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1、第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广推广微分中值定理 与导数的应用 目录 上页 下页 返回 结束 回顾闭区间上连续函数的性质回顾闭区间上连续函数的性质 1.1.有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的在闭区间上连续的函数在该区间上有界且函数在该区间上有界且 一定能取得它的最大值和最小值。一定能取得它的最大值和最小值。推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值与最小值之间的任何值值与最小值之间的任何值.2.2.零点定理零点定理：3.
2、3.介值定理：介值定理：目录 上页 下页 返回 结束 一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理第一节二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 函数在一点的导数描述了函数在某一点的变函数在一点的导数描述了函数在某一点的变化性质化性质变化率，变化率，它是函数在该点的一个局部性它是函数在该点的一个局部性质质。有时候，我们要研究函数在整个定义域上的。有时候，我们要研究函数在整个定义域上的变化形态，这就是要了解函数在其定义域上的整变化形态，这就是要了解函数在其定义域上的整体性质。体性质。
3、函数的局部性质与整体性质是通过中值函数的局部性质与整体性质是通过中值定理表达的定理表达的。这些中值定理是微分学的基础，它。这些中值定理是微分学的基础，它联系着导数的许多应用。联系着导数的许多应用。目录 上页 下页 返回 结束 费马费马(fermat)引引理理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理且 存在证证:设则费马 证毕目录 上页 下页 返回 结束 这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0.几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.典型情形的证明思想目录 上页 下页 返回 结束 可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零
4、该点的导数值为零.通常称导数为零的点为函数驻点（或称通常称导数为零的点为函数驻点（或称为稳定点，临界点）。为稳定点，临界点）。目录 上页 下页 返回 结束 罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理满足:(1)在区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证证:故在 a,b 上取得最大值 M 和最小值 m.若 M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点目录 上页 下页 返回 结束 若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 则至少存在一点使注意注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.则由费马引理得 例如,目录 上页 下页 返回 结束 使2)定理条件
5、只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示证明提示:设证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.目录 上页 下页 返回 结束 练习练习1：P134 1由罗尔定理可知由罗尔定理可知：又又目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明方程有且仅有一个小于1 的正实根.证证:1)存在性.则在 0,1 连续,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设目录 上页 下页 返回 结束 练习练习2：P134 7证证:令若方程有一个正根 ，证明方程必有一个小于 的正根.目录 上页 下页 返回
6、结束 并指出它们所在的区间。并指出它们所在的区间。分别在区间分别在区间(1,1),(1,2),(2,3)内。内。证：证：显然显然,f(x)分别在闭区间分别在闭区间 1,1,1,2,2,3上连续，上连续，5.5.设函数设函数f(x)=(x+1)(x 1)(x 2)(x 3)，证明方程证明方程f (x)=0有三个实根，有三个实根，且且 f(1)=f(1)=f(2)=f(3).由罗尔定理，由罗尔定理，在在(1,1),(1,2),(2,3)内分别存在点内分别存在点 1,2,3，使得使得 f (1)=f (2)=f (3)=0即方程即方程f (x)=0有三个实根，有三个实根，在开区间在开区间(1,1),
7、(1,2),(2,3)内可导，内可导，目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1)在区间 a,b 上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路思路:利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏 证毕目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论推论:若函数在区间 I 上满足则在 I 上必为常数.证证:在 I 上任取两点格朗日中值公式,得由 的任意性知,在 I 上为常数.令则目录 上页 下页 返回 结束 例例
8、2.证明等式证证:设由推论可知 (常数)令 x=0,得又故所证等式在定义域 上成立.自证自证:经验经验:欲证时只需证在 I 上目录 上页 下页 返回 结束 分析分析且且,证：证：练习练习3：P134 14目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明不等式分析：分析：欲证上述不等式成立，欲证上述不等式成立，只须证：只须证：只须证：只须证：为此只须证：为此只须证：关键！关键！构造构造目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明不等式证证:设中值定理条件,即因为故因此应有目录 上页 下页 返回 结束 用拉格朗日定理证明不等式的关键是用拉格朗日定理证明不等式的关键是构造一个辅构造一个辅助函数助函数,并并定
9、出一个适当的区间定出一个适当的区间,使该辅助函数在区间使该辅助函数在区间上上满足定理的条件满足定理的条件,然后由中值然后由中值所在的位置所在的位置,放大或放大或缩小缩小 ,推出要证的不等式推出要证的不等式.方法：方法：设辅助函数、选区间、应用定理、放大缩小设辅助函数、选区间、应用定理、放大缩小放大或缩小构造有关的函数构造有关的函数确定应用区间确定应用区间应用应用Lagrange定理定理计算导数后的等式计算导数后的等式转化为不等式转化为不等式解题思路解题思路：目录 上页 下页 返回 结束 练习练习4：P134 9设设，证证明明:证证:设中值定理条件,即因此即因此应有又又 0b 1,所以所以 bn
10、 1 n 1 an 1 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习4：P134 11(1)证证 设设f(x)=arctan x,不妨设不妨设ab.可知必定存在一点可知必定存在一点 ,使得使得因此因此arctan x在在a,b上满足拉格朗日中值定理条件上满足拉格朗日中值定理条件.由于 ，因此即目录 上页 下页 返回 结束 练习练习4：P134 11(2)目录 上页 下页 返回 结束 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理分析分析:及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:问题转化为证柯西 构造辅助函数构造辅助函数目录 上页
11、下页 返回 结束 证证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考思考:柯西定理的下述证法对吗?两个 不一定相同错错!上面两式相比即得结论.目录 上页 下页 返回 结束 柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设至少存在一点使证证:问题转化为证设则在 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使即证明目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键关键:利用
12、逆向思维设辅助函数费马引理目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P134 6,8,10,14,预习：第二节 洛必达法则提示提示:题*15.题14.考虑第二节 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数在区间 1,2 上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程目录 上页 下页 返回 结束 2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设目录 上页 下页 返回 结束 3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定
13、理条件.目录 上页 下页 返回 结束 4.思考:在即当时问问是否可由此得出 不能不能!因为是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.应用拉格朗日中值定理得上对函数目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题求证存在使1.设 可导，且在连续，证证:设辅助函数因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即使得目录 上页 下页 返回 结束 设 证明对任意有证证：2.不妨设目录 上页 下页 返回 结束 练练 习习证证:目录 上页 下页 返回 结束 例例5.试证至少存在一点使证证:法法1 用柯西中值定理.则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令因此 即
14、分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 例例5.试证至少存在一点使法法2 令则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在目录 上页 下页 返回 结束 并指出它们所在的区间。并指出它们所在的区间。分别在区间分别在区间(1,1),(1,2),(2,3)内。内。证：证：显然显然,f(x)分别在闭区间分别在闭区间 1,1,1,2,2,3上连续，上连续，5.5.设函数设函数f(x)=(x+1)(x 1)(x 2)(x 3)，证明方程证明方程f (x)=0有三个实根，有三个实根，且且 f(1)=f(1)=f(2)=f(3).由罗尔定理，由罗尔定理，在在(1,1),(1,2),(2,3)内分别
15、存在点内分别存在点 1,2,3，使得使得 f (1)=f (2)=f (3)=0即方程即方程f (x)=0有三个实根，有三个实根，在开区间在开区间(1,1),(1,2),(2,3)内可导，内可导，目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.设函数设函数 f(x)=(x 1)(x 2)(x 3),试判断试判断方程方程 f x 有几个实根有几个实根,分别在何分别在何区间区间?解解:因为因为 f(1)=f(2)=f(3),且且f(x)在在1,2上连续上连续,在在(1,2)内可导内可导,由罗尔定理由罗尔定理,1(1,2),使使 f(1;同理同理,2,使使 f (2;又因又因f (x是二次方程是二次方程,至多两个实根至多两个实根,故故f (x有两个实根有两个实根,分别位于分别位于(1,2)和和(2,3)内内.应用应用:罗尔定理常用来讨论方程根的情况，尤其罗尔定理常用来讨论方程根的情况，尤其与某函数的一阶导数有关的方程与某函数的一阶导数有关的方程.目录 上页 下页 返回 结束 故从而例5证证证证