动能定理质点的动能定理两边同时两边同时 ,有有（质点）动能定理：（质点）动能定理：合合外力对外力对质点质点所作的功，等所作的功，等于质点动能的于质点动能的增量增量本讲稿第十五
7、页，共四十三页1616(1)(1)功是过程量，动能是状态量。功是过程量，动能是状态量。说明：说明：（2 2）只只在在惯惯性性系系中中成成立立，对对于于非非惯惯性性系系要要考考虑虑惯惯性性力力做功。做功。（3 3）动动能能、功功的的数数值值在在不不同同的的惯惯性性参参考考系系中中数数值值不不同同，但但在在惯惯性性参参考考系系中中动动能能定定理理形形式式相相同同，即即动动能能定定理理满满足足伽利略变换。伽利略变换。本讲稿第十六页，共四十三页解解 例例 一质量为一质量为1.0kg 的小球系在长为的小球系在长为1.0m 细绳下端，绳的细绳下端，绳的上端固定在天花板上起初把绳子放在与竖直线成上端固定在天
8、花板上起初把绳子放在与竖直线成30角处，角处，然后放手使小球沿圆弧下落试求绳与竖直线成然后放手使小球沿圆弧下落试求绳与竖直线成 10角时角时小球的速率小球的速率本讲稿第十七页，共四十三页由动能定理由动能定理得得本讲稿第十八页，共四十三页二、由动能定理求解运动状态二、由动能定理求解运动状态物体做一维运动时，如果知道力与位置的函数关系物体做一维运动时，如果知道力与位置的函数关系和初始速度和初始速度,可以根据动能定理求出速度和位置的可以根据动能定理求出速度和位置的关系，进而求得物体的轨迹方程。关系，进而求得物体的轨迹方程。本讲稿第十九页，共四十三页4.3 4.3 质点系的动能定理质点系的动能定理一、
9、质点系的动能定理一、质点系的动能定理内内内内内如果是非惯性系，要计入惯如果是非惯性系，要计入惯性力做功，有性力做功，有内惯惯性系中，定义：惯性系中，定义：对质点对质点i i，有：，有：两边同时两边同时：本讲稿第二十页，共四十三页二、柯尼希定理二、柯尼希定理柯尼希定理柯尼希定理:体系动能等于质心动能与体系在体系动能等于质心动能与体系在质心系中的动能之和。质心系中的动能之和。质点系的动量等于质心动量，质点系的动量等于质心动量，但质点系的动能一般不等于但质点系的动能一般不等于质心的动能。质心的动能。本讲稿第二十一页，共四十三页三、质心系中的动能定理三、质心系中的动能定理质心系不一定是惯性参考系，当质
10、点系不受力或者外力矢质心系不一定是惯性参考系，当质点系不受力或者外力矢量和为量和为0 0时才是惯性系。时才是惯性系。质心系中动能定理的形式为：质心系中动能定理的形式为：质心系是好系，即使质心系不是惯性系，动能定理中质心系是好系，即使质心系不是惯性系，动能定理中也不需要考虑惯性力所做的功也不需要考虑惯性力所做的功内质质点点系系动动能定理能定理内(惯性系惯性系)内惯(非惯性系非惯性系)与与惯惯性性系系中中的的形式一样！形式一样！本讲稿第二十二页，共四十三页质心系中动能定理的形式推导质心系中动能定理的形式推导内内惯非惯性系中非惯性系中内内内（相对位移在不同的参考系中是一样的）（相对位移在不同的参考系
11、中是一样的）本讲稿第二十三页，共四十三页质心的加速度为质心的加速度为 ，惯内惯内内内由柯尼希定理，得由柯尼希定理，得本讲稿第二十四页，共四十三页四、质心系中质点系的动量和动能四、质心系中质点系的动量和动能质心系中的体系动量：质心系中的体系动量：质心系中的体系动能：质心系中的体系动能：柯尼希定理：柯尼希定理：质心动能质心动能质心系中质点系动能质心系中质点系动能静参考系中质点系动能静参考系中质点系动能质心系中惯性力做功质心系中惯性力做功:惯惯本讲稿第二十五页，共四十三页4.4 4.4 势能势能一、一、有心力及其沿闭合路径做功有心力及其沿闭合路径做功有心力：有心力：质点在有心力场中沿任意路径质点在有
12、心力场中沿任意路径L L从从P P点移动到点移动到Q Q点过程中做功为：点过程中做功为：有心力的性质：有心力的性质：有心力做功只与始末位有心力做功只与始末位置有关，与路径无关。置有关，与路径无关。本讲稿第二十六页，共四十三页二、保守力与非保守力、势能二、保守力与非保守力、势能保守力：做功只与始末位置有关而与路径无关的力。保守力：做功只与始末位置有关而与路径无关的力。保守力的充分必要条件：环路积分为零。保守力的充分必要条件：环路积分为零。常见的几类保守力：常见的几类保守力：（1 1）是位置的单值函数的力，如弹性力。）是位置的单值函数的力，如弹性力。（2 2）大小和方向都与位置无关的力）大小和方向
13、都与位置无关的力,如重力。如重力。（3 3）有心力是保守力，如万有引力，静电力）有心力是保守力，如万有引力，静电力非保守力：即使始末位置相同，做功路径有关的力。非保守力：即使始末位置相同，做功路径有关的力。本讲稿第二十七页，共四十三页势能：势能：由保守力求势能函数：由保守力求势能函数：取取无无穷穷远远处处的的势势能能为为0 0，即即令令V()V()0 0，则则保保守守力力场场中中任任意一点意一点A A的势能为的势能为势能函数求保守力：势能函数求保守力：在保守力场中在保守力场中定义的一个标量函数定义的一个标量函数 V(r)，r是位置变量，是位置变量，使得保守力做功满足使得保守力做功满足 A(rA
14、rB)V(rA)-V(rB)。本讲稿第二十八页，共四十三页说明：说明：2)2)势势能能实实际际上上只只定定义义了了势势能能差差值值（相相对对值值），势势能能的的数数值（绝对值）与势能零点的选取有关。值（绝对值）与势能零点的选取有关。1)1)势能只对保守力才有意义势能只对保守力才有意义3)3)保守力做功等于势能的减少或势能增量的保守力做功等于势能的减少或势能增量的负值负值。本讲稿第二十九页，共四十三页4)4)对两质点体系，保守力是两质点间的一对相互作用对两质点体系，保守力是两质点间的一对相互作用内力，势能为相互作用物体双方共有。内力，势能为相互作用物体双方共有。5)5)内力做功与参照系无关，势能
15、是由保守力做功的特性内力做功与参照系无关，势能是由保守力做功的特性决定的，大小只与两质点的相对位置有关决定的，大小只与两质点的相对位置有关,与所选取的参与所选取的参考系无关。考系无关。6)6)如果质点系内任意两点之间的作用力都是保守力，则称如果质点系内任意两点之间的作用力都是保守力，则称该质点系为保守体系。该质点系为保守体系。保守体系势能的计算：保守体系势能的计算：所所有有质质点点都都在在无无穷穷远远处处，间间隔隔也也为为无无穷穷远远，然然后后将将n n个个质质点点沿沿任任意意路路径径移移到到它它们们所所在在的的点点，保保守守内内力力所所做做的总功的负值即为该保守体系的势能。的总功的负值即为该
16、保守体系的势能。本讲稿第三十页，共四十三页三、常见保守力的势能函数三、常见保守力的势能函数重力：重力：万有引力：万有引力：弹力：弹力：（零势能点在无穷远处）（零势能点在无穷远处）（z z是离开地面的高度，零势能点在地面）是离开地面的高度，零势能点在地面）（零势能点在弹簧自由伸长处）（零势能点在弹簧自由伸长处）本讲稿第三十一页，共四十三页4.5 4.5 功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律一、功能原理一、功能原理内惯性系中质点系动能定理：惯性系中质点系动能定理：内内质点系机械能：质点系机械能：内内内内内功能原理：功能原理：内本讲稿第三十二页，共四十三页二、机械能守恒定律二、机械能守恒
17、定律即机械能守恒即机械能守恒功能原理：功能原理：内内当当时时,说明：说明：（1 1）关于功和能的定理只在惯性系中成立，非惯性系中）关于功和能的定理只在惯性系中成立，非惯性系中要引入非惯性力的贡献。要引入非惯性力的贡献。（2 2）能量（动能、势能、机械能等）总是与系统的状态（相对）能量（动能、势能、机械能等）总是与系统的状态（相对位置、速度等）相联系，称为状态量。位置、速度等）相联系，称为状态量。本讲稿第三十三页，共四十三页三、质心系中的功能定理三、质心系中的功能定理非惯性系中质点系动能定理：非惯性系中质点系动能定理：内惯内内内质心系中惯性力做功：质心系中惯性力做功：惯惯内内质点系机械能：质点系
18、机械能：质心系中的功能定理质心系中的功能定理:内本讲稿第三十四页，共四十三页4.6 4.6 两题问题（质心系应用举例）两题问题（质心系应用举例）考察惯性系中两质点组成的孤立体系考察惯性系中两质点组成的孤立体系质心系中，两质点的坐标分别为：质心系中，两质点的坐标分别为：O Om1rc2rc1m2r1rcr2（1 1）质心在两质点的连线上。）质心在两质点的连线上。（2 2）质点到质心的距离反比于）质点到质心的距离反比于质点的质量。质点的质量。本讲稿第三十五页，共四十三页两质点的动力学方程为：两质点的动力学方程为：定义：定义：（约化质量、折合质量）（约化质量、折合质量）即引入约化质量，坐标系取在一个
19、质即引入约化质量，坐标系取在一个质点上后，两体问题可以当成单体问题点上后，两体问题可以当成单体问题处理，而且处理，而且不需要引入惯性力不需要引入惯性力。本讲稿第三十六页，共四十三页由由即引入约化质量，坐标系取在一个即引入约化质量，坐标系取在一个质点上后，所求得的动能就是质心质点上后，所求得的动能就是质心系中的动能。系中的动能。质心系中的动能：质心系中的动能：本讲稿第三十七页，共四十三页两质点体系的柯尼希定理：两质点体系的柯尼希定理：资用能：资用能：折合质量：折合质量：相对速度相对速度:粒子物理打靶实验粒子物理打靶实验m m1 1=m=m2 2=m=m，v v1 10 0，v v2 2=u=u如
20、果是静止靶，即如果是静止靶，即则则对撞：对撞：v v1 1u/2u/2，v v2 2=u/2=u/2m m1 1=m=m2 2=m=m本讲稿第三十八页，共四十三页碰撞碰撞 碰撞的特征：作用极强、作用时间极短碰撞的特征：作用极强、作用时间极短碰撞的简化模型：碰撞的简化模型：内力很大，内力很大，F F内内FF外外；作用时间极短，外力的冲量趋于作用时间极短，外力的冲量趋于0 0，系统动量近似守，系统动量近似守恒恒在碰撞过程中，物体的位移为在碰撞过程中，物体的位移为0 0。分类：弹性碰撞和非弹性碰撞分类：弹性碰撞和非弹性碰撞 弹性碰撞弹性碰撞:碰撞前后物体保持不变，既没有形状碰撞前后物体保持不变，既没
21、有形状 大小的变化，也没有内部状态的变化。大小的变化，也没有内部状态的变化。完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：碰撞前后物体有剩余形变或状态变化，碰撞前后物体有剩余形变或状态变化，并且合并在一起以同一速度运动。并且合并在一起以同一速度运动。本讲稿第三十九页，共四十三页一、正碰：碰撞前后两物体的速度都沿二者中心的连线。一、正碰：碰撞前后两物体的速度都沿二者中心的连线。对心正碰的图像对心正碰的图像1 1）压缩阶段：）压缩阶段：m m1 1速速度度逐逐渐渐减减小小，m m2 2速速度度逐逐渐渐增增大大，当当两两者者速速度度相相等等时时，两两物物体体之之间间达达到到最最大大压压缩状态。缩状态。设设压压缩缩
22、阶阶段段两两者者达达到到的的共共同同速速度度是是v v，记记弹弹力力对对m m2 2的的冲冲量量为为I。消掉消掉v，得，得本讲稿第四十页，共四十三页恢复系数：恢复系数：碰撞过程中动能损失：碰撞过程中动能损失：2 2）恢复阶段：）恢复阶段：m m1 1速速度度继继续续减减小小，m m2 2速速度度继继续续增增大大，直直至至两两者者分分离。离。设设恢恢复复阶阶段段弹弹力力对对m m2 2的的冲冲量为量为J。消掉消掉v，得，得e e只决定于物体的材料，可只决定于物体的材料，可由实验测量，由实验测量，0e10e1。本讲稿第四十一页，共四十三页二、斜碰（被碰小球初始静止）二、斜碰（被碰小球初始静止）b b：碰撞参量：碰撞参量 （瞄准距离）（瞄准距离）二维平面问题二维平面问题如果是完全弹性碰撞如果是完全弹性碰撞本讲稿第四十二页，共四十三页弹弓效应（略）弹弓效应（略）质心系中碰撞问题的探讨（略）质心系中碰撞问题的探讨（略）本讲稿第四十三页，共四十三页