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1、前面要点回顾前面要点回顾:（一）（一）X YZ ababa b实长实长直角三角形法的四要素：实长、倾角、投影长、坐标差直角三角形法的四要素：实长、倾角、投影长、坐标差第1页/共64页充分理解充分理解空间相互垂直的两直线的投影特征，空间相互垂直的两直线的投影特征，熟熟练掌握练掌握并能灵活运用并能灵活运用直角投影定理直角投影定理。前面要点回顾前面要点回顾:（二）（二）(a)(b)(c)不垂直不垂直对V 面的最大斜度线对H 面的最大斜度线（d）第2页/共64页平面上作水平线平面上作水平线平面上作平面上作对对H H面面的最大斜度线的最大斜度线平面的平面的上讲要点回顾上讲要点回顾熟练掌握平面的空间七种位
2、置及其投影特征。熟练掌握平面的空间七种位置及其投影特征。充分理解平面的迹线概念充分理解平面的迹线概念，了解平面的迹线作法。了解平面的迹线作法。熟练掌握平面上的各种直线的概念、求法。有关最大斜度熟练掌握平面上的各种直线的概念、求法。有关最大斜度线的问题为上讲的难点。线的问题为上讲的难点。水平面、正平面、侧平面，铅垂面、正垂面、侧垂面、一般面水平面、正平面、侧平面，铅垂面、正垂面、侧垂面、一般面PV、PH分别是平面上的两条特殊线，求迹线的方法同求迹点分别是平面上的两条特殊线，求迹线的方法同求迹点平面上作正平线、水平线，平面上作最大斜度线的方法，以最大斜度线求平面上作正平线、水平线，平面上作最大斜度
3、线的方法，以最大斜度线求平面倾角的方法，如何完成各种平面的投影是有关最大斜度线的平面倾角的方法，如何完成各种平面的投影是有关最大斜度线的灵活应用灵活应用平面上作正平线平面上作正平线平面上作平面上作对对V V面面的最大斜度线的最大斜度线平面的平面的平面上作平面上作侧侧平线平线平面上作平面上作对对W W 面面的最大斜度线的最大斜度线平面的平面的 第3页/共64页特殊位置平面的迹线表示法特殊位置平面的迹线表示法UHUVPVQHRVSHTVTH正垂面正垂面P正平面正平面Q水平面水平面R铅垂面铅垂面S侧垂面侧垂面U侧平面侧平面T第4页/共64页特殊平面的迹线表示PV正垂面正垂面PVWHPPVaPVOXV
4、WHPPHPH铅垂面铅垂面PPHXVWHSOSwaSWSHSVXSVSH第5页/共64页VWHCABabcbacabcPVPWVWHbacabcbcaCBAPHPWVWHbcbacabcCABaPVPHPVPH第6页/共64页aa bbc c 不补画不补画W W投影，只利用投影，只利用V V、H H投影区分一般位投影区分一般位置平面与侧垂面。置平面与侧垂面。ab cabc一般位置平面一般位置平面侧垂面侧垂面侧垂面侧垂面cabcab平面中存在一条侧垂线平面中存在一条侧垂线cabcabdd一般位置平面一般位置平面第7页/共64页习题讲评习题讲评:4-3 包含已知直线AB作平面P(用迹线表示)。(a
5、)PH(b)PH,30a(b)baabba(b)(a)PV3030PHPH14页第8页/共64页ppabcbac15页习题讲评习题讲评第9页/共64页abcabc45bac212121习题讲评习题讲评:求作属于ABC与投影面H、V等距离点的轨迹。与投影面与投影面H H、V V等距离点的等距离点的轨迹为轨迹为V V、H H的角平分面的角平分面第10页/共64页abcabc习题讲评习题讲评:求作属于ABC与投影面H、V等距离点的轨迹。2121利用关于轴对称aa45ac0b0a0第11页/共64页abbaa4-11 已知AB为平面P对V面的最大斜度线,求作该平面的投影和对H面的倾角a。16页习题讲评
6、习题讲评第12页/共64页abbacc604-12 已知ABC对H面的倾角a60,试完成其V面投影。16页习题讲评习题讲评第13页/共64页第五讲第五讲 直线与平面、直线与平面、平面与平面的相对位置平面与平面的相对位置基本要求基本要求5-1 5-1 直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行5-2 5-2 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交第14页/共64页基本要求基本要求关关于于直直线线与与平平面面、平平面面与与平平面面的的相相对对位位置置关系关系1.1.平行问题平行问题 熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；熟练掌握熟练掌握
7、线、面平行，面、面平行的投影特性及线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。作图方法。2.2.相交问题相交问题 熟练掌握熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面特殊位置线、面相交（其中直线或平面 的投影具有积的投影具有积 聚性）交点的求法和作两个面的交线聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。（其中一平面的投影具有积聚性）。熟练掌握熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。握一般位置面、面相交求交线的作图方法。掌握利用重影点判别投影可见性的方掌握利用重影点判别投影可见性的方 第15页/共64页一
8、直线与平面平行一直线与平面平行几几何何条条件件：若若平平面面外外的的一一条条直直线线与与平平面面内内的的一一条条直直线线平平行行，则则该该直直线线与与该该平平面面平平行行。这这是是解解决决直直线线与与平平面面平平行行作作图图问问题题的的依依据。据。有有关关线线、面面平平行行的的作作图图问问题题有有：判判别别已已知知线线面面是是否否平平行行；作直线与已知平面平行；作平面与已知直线平行。作直线与已知平面平行；作平面与已知直线平行。二平面与平面平行二平面与平面平行几几何何条条件件：若若一一个个平平面面内内的的相相交交二二直直线线与与另另一一个个平平面面内内的的相相交交二二直直线线对对应应平平行行，则
9、则此此两两平平面面平平行行。这这是是两两平平面面平平行行的的作作图图依依据。据。三三.两两面面平平行行的的作作图图问问题题有有:判判别别两两已已知知平平面面是是否否相相互互平平行行；过过一一点点或或直直线线作作一一平平面面与与已已知知平平面面平平行行；已已知知两两平平面面平行，完成其中一平面的投影。平行，完成其中一平面的投影。5-1 5-1 直线与平面平行、平直线与平面平行、平 面面与平面与平面平行平行第16页/共64页一、一、直线与平面平行直线与平面平行 若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行PCDBA第17页/共64页例题例题1 1 试判断直线AB是否平行于定平面 fgfgb
10、aabcededc结论：直线AB 不平行于定平面mnmnppSC直线MN 平行于定平面P第18页/共64页例题例题2 2 试过点K作水平线AB平行于CDE平面。baaffbcededkkc第19页/共64页二、两平面平行二、两平面平行 若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行PSEFDACB第20页/共64页例题例题3 3 试判断两平面是否平行。fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行第21页/共64页例题例题3 3 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkk第22页/共6
11、4页例题例题3 3 试判断两平面是否平行。结论：两平面平行efefsrsddcaacbbrPHSHSC第23页/共64页两平面的同名迹线相互平行，两平面相互平行VHQVQHQXPVPHPXPPVPXPHQVQHQXQ第24页/共64页abcabc45bac212121习题讲评习题讲评:求作属于ABC与投影面H、V等距离点的轨迹。ee过D作直线DE和ABC平行，且使DE线上所有点与投影面H、V等距。dd第25页/共64页直线与平面、平面与平面平行小结直线与平面、平面与平面平行小结 不必作辅助线不必作辅助线直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行 无论是作直线平行于平面，无论是作直线平行于平面
12、，或是作平面平行于直线，或者是判断二者是否平行，或是作平面平行于直线，或者是判断二者是否平行，只需保证只需保证平面的积聚投影与直线的同面投影平行平面的积聚投影与直线的同面投影平行即可。即可。两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行 无论是作平面平行于平面，或无论是作平面平行于平面，或者是判断二者是否平行，只需两者是判断二者是否平行，只需两平面的同面积聚投影平面的同面积聚投影平行平行即可。即可。同名迹线相互平行同名迹线相互平行 ，两平面平行，两平面平行 需要作辅助线需要作辅助线一般位置直线与平面平行一般位置直线与平面平行 须保证一般位置直线与平须保证一般位置直线与平面内面内一条直线一条直线平行平行
13、。两一般位置非迹线平面平行两一般位置非迹线平面平行 须保证两平面内有须保证两平面内有两条两条相交直线相交直线对应平行。对应平行。第26页/共64页5-2 5-2 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交 直直线线与与平平面面、平平面面与与平平面面不不平平行行则则必必相相交交。直直线线与与平平面面相相交交有有交交点点，交交点点既既在在直直线线上上又又在在平平面面上上，因因而而交交点点是是直直线线与与平平面面的的共共有有点点。两两平平面面的的交交线线是是直直线线，它它是是两两个个平平面面的的共共有有线线。求求线线面面交交点点、面面面面交交线线的的实实质质是是求求共共有有点点、共共有有线
14、线的的投投影影。同同时时，交交点点与与交交线线又又是是可可见见与与不不可可见见部部分分的的分分界界点点和和分分界线界线。所以，相交的主要问题所以，相交的主要问题是求交点、交线和判别可见性是求交点、交线和判别可见性。一、直线与平面相交的一、直线与平面相交的特殊情况特殊情况1 1、一般位置一般位置直线与直线与垂直面垂直面相交相交2 2、垂直垂直线线与一般位置平面相交与一般位置平面相交二、一般位置平面与二、一般位置平面与特殊位置特殊位置平面平面(垂直面垂直面)相交相交三、直线与一般位置平面相交三、直线与一般位置平面相交四、两一般四、两一般位置位置平面相交平面相交第27页/共64页直线与平面相交直线与
15、平面相交P 直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。交点的特性：交点的特性：交点总是可见，而且是可见与不可见交点总是可见，而且是可见与不可见的分界点的分界点。BKA第28页/共64页MBCA 平面与平面相交平面与平面相交FKNL两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。交线的特性：交线总是可见的，是可见与不可见的分界线交线总是可见的，是可见与不可见的分界线。第29页/共64页 一、直线与平面相交的特殊情一、直线与平面相交的特殊情况况 线面相交的特殊情况，指其交点的投影可利用直线或平面的积聚性投影直接求出。1 1 特殊位置平面与一般位置直线相交特殊位置平面与一般位置直线相交 交
16、点的一个投影为平面积聚性投影与直线同面投影的交点，其余投影可在直线的相应投影上获得。利用平面的积聚性在直线上定点利用平面的积聚性在直线上定点。2 2 投影面垂直线与一般位置平面相交投影面垂直线与一般位置平面相交 交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，其余投影可利用平面上取点的方法在平面的相应投影上得到。利用直线的积聚性在平面上取点利用直线的积聚性在平面上取点。注意注意直线可见性的判别 第30页/共64页bbaaccmmnn1 1 直线与直线与特殊位置特殊位置平面相交平面相交 利用特殊位置平面投影的积聚性，在直线上定点，直接求出交点。VHPHPABCacbkNKMkk第31页/共64页判别直线的
17、可见性判别直线的可见性bbaaccmmnkn 二者投影相互重叠处才需判别可见性。二者投影相互重叠处才需判别可见性。可见性判别的方法一般有两种：基本方法依然可见性判别的方法一般有两种：基本方法依然是交叉二直线重影点的可见性判别。较简单的方法是利用平面的积聚性投影直接判别。如是交叉二直线重影点的可见性判别。较简单的方法是利用平面的积聚性投影直接判别。如右图判别右图判别V V投影的可见性，在投影的可见性，在H H投影图中去比较交点投影图中去比较交点K K左侧直线和平面的前后，直线在平面左侧直线和平面的前后，直线在平面之前，故之前，故V V投影图中投影图中mk段可见，段可见，kn段与平面重叠部分则不可
18、见。段与平面重叠部分则不可见。VHPHPABCacbkNKMk第32页/共64页 2 2 投影面垂直线与一般位置平面相投影面垂直线与一般位置平面相交交ddabcabce(e)可见性判别可见性判别交叉二直线观察积聚点与平面上某直线的相对位置k(k)第33页/共64页二、一般位置平面与二、一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两平面交线的问题可以看作是求求两个共有点两个共有点的问题的问题,由于由于特殊位置特殊位置平面平面的某些投影具有积聚性，可的某些投影具有积聚性，可利用利用前述前述一一般位置直线与般位置直线与特殊位置特殊位置平面求交点的方平面求交点的方法，
19、法，直接求出交线。直接求出交线。注意注意平面平面可见性可见性的判别的判别第34页/共64页nlmmlnbaccab 两平面图形投影重叠部分需判别可见性。交线总可见。基本方法依然是交两平面图形投影重叠部分需判别可见性。交线总可见。基本方法依然是交叉二直线重影点可见性的判别。较简单的方法是利用特殊位置平面的积聚性，叉二直线重影点可见性的判别。较简单的方法是利用特殊位置平面的积聚性，如右图由如右图由H H投影图得知投影图得知fkmfkm在特殊位置平面之后，故在特殊位置平面之后，故V V投影图上投影图上mkfmkf与与abcabc重叠部分不可见，画虚线，重叠部分不可见，画虚线，f klnf kln与与
20、 abcabc重叠部分可重叠部分可见，画实线。见，画实线。VHnlmmlnbaccab一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相平面相交交fkfkMmnlPBCacbPHkfFK N LA第35页/共64页 一一般般位位置置线线面面相相交交由由于于直直线线和和平平面面的的投投影影都都没没有有积积聚聚性性，求求交交点点时时无无积积聚聚性性投投影影可可以以利利用用，因因此此通通常常要要采采用用辅辅助助平平面面法法求求一一般般位位置置线线面面的的交交点点。一一般般位位置置线线、面面相相交交求求交交点点的的步步骤：骤：（l l）含已知直线作特殊位置的辅助平面；）含已知直线作特殊位置的辅助平面；
21、（2 2）求辅助平面与已知平面的交线；）求辅助平面与已知平面的交线；（3 3）求交线与已知直线的交点，交点即为所求。）求交线与已知直线的交点，交点即为所求。以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图判别可见性判别可见性 示意图示意图三、直线与一般三、直线与一般位置位置平面相交平面相交第36页/共64页ffeebcaacb求平面求平面ABCABC与直线与直线EFEF的交点的交点 。feefbcaacb一般位置线面没有积聚性,怎样求交点？第37页/共64页efbacHFECABPPH12Kk通过作辅助
22、平面的方通过作辅助平面的方法求交点的空间分析法求交点的空间分析。辅助平面为投影面垂辅助平面为投影面垂直面（创造积聚性）直面（创造积聚性）第38页/共64页ffeebcaacb2feefbcaacb以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1投影作图步骤：投影作图步骤：1 1、过过EFEF作铅垂作铅垂平面平面P P。2 2、求、求P P平面与平面与ABCABC的交线的交线。3 3、求交线、求交线与与EFEF的交点的交点K K。2k1k第39页/共64页ABCQ过过MNMN作平面作平面Q Q垂直于垂直于V V投影面投影面MN以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图KVPV第4
23、0页/共64页feefbaacbc12以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：1、过EF作正垂平面Q。2、求Q平面与ABC的交线。3、求交线与EF的交点K。第41页/共64页直线直线FEFE与平面与平面 ABCABC相交，判别可见性。相交，判别可见性。观察判别可见性观察判别可见性 V V、H H投影编号顺序相同投影编号顺序相同者（均顺时针或均逆时针）者（均顺时针或均逆时针）为上行平面，为上行平面，V V、H H可见性相可见性相同。相反者（一顺一逆）为同。相反者（一顺一逆）为下行平面，下行平面，V V、H H可见性相反。可见性相反。比较直线、边的相对比较直线、边
24、的相对位置及上下行平面判别可见位置及上下行平面判别可见性。性。如图由如图由H H投影图知交点右投影图知交点右keke段直线在段直线在acac边之前，故边之前，故V V投投影图影图keke段直线可见，画段直线可见，画实线。过实线。过kk后重叠部分不可后重叠部分不可见，画虚线。见，画虚线。ABCABC是下行平面，是下行平面，V V、H H投投影图的可见性相反，直接判影图的可见性相反，直接判别别H H投影图的可见性，投影图的可见性，keke重叠重叠部分不可见，画虚线。过交部分不可见，画虚线。过交点点k k后直线可见，画实线。后直线可见，画实线。feefa c c ba bkk第42页/共64页四、两
25、一般位置平面相交四、两一般位置平面相交 求求两两一一般般位位置置平平面面交交线线的的问问题题可可以以看看作作是是求求两两个个共共有有点点的的问问题题,因因而而可可利利用用求求一一般般位位置置线线面面交交点点的的方方法法找找出出交交线线上上的的两两个个点点，将将其其连连线线即即为为两两平面的交线。平面的交线。1 1、线面交点法、线面交点法两一般位置平面相交求交线两一般位置平面相交求交线 示意图示意图判别可见性判别可见性2 2、三面共点法即辅助平面法、三面共点法即辅助平面法第43页/共64页FNLK两一般位置平面相交两一般位置平面相交 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连利用求一
26、般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线线即为两平面的交线。MBCAFKNLBCA互交互交全交全交KM第44页/共64页 求两一般位求两一般位置平面交线的置平面交线的作图步骤：作图步骤：1 1、用直线与平、用直线与平面求交点的方面求交点的方法求出两平面法求出两平面的两个共有点的两个共有点K K、E E。（尽量（尽量不选投影不重不选投影不重叠的边，尽可叠的边，尽可能选各投影均能选各投影均重叠较多的边）重叠较多的边）求两平面的交线求两平面的交线b caab cllnmmnPVQV1221kkee2 2、连接两个、连接两个共有点，画共有点，画出交线出交线KEKE。一般不选AB
27、、BC、NL第45页/共64页b caab c若选若选ACAC、BCBCllmmnkeekn若选了交点在若选了交点在图形之外的边图形之外的边PHQV第46页/共64页利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性两平面相交，判别可见性b caab cllnmmnkeek3 4 3 4 21()1 2()第47页/共64页利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性两平面相交，判别可见性两平面相交，判别可见性b caab cllnmmnkeek3 4 3 4 21()1 2()第48页/共64页两平面相交，判别可见性两平面相交，判别可见性(续续)bcaabcllnmmnkeek()1 1 2 2 利用直
28、线利用直线与上下行平与上下行平面相交可见面相交可见性的特点可性的特点可简化判别。简化判别。如图已用如图已用重影点可见重影点可见性的判别确性的判别确定了定了V V投影投影中中knkn可可见，见，H H投影投影图中图中knkn也可也可见。见。keke2 21 1第49页/共64页两平面相交，判别可见性两平面相交，判别可见性(续续)bcaabcllnmmnkeek21()1 2 利用直线利用直线与上下行平与上下行平面相交可见面相交可见性的特点可性的特点可简化判别。简化判别。如图已用如图已用重影点可见重影点可见性的判别确性的判别确定了定了V V投影投影中中knkn可可见，见，H H投影投影图中图中kn
29、kn也可也可见。见。keke第50页/共64页求两平面的交线求两平面的交线b caab cllnmmngg12PV12kkQVee第51页/共64页b caab cllnmmnggkkee利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性第52页/共64页b caab cllnmmnggkkee利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性第53页/共64页b caab cllnmmnggkkee利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性第54页/共64页2 2、三面共点法（辅助平面法）求交线、三面共点法（辅助平面法）求交线 适用于适用于两平面图形投影不重叠两平面图形投影不重叠，常选投影面平行面，常选投影面平行
30、面作辅助平面（作辅助平面（注意同一平面的水平线相互平行，同一平注意同一平面的水平线相互平行，同一平面的正平线相互平行面的正平线相互平行）第55页/共64页acbacbfeefkk例题例题6 6 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交。第56页/共64页FPCABEKH分析分析:过已知点过已知点K K作平面作平面P P平行平行于于 ABCABC；直线；直线EFEF与平面与平面P P交于交于H H；连接；连接KHKH，KHKH即为所求。即为所求。第57页/共64页作图步骤作图步骤(一一)mnhhnmffacbacbeekkPV11221 1、过点、过点K K作平面作平面KMNKMN
31、/ABCABC平面平面。2 2、过直线、过直线EFEF作作正垂平面正垂平面P P。3 3、求平面、求平面P P与平面与平面KMNKMN的交线的交线。4 4、求交线、求交线 与与EFEF的交点的交点H H。5 5、连接、连接KHKH，KHKH即为所求即为所求。第58页/共64页n作图步骤作图步骤(二二)ffacbacbeekk1 1、连、连 KEFKEF平面。平面。2 2、过、过F F作水平面作水平面P P，过过A A作水平面作水平面Q Q。3 3、分别求平面分别求平面P P与与平面平面ABCABC和和KEFKEF的交的交线，并求两交线交线，并求两交线交点点MM；分别求平面分别求平面Q Q与平面
32、与平面ABCABC和和KEFKEF的交线，的交线，并求两交线交点并求两交线交点N N；4 4、过、过K K作作KLKL平行于平行于交线交线MNMN，交，交EFEF于于L L。QVPV2211mnmll第59页/共64页例题例题7:7:设自点设自点S S发射枪弹同时命中绳索发射枪弹同时命中绳索ABAB、CDCD，求弹道轨迹，求弹道轨迹和命中点的投影。和命中点的投影。absabcdsdcPH分析分析 过过S S与与ABAB相交的直线的轨相交的直线的轨迹是平面迹是平面SABSAB 。同理，过同理，过S S与与CDCD相交的直线的轨相交的直线的轨迹是平面迹是平面SCDSCD。故过故过S S与交叉二线与
33、交叉二线ABAB、CDCD均相交均相交的直线是两平面的直线是两平面SABSAB、SCDSCD的交的交线。线。投影作图步骤投影作图步骤连接连接SASA、SBSB 成成 SBCSBC。求求CDCD与与SBCSBC的交点的交点L L。连接连接SLSL并延长与并延长与ABAB交于交于点点K K。lkkl第60页/共64页本讲重、难点本讲重、难点（一）平行问题 1 熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2 熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题 1 熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。2 熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。（难点）3 掌握利用重影点判别投影可见性的方法。第61页/共64页习题习题PP预习：预习：1.1.平面立体的投影平面立体的投影 2.2.平面立体的表面取点平面立体的表面取点 3.3.平面与平面立体相交平面与平面立体相交(截交线的求解截交线的求解)4.4.平面立体与平面立体相交（平面立体与平面立体相交（相贯线的求解相贯线的求解）第62页/共64页第63页/共64页感谢您的观看。第64页/共64页