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1、第四章 留数定理本讲稿第一页，共四十三页第四章第四章 留数定理留数定理 4.2 应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算实变函数定积分4.1 留数定理留数定理第一篇第一篇 复变函数论复变函数论*4.3 计算定积分的补充例题计算定积分的补充例题 本讲稿第二页，共四十三页第四章第四章 留数定理留数定理4.1 留数定理留数定理一、留数与留数定理留数与留数定理1、留数的来历留数的来历 始于始于f(z)的的奇点奇点 内、外境界线逆时针积分相等。内、外境界线逆时针积分相等。逆时针逆时针逆时针逆时针z0ll0图图4.1柯西定理的含义柯西定理的含义单连通域单连通域复连通域复连通域有奇点有奇点 本讲稿第三
2、页，共四十三页如果如果z0ll0图图4.1得得又由又由P28的柯西积分得的柯西积分得:即即即得即得孤立奇孤立奇 点点z0的留数的留数，由由P25的柯西定理的柯西定理 本讲稿第四页，共四十三页 设设z0是是f(z)包围在闭曲线内的孤立包围在闭曲线内的孤立奇点，且不包含的另外奇点，（如图奇点，且不包含的另外奇点，（如图4.1所示）则在所示）则在奇奇点的点的留数留数（Residue）定义为：定义为：2、留数的定义留数的定义 z0ll0图图4.1留数的数学意义：留数的数学意义：f(z)在在z0点的留数等于在点的留数等于在 环域内环域内f(z)洛朗级数洛朗级数负一次幂负一次幂的系数的系数 。（逆时针）逆
3、时针）本讲稿第五页，共四十三页b1b2b3bnl图图4.2 3、留数定理留数定理 设设f(z)在闭曲线上解析（如图在闭曲线上解析（如图4.2所示）所示），在，在l 所围的所围的区域内除有限个孤立奇点区域内除有限个孤立奇点b1、b2、b3bn外，无其它外，无其它奇点，则奇点，则:（逆时针）（逆时针）留数定理给出回路积分留数定理给出回路积分 等于被积函数在回路所等于被积函数在回路所 围各奇点的留数之和。围各奇点的留数之和。本讲稿第六页，共四十三页二、函数在无穷远点的留数二、函数在无穷远点的留数1、无穷远点留数的定义、无穷远点留数的定义 如果如果 是是 的奇点，则定义函数在无限远的奇点，则定义函数在
4、无限远点的邻域的洛朗级数的负一次幂的系数点的邻域的洛朗级数的负一次幂的系数 的相反数的相反数为函数为函数 在无限远点的留数。在无限远点的留数。如果函数如果函数 在在 点的邻点的邻域内域内 解析，是该邻解析，是该邻域内的一条简单闭曲线（域内的一条简单闭曲线（为为顺时针顺时针，绕行走，区域在左，绕行走，区域在左手侧），如图手侧），如图4.3所示，则：所示，则：图图4.3 l 绕行走，绕行走，点在左手侧正方向点在左手侧正方向 本讲稿第七页，共四十三页 2、函数在无穷远点留数：、函数在无穷远点留数：除除k=1一项之外，其余各项均为零，则一项之外，其余各项均为零，则:（顺时针）（顺时针）被定义被定义 为
5、在为在无穷远点无穷远点的留数的留数设函数在无穷远点设函数在无穷远点上解析，在上解析，在l 所围的区域所围的区域 内除有限个孤立奇点外无其它奇点，则内除有限个孤立奇点外无其它奇点，则:3、函数在全平面的留数之和等于零、函数在全平面的留数之和等于零为什么？为什么？为什么是为什么是a-1？本讲稿第八页，共四十三页三、单极点处留数的计算三、单极点处留数的计算P521、单极点的留数、单极点的留数 方法方法1：将将f(z)在单极点在单极点 z0展开为展开为洛朗级数洛朗级数简单运算简单运算 本讲稿第九页，共四十三页方法方法2：洛比达法则方法洛比达法则方法如果如果由求极限的洛比达法则，得留数：由求极限的洛比达
6、法则，得留数：因为因为肯定是肯定是0/0型！型！为什么？为什么？本讲稿第十页，共四十三页2、设设z0是是f(z)的的m阶极点，则，阶极点，则，因为因为f(z)的在的在z0泰勒级数为泰勒级数为即，如果即，如果 ，z0是是f(z)的的m阶极点！阶极点！本讲稿第十一页，共四十三页 因为因为 的在的在z0泰勒级数为泰勒级数为 即，即，z0是是f(z)的的m阶极点！阶极点！本讲稿第十二页，共四十三页但是，但是，f(z)在在z0的留数是的留数是 。而。而 是是函数函数 因为因为 的在的在z0泰勒级数为泰勒级数为又因为又因为泰勒级数泰勒级数 系数可以表示为系数可以表示为 的在的在z0泰勒级数泰勒级数 的系数
7、的系数 。本讲稿第十三页，共四十三页 f(z)泰勒级数泰勒级数的的 系数可以表示为系数可以表示为 泰勒泰勒级数级数的的(m-1)项的系数可以表示为项的系数可以表示为因此，因此，泰勒级数的泰勒级数的-1项的系数，即项的系数，即 在在z0的留数的留数。泰勒泰勒级数级数的的(m-1)项的系数恰好是项的系数恰好是 本讲稿第十四页，共四十三页这些极点为单极点，其留数为这些极点为单极点，其留数为例例1，确定函数确定函数 在有限远的在有限远的 极点。求出函数在这些极点的留数。极点。求出函数在这些极点的留数。解解函数存在有限远的极点：函数存在有限远的极点：四、举例四、举例 本讲稿第十五页，共四十三页例例2，确
8、定函数，确定函数 在在有限远的极点，并求函数在这些极点的留数。有限远的极点，并求函数在这些极点的留数。解：解：在有限远的极点有在有限远的极点有，是是 的的3 阶阶极点，其留数极点，其留数为为：（1）本讲稿第十六页，共四十三页是是 的单极点，其留数为的单极点，其留数为（2）是是 的的3 阶阶极点，其留数极点，其留数为为：（1）本讲稿第十七页，共四十三页例例3，计算：，计算：解：解：记记 令函数分母为零，得令函数分母为零，得 本讲稿第十八页，共四十三页极点极点 在在 内部。内部。极点极点 在外部。在外部。只需要求只需要求 点的留数，应用留数定理，点的留数，应用留数定理，有有方法方法1：罗毕达法则方
9、法。罗毕达法则方法。本讲稿第十九页，共四十三页方法方法2：应用留数定理直接运算。应用留数定理直接运算。本讲稿第二十页，共四十三页4.2 应用留数定理计算实变函应用留数定理计算实变函数定积分数定积分一、思路一、思路:实函数定积分转换为复函数回路积分实函数定积分转换为复函数回路积分方法方法1：将实轴上的：将实轴上的某区间某区间变换成复平面的一条闭曲线变换成复平面的一条闭曲线 tabz=(t)xyl图图4.3a如图如图4.3a所示，作实轴到复平面的变换，将实所示，作实轴到复平面的变换，将实轴上的区间轴上的区间 变换成复平面的一条闭曲线，变换成复平面的一条闭曲线，从而把实函数定积分转换为复变函数的回路
10、积分。从而把实函数定积分转换为复变函数的回路积分。本讲稿第二十一页，共四十三页如图如图4.3b所示，把所示，把 轴崁入复平面中成为平轴崁入复平面中成为平面的实轴，把函数面的实轴，把函数 延拓到复平面，得复变延拓到复平面，得复变函数函数 ，在复平面上再补上一段曲线，在复平面上再补上一段曲线 ，使，使 成为闭合回路，闭合回路的积分用留数定理计成为闭合回路，闭合回路的积分用留数定理计算，而曲线算，而曲线 段的路径积分较容易求得段的路径积分较容易求得（通常为（通常为0）。）。yxl2图图4.3babl1oB方法方法2：将实轴上的：将实轴上的某区间某区间，在复平面上，在复平面上再再 补上一段曲线，使成为
11、闭合回路补上一段曲线，使成为闭合回路 本讲稿第二十二页，共四十三页二、应用留数定理计算实变函数二、应用留数定理计算实变函数的几个类型的几个类型类型类型1：被积函数是三角函数的有理式：被积函数是三角函数的有理式，积分区域是，积分区域是0，2其中作变换其中作变换 ，R 表示有理函数。表示有理函数。可以得到可以得到 本讲稿第二十三页，共四十三页例例1，计算，计算 作变换作变换 解：解：P55例例4 的结果的结果 实轴区间实轴区间02，变换成复平面的闭曲线变换成复平面的闭曲线单位圆。单位圆。本讲稿第二十四页，共四十三页解：解：记：记：例例2，计算，计算 实轴区间实轴区间02，变换成复平面变换成复平面单
12、位圆。单位圆。本讲稿第二十五页，共四十三页 和和 是奇点是奇点；其中，其中，在单位圆内，其留数为：在单位圆内，其留数为：本讲稿第二十六页，共四十三页如果复变函数如果复变函数 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。当点外是解析的。当 z 在上半平面和在实轴上在上半平面和在实轴上 时，一致地时，一致地 ，则：，则：在上半平面所有奇点的留数之和在上半平面所有奇点的留数之和 类型类型2：积分区间（积分区间（，）；）；如果如果 ，则，则 在实轴没有在实轴没有零点，由于有零点，由于有 ，高高 二次。二次。其积分可以其积分可以 本讲稿第二十七页，共四十三页
13、其积分可以其积分可以yxCR图图4.4R+RR如图如图4.4，如果极限存在，称该极限为主值，如果极限存在，称该极限为主值根据留数定理根据留数定理 在上半平面所有奇点留数之和在上半平面所有奇点留数之和 本讲稿第二十八页，共四十三页 在上半平面所有奇点留数之和在上半平面所有奇点留数之和 在上半平面所有奇点留数之和在上半平面所有奇点留数之和 本讲稿第二十九页，共四十三页例例3：解：解：记：记：，它在上半平面有单极点：，它在上半平面有单极点：zi 其中其中z+i 在上半平面，其留数为：在上半平面，其留数为：本讲稿第三十页，共四十三页例例4：解：解：记：记：它在上半平面的奇点是它在上半平面的奇点是n阶极
14、点阶极点+i，其留数为：，其留数为：（n为正整数）为正整数）本讲稿第三十一页，共四十三页例例5：解：解：因为因为 是偶函数是偶函数所以所以（n为正整数）为正整数）本讲稿第三十二页，共四十三页类型类型3：积分区间（积分区间（，）；偶函数）；偶函数 和奇函数和奇函数 在在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。当当 z 在上半平面和在实轴上在上半平面和在实轴上 时，时，和 一致地一致地 ，则：，则：本讲稿第三十三页，共四十三页三、约当引理三、约当引理1、约当引理的表述、约当引理的表述如果如果 ，是以原点为圆心是以原点为圆心位于上半平面的半
15、径为位于上半平面的半径为 的半的半圆，圆，如图如图4.5所示，所示，若当若当 在上半在上半平面和实轴上平面和实轴上 时，时，一一致致 ，则：，则：yxCR图图4.5RR+RO 本讲稿第三十四页，共四十三页证明：证明：（1）当）当 在上半平面和实轴上在上半平面和实轴上 时，时，一致一致 ，所以，所以，（2）在）在 范围内，有范围内，有 ，则则即：即：本讲稿第三十五页，共四十三页如果如果 m 是是负数，也有负数，也有2、约当引理的应用、约当引理的应用 在上半平面所有奇点留数之和在上半平面所有奇点留数之和 在上半平面所有奇点留数之和在上半平面所有奇点留数之和因此，对于类型因此，对于类型3有有 在上半
16、平面所有奇点留数之和在上半平面所有奇点留数之和 同理可得同理可得 本讲稿第三十六页，共四十三页在实轴无极点，在上半平面有单极点在实轴无极点，在上半平面有单极点 ，其留数为：，其留数为：例例6，解：解：本讲稿第三十七页，共四十三页在实轴无极点，有两个二阶极点在实轴无极点，有两个二阶极点 ，在上半平面留数为，在上半平面留数为 例例7，解：解：在上半平面所有奇点留数之和在上半平面所有奇点留数之和 本讲稿第三十八页，共四十三页3、实轴上有单极点的情形、实轴上有单极点的情形考虑积分考虑积分 ，被积函数，被积函数 在实轴上有单极点在实轴上有单极点 ，除此之外，除此之外，满足类型满足类型2和类型和类型3的条
17、件，由于的条件，由于存在这个奇点，我们构建如图存在这个奇点，我们构建如图4.6所示的积分闭合回路。则，所示的积分闭合回路。则，图图4.6 本讲稿第三十九页，共四十三页图图4.6其第一、第三项之和为所求：其第一、第三项之和为所求：本讲稿第四十页，共四十三页例例8，解：解法一，解：解法一，利用实轴上有单极点情形讨论的结果可知：利用实轴上有单极点情形讨论的结果可知：可得：可得：本讲稿第四十一页，共四十三页yxCR图图4.7C解法二，解法二，如图如图4.7所示所示 本讲稿第四十二页，共四十三页记记，其中，其中 为解析函数为解析函数 本章练习（本章练习（P55）1（4）、2（3）；）；（P64）2（5）；）；END-4 本讲稿第四十三页，共四十三页