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1、第4章电磁波的传播2无界空间中平面电磁波传播的主要特性无界空间中平面电磁波传播的主要特性电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射有导体存在时的电磁波传播问题有导体存在时的电磁波传播问题有界空间的电磁波有界空间的电磁波在激光技术有重要应用的电磁波狭窄波束的传播在激光技术有重要应用的电磁波狭窄波束的传播等离子体的基本电磁现象等离子体的基本电磁现象主要内容：主要内容：3456介质情形介质情形:研究介质中的电磁波传播问题时，必须研究介质中的电磁波传播问题时，必须给出给出D和和E以及以及B和和H的关系当以一定角频率的关系当以一定角频率 作作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束正
2、弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受电场作用，亦以相同频率作正弦振动缚电荷受电场作用，亦以相同频率作正弦振动由介质的微观结构可以推论，对不同频率的电磁由介质的微观结构可以推论，对不同频率的电磁波，介质的电容率是不同的，即波，介质的电容率是不同的，即 和和 是是 的函数的函数 和和 随频率而变的现象随频率而变的现象介质的色散介质的色散由于色散，关系式由于色散，关系式D(t)=E(t)不成立因此在介质不成立因此在介质内，不能够推出内，不能够推出E和和B的一般波动方程的一般波动方程.见第七章见第七章67 2 2时谐电磁波时谐电磁波 在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确在很多实际情
3、况下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦振荡，辐射出的电磁波以相同频率定的频率作正弦振荡，辐射出的电磁波以相同频率作正弦振荡作正弦振荡例如无线电广播或通讯的载波，激光例如无线电广播或通讯的载波，激光器辐射出的光束等，都接近于正弦波这种以一定器辐射出的光束等，都接近于正弦波这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色波）（单色波）在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用傅里叶（用傅里叶（Fourier）分析（频谱分析）方法分解）分析（频谱分析）方法分解为不同频率的正弦波的叠加为不同频率的正弦波的叠加8设角
4、频率为设角频率为，电磁场对时间的依赖关系是，电磁场对时间的依赖关系是cos t，或用复数形式表为或用复数形式表为E(x)表示抽出时间因子表示抽出时间因子e-i t以后的电场强度以后的电场强度在一定频率下，有在一定频率下，有D=0E,B=0H，把上式代入麦，把上式代入麦氏方程，消去共同因子氏方程，消去共同因子e-i t 后得后得注意：这组方程不是独立的注意：这组方程不是独立的:：9取第一式旋度并用第二式得取第一式旋度并用第二式得因为因为解出解出E后，磁场后，磁场B可由第一式求出，可由第一式求出，亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，其解其解E(x)代
5、表电磁波场强在空间中的分布情况，代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种每一种可能的形式称为一种波模波模亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程10概括起来，麦氏方程组化为以下方程：概括起来，麦氏方程组化为以下方程：亥姆霍兹方程的每一个满亥姆霍兹方程的每一个满足足E=0的解都代表一种的解都代表一种可能存在的可能存在的波模波模类似地，也可把麦氏方程组在一定频率下化为类似地，也可把麦氏方程组在一定频率下化为113 3平面电磁波平面电磁波按照激发和传播条件的不同，电磁波的场强按照激发和传播条件的不同，电磁波的场强E(x)可可以有各种不同形式以有各种不同形式例如从广播天线发射出的球面波，沿传输线或例
6、如从广播天线发射出的球面波，沿传输线或波导走向传播的波，由激光器激发的狭窄光束波导走向传播的波，由激光器激发的狭窄光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解等，其场强都是亥姆霍兹方程的解下面讨论一种最基本的解，它是存在于全空间下面讨论一种最基本的解，它是存在于全空间中的中的平面波平面波12设电磁波沿设电磁波沿x轴方向传播，其场强在与轴方向传播，其场强在与x轴正交的平轴正交的平面上各点具有相同的值，即面上各点具有相同的值，即E和和B仅与仅与x，t有关，而有关，而与与y，z无关这种电磁波称为平面电磁波，其波阵无关这种电磁波称为平面电磁波，其波阵面（等相位点组成的面）为与面（等相位点组成的面）为与x轴正交的
7、平面轴正交的平面亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程：亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程：它的一个解：它的一个解：场强的全表示式：场强的全表示式：13因此，只要因此，只要E0与与x轴垂直，代表一种可能的模式轴垂直，代表一种可能的模式以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存在的场强应理解为只取在的场强应理解为只取实数实数部分，即部分，即由条件由条件E=0得得 ，即要求，即要求电场的振幅电场的振幅波动的相位因子波动的相位因子14相位因子相位因子cos(kx-t)的意义的意义t=0时，相位因子是时，相位因子是 coskx，x0的平面处于波峰的平面处于波峰在另一时
8、刻在另一时刻 t，相因子变为，相因子变为cos(kx-t)波峰移至波峰移至kx-t处，即移至处，即移至x=t/k的平面上的平面上.其其相速度相速度：表示一个沿表示一个沿x轴方向传播的平面波轴方向传播的平面波因此因此15真空中电磁波的传播速度为真空中电磁波的传播速度为介质中电磁波的传播速度为介质中电磁波的传播速度为式中式中 r和和 r分别代表介质的相对电容率和相对磁分别代表介质的相对电容率和相对磁导率，由于它们是频率导率，由于它们是频率 的函数，因此在介质中的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速度，这就是介质不同频率的电磁波有不同的相速度，这就是介质的的色散色散现象现象16选择了一个特
9、殊坐标系，选择了一个特殊坐标系，x轴沿电磁波传播方向轴沿电磁波传播方向在在一般坐标系一般坐标系下平面电磁波的表示式是下平面电磁波的表示式是式中式中k是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为17在特殊坐标系下，当在特殊坐标系下，当k的方向的方向取为取为x轴时，有轴时，有k xkx，图示表示沿图示表示沿k方向传播的平方向传播的平面电磁波面电磁波取垂直于矢量取垂直于矢量k的任一平面的任一平面S，设，设P为此平面上的任为此平面上的任一点，位矢为一点，位矢为x，则，则kxkx，x为为x在矢量在矢量k上的上的投影，在平面投影，在平面S上任意点的位矢在上任意点的位矢在k上
10、的投影都等上的投影都等于于x，因而整个平面，因而整个平面S是等相面是等相面18k称为波矢量，其量值称为波矢量，其量值k称为称为园园波数波数.沿电磁波传播沿电磁波传播方向相距为方向相距为 x=2/k的两点有相位差的两点有相位差2，因此因此 x是电磁波的波长是电磁波的波长 对上式必须加上条件对上式必须加上条件E=0才得到电磁波解才得到电磁波解因此因此表示电场波动是横波表示电场波动是横波,E可在垂直可在垂直于于k的任意方向上振荡的任意方向上振荡.矢量矢量k方向传播的平面波方向传播的平面波2 弧度的波长数弧度的波长数19E的取向称为电磁波的的取向称为电磁波的偏振偏振方向可选与方向可选与k垂直的任垂直的
11、任意两个互相正交的方向作为意两个互相正交的方向作为E的两个独立偏振方向的两个独立偏振方向因此，对每一波矢量因此，对每一波矢量k，存在，存在两个独立两个独立的偏振波的偏振波平面电磁波的磁场平面电磁波的磁场n为传播方向的单位矢量由上式得为传播方向的单位矢量由上式得k B=0，因此，因此磁场波动也是磁场波动也是横波横波20E、B和和k是三个互相正交的矢量是三个互相正交的矢量E和和B同相，振幅同相，振幅比为比为在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为（用（用高斯单位制高斯单位制时，此比值为时，此比值为1，即电场与磁场量，即电场与磁场量值相等）值相等）21概括平面电磁
12、波的特性如下概括平面电磁波的特性如下 电磁波为横波电磁波为横波,E和和B都与传播方向垂直；都与传播方向垂直；E和和B互相垂直，互相垂直，E B沿波矢沿波矢k方向；方向；E和和B同相，振幅比为同相，振幅比为v平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如图所示随着时间的推移，整个波形向如图所示随着时间的推移，整个波形向x轴方向轴方向的移动速度为的移动速度为224电磁波的能量和能流电磁波的能量和能流电磁场的能量密度电磁场的能量密度在平面电磁波情形在平面电磁波情形平面电磁波中电场能量和磁场能量相等，有平面电磁波中电场能量和磁场能量相等，有23平面电磁波的能
13、流密度平面电磁波的能流密度v为电磁波在介质中的相速为电磁波在介质中的相速24由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入场强的复数表示直接代入.例如：例如：E的物理有意义部分为的物理有意义部分为a，若直接代入：若直接代入：减少了减少了b2计算计算 和和S的瞬时值时，应把的瞬时值时，应把实数实数表示代入表示代入25为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般公式设公式设f(t)和和g(t)有复数表示有复数表示 和和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需用都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只
14、需用到它们的到它们的时间平均值时间平均值 是是f(t)和和 g(t)的相位差的相位差.fg对一周期的平均值为对一周期的平均值为 式中式中f*表示表示f的复共轭，的复共轭，Re表示实数部分表示实数部分26由此，能量密度和能流密度的平均值为由此，能量密度和能流密度的平均值为274.2 4.2 单色平面电磁波在介质界面单色平面电磁波在介质界面上的反射和折射上的反射和折射Reflection and Refraction of Monochromatic Plane Reflection and Refraction of Monochromatic Plane Electromagnetic Wav
15、e at Interface of MediumElectromagnetic Wave at Interface of Medium本节所要研讨的问题是：本节所要研讨的问题是：用用Maxwell电磁理论来分电磁理论来分析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射规律。规律。28关于反射和折射的规律包括两个方面：关于反射和折射的规律包括两个方面：运动学规律运动学规律:入射角、反射角和折射角的关系；入射角、反射角和折射角的关系；动力学规律动力学规律:入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。1 1、反射和折射定
16、律（即相位关系）、反射和折射定律（即相位关系）、反射和折射定律（即相位关系）、反射和折射定律（即相位关系）研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的不同介质界面上的边值关系边值关系。29一般情况下，电磁场的边值关系为：一般情况下，电磁场的边值关系为：介介质质的的分分界界面面上上，通通常常没没有有自自由由电电荷荷和和传传导导电电流流，即即30但但是是，在在一一定定频频率率的的情情况况下下，这这组组边边界界方方程程（边边值值关关系系）不不是是完完全全独独立立的的。因因此此，在在讨讨论论定定态态（一一定定频频率率）电电磁磁波波时时，介介质
17、质界界面面上上的边值关系只取下列两式：的边值关系只取下列两式：也就是说也就是说切向连续性切向连续性31 反射和折射定律反射和折射定律假假若若所所考考虑虑的的交交界界面面为为一一平平面面，即即设设 x-y 平平面面，考考虑虑一一单单色色平平面面电电磁磁波波入入射射到到交交界界面面上上，设设在在z=0 平平面的上、下方的介质不同，如图所示面的上、下方的介质不同，如图所示设入射波、反射波和折射波的设入射波、反射波和折射波的电场强度为电场强度为 、，波矢量，波矢量分别为分别为 、。由。由Fourier频频谱分析可知，反射波和折射波谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样，也是平面波。与入射波一样，也是平
18、面波。32把入射波、反射波和折射波写为：把入射波、反射波和折射波写为：由由 可得磁场矢量为：可得磁场矢量为：33在在 z=0 的平面所有的点必须满足边界条件。意味着：的平面所有的点必须满足边界条件。意味着：在在 z=0 处，所有场的空间和时间变化必须相同。即，处，所有场的空间和时间变化必须相同。即，所有的相因子在所有的相因子在 z=0 处必须相等处必须相等.波矢量方向之间的关系波矢量方向之间的关系边界条件边界条件要使该式成立，只有要使该式成立，只有34因为因为x、y、t 都是独立变量，必然有都是独立变量，必然有因此因此讨论：讨论：由由于于 ，说说明明反反射射波波、折折射射波波的的频频率率与与入
19、射波的入射波的频率相同频率相同。35根据根据 ，假若，假若 ，则必有，则必有 这说明反射波和折射波与入射波在这说明反射波和折射波与入射波在同一平面内同一平面内，这，这个面就称为个面就称为入射面入射面（入射波矢（入射波矢 与分界面的法线与分界面的法线 所组成的平面）。所组成的平面）。因此：因此：，即反射角，即反射角=入射角。入射角。（反射定律）（反射定律）根据根据36根据根据则则这就是这就是折射定律折射定律，其中，其中n21为介质为介质2相对于介质相对于介质1的折射率，一般介质的折射率，一般介质 （除铁磁质外），故（除铁磁质外），故 为两介质的为两介质的相对折射率相对折射率。372 2、菲涅耳公
20、式（即振幅关系）、菲涅耳公式（即振幅关系）、菲涅耳公式（即振幅关系）、菲涅耳公式（即振幅关系）所谓菲涅耳公式就是在边值关系条件下求得的所谓菲涅耳公式就是在边值关系条件下求得的入射波、反射波和折射波的振幅关系。入射波、反射波和折射波的振幅关系。对每一个波矢对每一个波矢 有两个独立的偏振波，所以有两个独立的偏振波，所以只需要分别讨论电场只需要分别讨论电场 入射面和电场入射面和电场 入射面两种情况就可以了。入射面两种情况就可以了。38 入射面入射面电场只有电场只有y分量，并分量，并入射面（纸入射面（纸面）指向外面。因为介质面）指向外面。因为介质1中有入中有入射波和反射波，介质射波和反射波，介质2中只
21、有折射中只有折射波，根据边界条件（边值关系）：波，根据边界条件（边值关系）：即即考虑到考虑到39故有故有联立联立、两式得两式得40对于光波，对于光波，因此因此41 入射面入射面这这时时磁磁场场只只有有y分分量量，并并入入射射面面（纸纸面面）指指向向外外面面，以以 表表示示。由由边界条件，即在边界条件，即在 z=0 的界面上有：的界面上有：即即同同理理由由 的的关关系系,把把上上式式中中的的磁磁场场换换为为电场。电场。42从而得到：从而得到：即得即得43对于光波，对于光波，44综上所述，我们得到的振幅关系就是光学中的菲涅综上所述，我们得到的振幅关系就是光学中的菲涅耳公式。不过当时，菲涅耳是利用光
22、的耳公式。不过当时，菲涅耳是利用光的“以太以太”理论理论推导出来的。因此，这也有力地证示了光是电磁波推导出来的。因此，这也有力地证示了光是电磁波的理论学说，即光实际上是在一个特殊频段（波长的理论学说，即光实际上是在一个特殊频段（波长由由4000 到到8000 ）的电磁波。）的电磁波。AA45菲涅耳公式菲涅耳公式利用菲涅耳公式讨论利用菲涅耳公式讨论 偏振偏振 半波损失半波损失 反射系数、透射系数反射系数、透射系数46菲涅耳公式讨论：菲涅耳公式讨论：垂直偏振：垂直偏振：当当 时，时，即，即反射波中没有电场平行入射面的部分，这时的反反射波中没有电场平行入射面的部分，这时的反射波是完全的线偏振波射波是
23、完全的线偏振波.根据根据令此时的令此时的Brewsters angle47由此可见，一个任意由此可见，一个任意偏振的波，总可以分偏振的波，总可以分为平行和垂直入射面为平行和垂直入射面的两个入射波。平面的两个入射波。平面波以布儒斯特角入射波以布儒斯特角入射时，反射波只有垂直时，反射波只有垂直入射面偏振的波，反入射面偏振的波，反射波和折射波传播方射波和折射波传播方向互相垂直。向互相垂直。48半波损失：半波损失：当平面波从光疏介质入射到光密介当平面波从光疏介质入射到光密介质时（即质时（即n211）。根据折射定律）。根据折射定律可知：可知：与入射波的相应分量反向与入射波的相应分量反向反反射射波波与与入
24、入射射波波位位相相相相差差 ，好好象象差差个个半半波波长长，这种现象称为这种现象称为半波损失半波损失。49当平面波从光密介质入射到光疏介质时当平面波从光密介质入射到光疏介质时反射波与入射波同位相，即没有半波损失。反射波与入射波同位相，即没有半波损失。由菲涅耳公式可以计算电磁波的反射系数和透由菲涅耳公式可以计算电磁波的反射系数和透射系数。射系数。反射系数（反射系数（R）：）：反射波平均能流与入射波平反射波平均能流与入射波平均能流在法线方向的分量之比均能流在法线方向的分量之比透射系数（透射系数（T）：）：折射波平均能流与入射波平折射波平均能流与入射波平均能流在法线方向的分量之比。均能流在法线方向的
25、分量之比。50入射面入射面入射波的能流平均值：入射波的能流平均值：反射波的能流平均值：反射波的能流平均值：51折射波的能流平均值：折射波的能流平均值：从而得到：从而得到：52同理同理容易证明：容易证明：符合能量守恒定律符合能量守恒定律533 3、全反射、全反射、全反射、全反射若若 ，则，则 ，因此，因此即电磁波从介质即电磁波从介质1入射时，折射角入射时，折射角入射角入射角。当当 时，则时，则 。全反射临界角全反射临界角如如果果再再增增大大入入射射角角，使使得得 ，这这时时不不能能定定义义实实数数的的折折射射角角，因因而而将将出出现现不不同同于于一一般般反反射射折折射射的物理现象的物理现象.54
26、假设在这种情形下两介质中的电场形式仍然为假设在这种情形下两介质中的电场形式仍然为边值关系依旧成立，仍可得到边值关系依旧成立，仍可得到55在在 ，情形下有，情形下有 .令令因此因此y轴垂直与入射面时，=0虚数虚数故折射波的传播因子为：故折射波的传播因子为：这里这里56即即折射波的电场为：折射波的电场为：上式仍然是亥姆霍兹方程的解，因此代表在介质上式仍然是亥姆霍兹方程的解，因此代表在介质2中传播的一种可能波模因为当中传播的一种可能波模因为当z-时时E ，上式所表示的波不能在全空间中存在。但是这里所上式所表示的波不能在全空间中存在。但是这里所研究的折射波只存在于研究的折射波只存在于z0的半空间中，因
27、此，上的半空间中，因此，上式是一种可能的解式是一种可能的解57折射波将沿折射波将沿 z 方向衰减，沿方向衰减，沿 x 方向传播。因此，在方向传播。因此，在全反射时，介质全反射时，介质2中的电磁波并不为零，如果介质中的电磁波并不为零，如果介质2的电磁波完全为零的话，那么就不满足边值关系。的电磁波完全为零的话，那么就不满足边值关系。可见电场不仅沿着界面方向传播，而且被限制在表可见电场不仅沿着界面方向传播，而且被限制在表面附近的一个区域内，所以称全反射时的折射波为面附近的一个区域内，所以称全反射时的折射波为表面波表面波。xz58上式是沿上式是沿x轴方向传播的电磁波，它的场强沿轴方向传播的电磁波，它的
28、场强沿z轴方轴方向指数衰减。因此，这种电磁波只存在于界面附近向指数衰减。因此，这种电磁波只存在于界面附近一薄层内，该层厚度一薄层内，该层厚度 1为介质为介质1中的波长。一般来说，透入第二介质中中的波长。一般来说，透入第二介质中的薄层厚度与波长同数量级。的薄层厚度与波长同数量级。折射波磁场强度折射波磁场强度59考虑考虑 入射面入射面 ：与与 同相同相与与 有有900的相位差的相位差60折射波平均能流密度折射波平均能流密度由此，折射波平均能流密度只有由此，折射波平均能流密度只有x分量，沿分量，沿z轴方轴方向透入第二介质的平均能流密度为零向透入第二介质的平均能流密度为零虚数虚数61以上推出的有关反射
29、和折射的公式在以上推出的有关反射和折射的公式在 sin n21情情形下形式上仍然成立。只要作对应形下形式上仍然成立。只要作对应62当当 入射面时：入射面时：比较上式，可得比较上式，可得欧拉公式欧拉公式63表示在全反射时，入射波和反射波表示在全反射时，入射波和反射波振幅相同振幅相同，两者存在两者存在相位差相位差，因此反射波与入射波的瞬时因此反射波与入射波的瞬时能流值是不同的。只是能流值是不同的。只是 Sz 的平均值为零，其的平均值为零，其瞬时值不为零。由此可见，在全反射过程中第瞬时值不为零。由此可见，在全反射过程中第二介质是起作用的。在半周内，电磁能量透入二介质是起作用的。在半周内，电磁能量透入
30、第二介质，在界面附近薄层内储存起来，在另第二介质，在界面附近薄层内储存起来，在另一半周内，该能量释放出来变为反射波能量。一半周内，该能量释放出来变为反射波能量。64当当 入射面时：入射面时：其中其中65比较比较 ，可见，可见 ，并与入射角有关，并与入射角有关，如果如果 入射波是线编振波，但其振动方向与入射面入射波是线编振波，但其振动方向与入射面成一定夹角，则反射波的两个分量将有一个位相成一定夹角，则反射波的两个分量将有一个位相差，因而是一个差，因而是一个椭园偏振波椭园偏振波，即一个线偏振波入，即一个线偏振波入射在介质界面上经过反射成了一个射在介质界面上经过反射成了一个椭园偏振波椭园偏振波。66
31、4.3 有导体存在时电磁波的传播有导体存在时电磁波的传播Electromagnetic Wave Propagation in Electromagnetic Wave Propagation in Conduction MediumConduction Medium本本节节所所要要研研讨讨的的问问题题是是：导导电电介介质质中中的的电电磁磁波波的的传传播播。由由于于导导体体内内有有自自由由电电荷荷存存在在，在在电电磁磁波波的的电电场场作作用用下下，自自由由电电荷荷运运动动形形成成传传导导电电流流，而而传传导导电电流流要要产产生生焦焦耳耳热热，使使电电磁磁波波能能量量有有损损耗耗。由由此此可可见
32、见，在在导导体体内内部部的的电电磁磁场场（波波）是是一一种种衰衰减减波，在传播过程中，电磁能量转化为热量。波，在传播过程中，电磁能量转化为热量。671、导体内的自由电荷的分布、导体内的自由电荷的分布根据焦耳定律的微分形式根据焦耳定律的微分形式电荷守恒定律电荷守恒定律Gauss 定理定理衰减的特征时间为衰减的特征时间为电荷密度电荷密度随时间指数衰减随时间指数衰减68因此，只要电磁波的频率满足因此，只要电磁波的频率满足或或良导体条件良导体条件2 2、导体内的单色平面电磁波、导体内的单色平面电磁波、导体内的单色平面电磁波、导体内的单色平面电磁波导电介质与非导电介质的根本区别在于导电介质中导电介质与非
33、导电介质的根本区别在于导电介质中有自由电荷存在。因而，只要有电磁波存在，总要有自由电荷存在。因而，只要有电磁波存在，总要引起传导电流引起传导电流 。因此，导体内部：因此，导体内部：69则则Maxwell equs为：为：令令70从形式上看，与均匀介质中的情况完全相同从形式上看，与均匀介质中的情况完全相同则有则有令令同理：同理：运动方程运动方程71如果令如果令复波数复波数72导体当电磁波从真空中入射到导体表面时，以当电磁波从真空中入射到导体表面时，以 矢量表矢量表示真空中的波矢，示真空中的波矢，表示导体内的波矢表示导体内的波矢.根据边值关系：根据边值关系：真空中真空中 为实数，其值为为实数，其值
34、为 垂直于金属表面垂直于金属表面73因为良导体条件下因为良导体条件下在导体内部，在导体内部，k也在入射面内也在入射面内k2的实部可忽略的实部可忽略74753、趋肤效应和穿透深度、趋肤效应和穿透深度根据根据良导体：良导体：76则此时的电磁场形式为：则此时的电磁场形式为：讨论：讨论：从电磁场从电磁场 可看到，复数波矢量可看到，复数波矢量 ，包含了两个部分：实部包含了两个部分：实部 是通常意义上的是通常意义上的波矢量，而虚部波矢量，而虚部 反映着电磁波在进入导体以后反映着电磁波在进入导体以后的衰减程度。的衰减程度。77波振幅沿传播方向按指数衰减，波振幅沿传播方向按指数衰减，为为衰减常数衰减常数。例如
35、对铜来说，例如对铜来说，5 107S m-1，当频率为，当频率为 50Hz时，时，0.9cm；当频率为；当频率为 100MHz时，时，0.7 10-3cm因此，对于高频电磁波，电磁场以及和它因此，对于高频电磁波，电磁场以及和它相作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这相作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为种现象称为趋肤效应趋肤效应.穿透深度穿透深度78不良导体不良导体进行泰勒展开，得进行泰勒展开，得衰减很小，穿透深度很大衰减很小，穿透深度很大.例如对于例如对于1020Hz的的X射线，铜的射线，铜的 ，X射线射线可以穿透铜板可以穿透铜板79相速度相速度 ，可见，在导体中传播速度，可
36、见，在导体中传播速度由由决定，决定，称为称为相位常数相位常数，波长，波长 .一般介质中：一般介质中：金属中：金属中：一般情况下，所以在导体中一般情况下，所以在导体中波长变短波长变短了。了。良导体条件良导体条件80在良导体中，在良导体中，电磁场的关系为：，电磁场的关系为：磁场相位比电磁场相位比电场相位滞后场相位滞后45 磁场远比电场重要，金磁场远比电场重要，金属内电磁波的能量主要属内电磁波的能量主要是磁场能量是磁场能量能量密度能量密度814、电磁波在导体表面上的反射和折射、电磁波在导体表面上的反射和折射和绝缘介质情形一样，应用边值关系可以分析导和绝缘介质情形一样，应用边值关系可以分析导体表面上电
37、磁波的反射和折射问题在一般入射体表面上电磁波的反射和折射问题在一般入射角下，由于导体内电磁波的特点使计算比较复杂角下，由于导体内电磁波的特点使计算比较复杂垂直入射情形计算较为简单，而且已经可以显垂直入射情形计算较为简单，而且已经可以显示出导体反射的特点因此这里只讨论垂直入射示出导体反射的特点因此这里只讨论垂直入射情形情形82设电磁波由真空入射于导体表面，在界面上产生设电磁波由真空入射于导体表面，在界面上产生反射波和透入导体内的折射波垂直入射情形，反射波和透入导体内的折射波垂直入射情形，电磁场边值关系为：电磁场边值关系为：入射方为真空，故入射方为真空，故83 反射系数反射系数电导率越高，发射系数
38、越接近于电导率越高，发射系数越接近于1.测量结果证实测量结果证实此式的正确性。可以将金属近似看作理想导体，此式的正确性。可以将金属近似看作理想导体，其反射系数接近于其反射系数接近于1.84由菲涅耳公式得到：（非垂直入射）由菲涅耳公式得到：（非垂直入射）85若电磁波从真空垂直入射到金属表面，即若电磁波从真空垂直入射到金属表面，即故反射波和入射波的振幅之比为：故反射波和入射波的振幅之比为：对于良导体，对于良导体，从而从而其中其中868788反射系数为：反射系数为：89设设905、导体内功率损耗问题、导体内功率损耗问题导体内的电场为：导体内的电场为：其中略去了其中略去了 因子，可见导体内的电流密度为
39、因子，可见导体内的电流密度为导体内单位体积内的平均功耗为：导体内单位体积内的平均功耗为：91 导体表面单位面积的功耗为：导体表面单位面积的功耗为：定义定义表面电流密度表面电流密度：92因为因为故得故得由此可见：由此可见：所以所以与平均功率与平均功率 比较，可见比较，可见93导体表面电阻导体表面电阻在高频情况下：在高频情况下：0 xyzds=dxdy相当于厚度为相当于厚度为 的薄层的直流电阻的薄层的直流电阻单位面积下的导体在高频电磁波的电阻单位面积下的导体在高频电磁波的电阻944-4 4-4 谐振腔谐振腔951有界空间中的电磁波有界空间中的电磁波在无界空间中，电磁波最基本的存在形式为平面在无界空
40、间中，电磁波最基本的存在形式为平面电磁波，这种波的电场和磁场都作横向振荡。这电磁波，这种波的电场和磁场都作横向振荡。这种类型的波称为种类型的波称为横电磁（横电磁（TEM）波）波.从电磁波与导体的相互作用可知，电磁波主要是从电磁波与导体的相互作用可知，电磁波主要是在导体以外的空间或绝缘介质内传播的，只有很在导体以外的空间或绝缘介质内传播的，只有很小部分电磁能量透人导体表层内小部分电磁能量透人导体表层内理想导体理想导体(电导率电导率)，导体表面自然构成电导体表面自然构成电磁波存在的边界磁波存在的边界.962理想导体边界条件理想导体边界条件实际导体虽然不是理想导体，但是象银或铜实际导体虽然不是理想导
41、体，但是象银或铜等金属导体，对无线电波来说，透入其内而等金属导体，对无线电波来说，透入其内而损耗的电磁能量一般很小，接近于理想导体。损耗的电磁能量一般很小，接近于理想导体。因此，分析实际问题时，在第一级近似下，因此，分析实际问题时，在第一级近似下，可以先把金属看作理想导体，把问题解出来，可以先把金属看作理想导体，把问题解出来，然后在第二级近似下，再考虑有限电导率引然后在第二级近似下，再考虑有限电导率引起的损耗。起的损耗。97在第二节中我们阐明在一定频率的电磁波在第二节中我们阐明在一定频率的电磁波情形，两不同介质（包括导体）界面上的情形，两不同介质（包括导体）界面上的边值关系可以归结为边值关系可
42、以归结为式中式中n为由介质为由介质1指向介质指向介质2的法线。这的法线。这两关系满足后，另外两个关于法向分量两关系满足后，另外两个关于法向分量的关系自然能够满足。的关系自然能够满足。98取角标取角标1、2分别代表理想导体和真空或绝缘介质。分别代表理想导体和真空或绝缘介质。取法线由导体指向介质中。在理想导体情况下，导取法线由导体指向介质中。在理想导体情况下，导体内部没有电磁场（对实际导体来说，应为导体内体内部没有电磁场（对实际导体来说，应为导体内部足够深处，例如离表面几个穿透深度处，该处实部足够深处，例如离表面几个穿透深度处，该处实际上已没有电磁场），因此，际上已没有电磁场），因此，E1=H10
43、。导体表面边界条件导体表面边界条件略去角标略去角标 2，以，以E和和H表示介质一侧处的场强，有表示介质一侧处的场强，有边界条件边界条件自然满足自然满足99理想导体界面边界条件可以表述为：理想导体界面边界条件可以表述为：电场线与界面电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。正交，磁感应线与界面相切。实际求解时，先看方程实际求解时，先看方程 EE=0=0对边界电场的限对边界电场的限制往往是方便的。在边界面上，若取制往往是方便的。在边界面上，若取x x，y y轴在切轴在切面上，面上，z z轴沿法线方向，由于该处轴沿法线方向，由于该处EEx x=EEy y=0=0，因，因此方程此方程 EE=0=0在靠近边
44、界上为在靠近边界上为 EEz z/z z0 0，即，即100例题：证明两平行无穷大导体例题：证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏振的平面之间可以传播一种偏振的TEM电磁波。电磁波。解：设两导体板与解：设两导体板与y轴垂直。轴垂直。两导体平面上的边界条件为，两导体平面上的边界条件为，EEx x=E=Ez z=0,H=0,Hy y=0=0 若沿若沿z轴传播的平面电磁波的电场沿轴传播的平面电磁波的电场沿y轴方向偏振，则轴方向偏振，则此平面波满足导体板上的边界条件，因此可以在导体此平面波满足导体板上的边界条件，因此可以在导体板之间传播。另一种偏振的平面电磁波板之间传播。另一种偏振的平面电磁波(E
45、与导体面相与导体面相切切)不满足边界条件，因而不能在导体面间存在。所以不满足边界条件，因而不能在导体面间存在。所以在两导体板之间只能传播一种偏振的在两导体板之间只能传播一种偏振的TEM平面波。平面波。101实践上电磁波是用具有特定谐振频率的线路或元件实践上电磁波是用具有特定谐振频率的线路或元件激发。低频无线电波采用激发。低频无线电波采用LC回路产生振荡。在回路产生振荡。在LC回回路中，集中分布于电容内部的电场和集中分布于电路中，集中分布于电容内部的电场和集中分布于电感线圈内部的磁场交替激发，以一定频率振荡感线圈内部的磁场交替激发，以一定频率振荡3 3谐振腔谐振腔如果要提高谐振频率，必须减小如果
46、要提高谐振频率，必须减小L或或C的值。频率提的值。频率提高到一定限度后，具有很小的高到一定限度后，具有很小的C和和L值的电容和电感值的电容和电感不能再使电场和磁场集中分布于它们内部，这时向不能再使电场和磁场集中分布于它们内部，这时向外辐射的损耗随频率提高而增大。外辐射的损耗随频率提高而增大。102另一方面由于趋肤效应，焦耳损耗亦另一方面由于趋肤效应，焦耳损耗亦增大。因此增大。因此LCLC回路不能有效地产生高回路不能有效地产生高频振荡。在微波范围，通常采用具有频振荡。在微波范围，通常采用具有金属壁面的谐振腔来产生高频振荡。金属壁面的谐振腔来产生高频振荡。在光学中，也采用由反射镜组成的光在光学中，
47、也采用由反射镜组成的光学谐振腔来产生近单色的激光束。学谐振腔来产生近单色的激光束。103如图，取金属壁的内表面分别如图，取金属壁的内表面分别为为x x0 0和和LL1 1，y y=0=0和和 LL2 2,z z0 0和和LL3 3面。腔内电磁波的电面。腔内电磁波的电场和磁场任一直角分量都满足场和磁场任一直角分量都满足亥姆霍兹方程。亥姆霍兹方程。设设u(u(x,y,zx,y,z)为为EE或或H H 的任一的任一直角分量，有直角分量，有矩形谐振腔内的电磁振荡矩形谐振腔内的电磁振荡104用分离变量法用分离变量法,令令分解为三个方程分解为三个方程解得解得u(x,y,z)的驻波解的驻波解式中式中Ci，D
48、i为任意常数。把为任意常数。把u(x,y,z)具体化为具体化为E的各分量时，的各分量时，考虑边界条件可得对这些常数考虑边界条件可得对这些常数的一些限制。的一些限制。105 例如考虑例如考虑EEx xEEx x对对y y=0=0和和z z=0=0面来说是切向分量，当面来说是切向分量，当y y=0=0和和z z=0=0时时EEx x=0=0，不取，不取coscosk ky yy y和和coscosk kz zz z项。项。对对x x=0=0壁面来说是法向分量，当壁面来说是法向分量，当 x x=0=0时时 EEx x/x x=0=0，不取，不取sinsink kx xx x项。项。对对EEy y和和
49、EEz z亦可作类似考虑亦可作类似考虑106再考虑再考虑x=Lx=L1 1，y=y=LL2 2，z=Lz=L3 3面上的边界条件，面上的边界条件，得得k kx xLL1 1，k ky yLL2 2和和k kz zLL3 3必须为必须为 的整数倍，即的整数倍，即mm，n n，p p分别代表沿矩形三边所含的半波数目。分别代表沿矩形三边所含的半波数目。107式中含三个任意常数式中含三个任意常数A1、A2 和和A3由方程由方程 E=0，应满足关系应满足关系因此因此AA1 1,AA2 2 和和AA3 3中只有两个是独立的。中只有两个是独立的。代表腔内的一种谐振波模，或称为腔内电磁场的代表腔内的一种谐振波
50、模，或称为腔内电磁场的一种本征振荡。对每一组（一种本征振荡。对每一组（m,n,p）值，有两个独）值，有两个独立偏振波模。立偏振波模。108谐振频率谐振频率 mnp称为谐振腔的称为谐振腔的本征频率本征频率。若。若m，n，p中有中有两个为零，则场强两个为零，则场强E=0。若。若L1L2L3，则最，则最低频率的谐振波模为（低频率的谐振波模为（1,1,0），其谐振频率为），其谐振频率为109相应的电磁波波长为相应的电磁波波长为此波长与谐振腔的线度同一数量级。在微此波长与谐振腔的线度同一数量级。在微波技术中通常用谐振腔的最低波模来产生波技术中通常用谐振腔的最低波模来产生特定频率的电磁振荡。特定频率的电磁