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1、例例1 试判断直线试判断直线AB是否平行于平面是否平行于平面 CDE。fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面XO第1页/共55页例例2 过点过点K作一水平线作一水平线AB平行于已知平面平行于已知平面 CDE。b a af fbc e d edk kcXO第2页/共55页平面与平面平行平面与平面平行 若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。直线，则这两个平面平行。PSEFDACB第3页/共55页f e d edfc a acb bm n mnr rss 结论：两平面平
2、行结论：两平面平行XO例例3 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行第4页/共55页例例4 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试过点给定。试过点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面。em n mnf e fsr s rd dc a acb bk kXO第5页/共55页例例5 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行结论：两平面平行结论：两平面平行ef e fsr s d dc a acb brPHSHXO第6页/共55页交点与交线的性质交点与交线的性质 直直线线与与平平面面、平平面面与与平平面面不不平平行行则则必必相相交交。直直线线与与平平面面相相交交有
3、有交交点点，交交点点既既在在直直线线上上又又在在平平面面上上，因因而而交交点点是是直直线线与与平平面面的的共共有有点点。两两平平面面的的交交线线是是直直线线，它它是是两两个个平平面面的的共共有有线线。求求线线与与面面交交点点、面面与与面面交交线线的的实实质质是是求求共共有有点点、共共有有线的投影。线的投影。PABKDBCALKEF5.2 相交问题第7页/共55页积聚性法积聚性法 当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投
4、影上找到。可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM第8页/共55页直线可见性的判别直线可见性的判别b ba acc m mn k n 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性判别直线的可见性-观察法观察法 VHPHPABCacbkNKMk在平面之前第9页/共55页XOaa(b)bcedcefdfkk例例6 铅垂线铅垂线AB与一般位置平面与一般位置平面CDE相交，求交点并判别可相交，求交点并判别可见性。见性。第10页/共55页（2）两平面相交两平面相交f k 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题求两平面交
5、线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影有积聚性平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。交线可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm l n bacc a b XOfk第11页/共55页平面可见性的判别平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO第12页/共55页平面可见性的判别平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLbbPHnlmmlnfkfkXO第13页/共55页平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLXObbacnlmcmalnfkfk第14页/共55页过过AB作作平面平面P垂
6、直于垂直于H投影面投影面辅助平面法辅助平面法DECP12KBA第15页/共55页PH作题步骤：作题步骤：1、过过AB作铅作铅垂平面垂平面P。2、求、求P平面与平面与CDE的交线的交线。3、求交线、求交线与与AB的交的交点点K。XOa b bacd e edc kk 211 2 第16页/共55页直线直线AB与平面与平面CDE相交，判别可见性。相交，判别可见性。()a b bace edc d 124（）kk XO3 342 1 第17页/共55页以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点1 2 QV21步骤：步骤：1、过过EF作正作正垂平面垂平面Q。2、求、求Q平面与平面与ABC
7、的交线的交线。3、求交线、求交线与与EF的交的交点点K。f e efba acb c k k第18页/共55页用辅助平面（线）求交点的一般步骤：用辅助平面（线）求交点的一般步骤：1 1 含已知直线的一个投影作一辅助面（通常为垂直面）；3 3 交线的投影与已知直线的同名投影相交，得交点；4 4 判定可见性：利用重影点。ee cc dd a abb k kPH2 2 求该求该辅助面与已知平面的交线；基本作图题第19页/共55页 利用求一般位利用求一般位置线面交点的方法置线面交点的方法找出交线上的两个找出交线上的两个点，将其连线即为点，将其连线即为两平面的交线。两平面的交线。FBCALKED两一般位
8、置平面相交求交线的方两一般位置平面相交求交线的方法法第20页/共55页 1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、L。baccbadd eff e PVQV21k kl l2、连接两个共有点，画出交线KL。XO作题步骤作题步骤1 2 第21页/共55页例例7 试过试过K点作一直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线，并与直线EF相交相交。ac ba cb f e efk kXO第22页/共55页分析FPCABEKH 过已知点过已知点K K作平面作平面P P平行平行于于 ABCABC；直线；直线EFEF与平面与平面P P交于交于H H；连接；连接KHKH，KHKH即
9、为所求。即为所求。第23页/共55页作图步骤作图步骤mnhhnmffacbacbeekkPV11221、过点、过点K作平面作平面KMN/ABC平面。平面。2、过直线、过直线EF作正垂作正垂平面平面P。3、求平面、求平面P与平面与平面KMN的交线的交线。4、求交线、求交线 与与EF的交点的交点H。5、连接、连接KH，KH即即为所求。为所求。第24页/共55页求两平面的交线，并判断可见性求两平面的交线，并判断可见性。acbacb第25页/共55页求两平面的交线，并判断可见性求两平面的交线，并判断可见性。m mn nPHPVagfbecgceabf第26页/共55页PH1122KK32第27页/共5
10、5页11PHKK32求直线MN与平面的交点K，并判别可见性求直线MN与平面的交点K，并判别可见性第28页/共55页121(2)30第29页/共55页11223(3)求三角形ABC与平面DEFG的交线，并判别可见性求三角形ABC与平面DEFG的交线，并判别可见性第30页/共55页PHmQHmnn第31页/共55页过点K作一直线，使其与AB、CD均相交。Qvmmnn第32页/共55页直线与平面垂直直线与平面垂直VHPAKLDCBE 几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。平面的一切直线。5.3 垂直问题第33页/共55页 定理1：若一直
11、线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO第34页/共55页 定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。直线必垂直于该平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLD
12、CBEHXO第35页/共55页acacnnmfdbdbfm例例8 平面由平面由 BDF 给定，试过定点给定，试过定点 M 作平面的垂线。作平面的垂线。第36页/共55页hhhhhhkkSVkkPVkkQH例例9 试过定点试过定点 K 作特殊位置平面的法线。作特殊位置平面的法线。第37页/共55页efemnmncaadbcdbfXO例例10 平面由两平行线平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线给定，试判断直线 MN 是否垂直于定平面。是否垂直于定平面。第38页/共55页两平面垂直两平面垂直 几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于
13、该平面。的所有平面都垂直于该平面。PAB第39页/共55页 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。AB两平面垂直两平面不垂直AB第40页/共55页ghacachkkfdbdbfgXO例例11 平面由平面由 BDF 给定，试过定点给定，试过定点 K 作已知平面的作已知平面的垂面垂面第41页/共55页例例12 已知三条直线已知三条直线CD、EF和和GH，求作一直线，求作一直线AB与与CD平行，并且与平行，并且与EF、GH均相交。均相交。cghefdcefghdXO第42页/共55页分析分析 所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF
14、、GH相交。ABCDHGEF第43页/共55页作图过程作图过程kkcghefdcefghdXOPV11 2 2aabb第44页/共55页例例13 试过定点试过定点A作直线与已知直线作直线与已知直线EF正交。正交。aefafeXO第45页/共55页分析分析EQFAK过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。第46页/共55页作图过程作图过程2 1aefafe1 22 PVaefafe1 kk21第47页/共55页例例14 14 求点求点 C C 到直线到直线 AB AB 的距离。的距离。cabcabXO第48页/共55页分析分析PABCK 过C点作直线AB的垂线CK一定在过
15、C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。第49页/共55页作图过程作图过程cabcabXOeded1212kk所求距离所求距离第50页/共55页51例15 BC为等腰ABC的底边，高AD=50，求 ABC的水平投影cb50dd中点分析：求作AD；作AD的垂面P(EDF)，则BC属于平面P利用面内取点法求得C，进而得到Bffee作图：求d，d为bc的中点(等腰三角形性质);作直角 a d e,求得AD的Y坐标差d e;根据AD的Y坐标差及投影关系求得d；过D作平面P(EDF)AD;作 e f,c e f 由投影关系得到
16、b，b cdabcax第51页/共55页52hhllPHnnmm第52页/共55页 平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。求解综合问题主要包括：空间几何元素的求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问题定位问题（交点、交线）和空间几何元素的（交点、交线）和空间几何元素的度量问题度量问题（如距离、（如距离、角度）。角度）。综合问题解题的一般步骤：综合问题解题的一
17、般步骤：1.分析题意分析题意 2.明确所求结果，找出解题方法明确所求结果，找出解题方法 3.拟定解题步骤拟定解题步骤第53页/共55页本章小结1.平行问题平行问题 （1 1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；（2 2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。2.相交问题相交问题 （1 1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。聚性）交点的求法和作两个面
18、的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。（2 2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。面相交求交线的作图方法。（3 3）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。3.垂直问题垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。4.综合问题分析及解法综合问题分析及解法 （1 1）熟练掌握点、线、面的基本作图方法；）熟练掌握点、线、面的基本作图方法；（2 2）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。题步骤和方法。第54页/共55页55感谢您的观看！第55页/共55页