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1、4-1 直线与平面平行 两平 面平行一、一、直线与平面平行直线与平面平行几几何何条条件件 若若平平面面外外的的一一条条直直线线与与平平面面内内的的一一条条直直线线平平行行，则则该该直直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有有关关线线、面面平平行行的的作作图图问问题题有有：判判别别已已知知线线面面是是否否平平行行；作作直直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。二、二、平面与平面平行平面与平面平行几几何何条条件件 若若一一个个平平面面内内的的相相交交二二
2、直直线线与与另另一一个个平平面面内内的的相相交交二二直直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两两面面平平行行的的作作图图问问题题有有：判判别别两两已已知知平平面面是是否否相相互互平平行行；过过一一点点作作一一平平面面与与已已知知平平面面平平行行；已已知知两两平平面面平平行行，完完成成其其中中一一平平面面的的所缺投影。所缺投影。第2页/共43页第1页/共43页一、直线与平面平行若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行第3页/共43页第2页/共43页例题1 试判断
3、直线AB是否平行于定平面 fgfg结论：直线AB不平行于定平面第4页/共43页第3页/共43页例题2 试过点K作水平线AB平行于CDE平面 baaffbP55例4-104-11第5页/共43页第4页/共43页二、两平面平行二、两平面平行 若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行直线，则此两平面平行EFDACB 当两平行平面均垂直于投影面时当两平行平面均垂直于投影面时,两平面的集聚投影相互平行两平面的集聚投影相互平行,反之成立反之成立.第6页/共43页第5页/共43页例题3 试判断两平面是否平行mnmnrrs
4、s结论：两平面平行第7页/共43页第6页/共43页例题4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrkk第8页/共43页第7页/共43页例题5 试判断两平面是否平行。结论：因为结论：因为PH平行平行SH，所以两平面平行，所以两平面平行第9页/共43页第8页/共43页4-2 直线与平面的交点、两平 面的交线一、一、直线与平面相交只有一个交点直线与平面相交只有一个交点二、二、两平面的交线是直线两平面的交线是直线三、三、特殊位置特殊位置线面相交线面相交四、四、一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交五、五、直线与一般位置平面相交
5、直线与一般位置平面相交六、六、两一般两一般位置位置平面相交平面相交第10页/共43页第9页/共43页一、直线与平面相交直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BKA第11页/共43页第10页/共43页M二、平面与二、平面与平面平面相交相交两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有FKNL第12页/共43页第11页/共43页三、特殊位置线面相交直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交第13页/共43页第12页/共43页bbaaccmmnn直线与特殊位置平面相交由于由于特殊位置特殊位置平面的某个投影有积
6、聚性平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。交点可直接求出。kk第14页/共43页第13页/共43页判断直线的可见性bbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。第15页/共43页第14页/共43页()求铅垂线求铅垂线EF与一般位置平面与一般位置平面ABC的的交点并判别其可见性。交点并判别其可见性。k21k21第16页/共43页第15页/共43页四、一般位置平面与特殊位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。一般位置
7、平面与特殊位置平面相交判断平面的可见性第17页/共43页第16页/共43页一般位置平面与特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf第18页/共43页第17页/共43页判断平面的可见性判断平面的可见性结 果P60例4-12第19页/共43页第18页/共43页五、直线与一般位置平面相交以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图第20页/共43页第19页/共43页12以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：1过EF作正垂平面Q。2求Q平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。示意图第21页/共43页第
8、20页/共43页ABCQ过过MN作作正垂面正垂面QMN以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图第22页/共43页第21页/共43页12以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1步骤：1过EF作铅垂平面P。2求P平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。kk2 示意图第23页/共43页第22页/共43页CAB过过MN作铅作铅垂垂面面PNMPEFK以以铅铅垂面为辅助平面求线面交点垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图第24页/共43页第23页/共43页fee直线EF与 ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性1243（）kk34示意图()21第25页/共43页第24页
9、/共43页直线EF与平面 ABC相交，判别可见性示意图1 (2)(4)3利用重影点。判别可见性第26页/共43页第25页/共43页六、两一般位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线 示意图判别可见性例题6第27页/共43页第26页/共43页 两一般位置平面相交，求交线步骤：1用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。求两平面的交线llnmmnPVQV1221kkee2连接两个共有点，画出交线KE。示意图第28页/共43页第27页/共43页两一般位置平面相交
10、求交线的方法两一般位置平面相交求交线的方法 示意图示意图 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。连线即为两平面的交线。MBCAFKNL第29页/共43页第28页/共43页利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性两平面相交，判别可见性两平面相交，判别可见性3 4 ()3 4 21()1 2第30页/共43页第29页/共43页例题6 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交。第31页/共43页第30页/共43页分析 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。
11、FPEKH第32页/共43页第31页/共43页作图mnhhnmPV11221过点K作平面KMN/ABC平面。2求直线EF与平面KMN的交点H。3连接KH，KH即为所求。P62例4-13第33页/共43页第32页/共43页4-3 直线与平面垂直、两平面垂直一、直线与平面垂直 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8二、两平面垂直 几何条件例题12 例题13第34页/共43页第33页/共43页直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。第35页/共43页第34页/共43页定理定理1 若一直线垂直于一平面、则直
12、线的水平投影必垂直于属于该若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。正平线的正面投影。knkn第36页/共43页第35页/共43页定理定理2（逆）（逆）若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。线必垂直于该平面。第37页/共43页第36页/共43页例题例题7 平面由平面由
13、 BDF给定，试过定点给定，试过定点K作平面的法线。作平面的法线。acacnnkk第38页/共43页第37页/共43页h例题例题8 试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhh（a）（c）（b）P63例4-144-15第39页/共43页第38页/共43页两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。面都垂直于该平面。AD第40页/共43页第39页/共43页 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。两平面垂直两平面垂直两平面不垂直两平面不垂直第41页/共43页第40页/共43页g例题例题12 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。hacachg第42页/共43页第41页/共43页例题例题13 试判断试判断 ABC与相交两直线与相交两直线KG和和KH所给定的平面是否垂直。所给定的平面是否垂直。ffdd结论：结论：因为因为AD直线不在直线不在 ABC平平面上，所面上，所以两平面以两平面不垂直。不垂直。第43页/共43页第42页/共43页感谢您的观看！第43页/共43页