电磁场与电磁波-第4章.ppt

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1、第第4 4章章 静态场及其边值问题求解静态场及其边值问题求解主要内容主要内容静态场特性、泊松方程和拉普拉斯方程、静态场特性、泊松方程和拉普拉斯方程、静态场的重要原理和定理静态场的重要原理和定理镜像法、分离变量法、有限差分法镜像法、分离变量法、有限差分法4.1 4.1 静态场特性静态场特性1 1、静态场基本概念、静态场基本概念 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。化的场。静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。变电磁场的特例。静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化

2、的电荷静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场；恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场；恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场；恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产产生的电场；恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。生的磁场，亦称为静磁场。2 2、静态场的麦克斯韦方程组、静态场的麦克斯韦方程组 静态场与时变场的最本质区别：静态场中的电场和静态场与时变场的最本质区别：静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。磁场是彼此独立存在的。1 1、静电场的泊松方程和拉普拉斯方程、静电场的泊松方程和拉普拉斯方程4.24.2、泊松方程和拉普拉斯方程、泊松方程和拉普拉斯方

3、程 静电场基本方程静电场基本方程静电场是有散静电场是有散(有源有源)无旋场，是保守场。无旋场，是保守场。泊松方程泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程无源区域无源区域 2 2、恒定电场的拉普拉斯方程、恒定电场的拉普拉斯方程恒定电场基本方程恒定电场基本方程导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场是保守场拉普拉斯方程拉普拉斯方程3 3、恒定磁场的矢量泊松方程、恒定磁场的矢量泊松方程洛仑兹规范洛仑兹规范 矢量泊松方程矢量泊松方程 恒定磁场基本方程恒定磁场基本方程 恒定磁场是无散有旋场。恒定磁场是无散有旋场。矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 注意：注意

4、：标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。分解分解在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有位场位场的性质，引入的性质，引入标量磁位标量磁位 来表示磁场强度。即来表示磁场强度。即标量拉普拉斯方程标量拉普拉斯方程 4.34.3、静态场的重要原理和定理、静态场的重要原理和定理1.1.对偶原理对偶原理2.2.(1)(1)概念：如果描述概念：如果描述两种物理现象的方程两种物理现象的方程具有相同的数学形式，具有相同的数学形式，并具有对应的边界条并具有对应的边界条件，那么它们解的数件，那么它们

5、解的数学形式也将是相同的，学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦这就是对偶原理，亦称为二重性原理。具称为二重性原理。具有同样数学形式的两有同样数学形式的两个方程称为对偶方程，个方程称为对偶方程，在对偶方程中，处于在对偶方程中，处于同等地位的量称为对同等地位的量称为对偶量。偶量。静电场静电场(无源区无源区域域)恒定电场恒定电场(电源外电源外区域区域)(2)(2)静电场与恒定电场静电场与恒定电场对偶方程对偶方程对偶量对偶量(3)(3)静电场与恒定磁场静电场与恒定磁场 对偶方程对偶方程 对偶量对偶量(4)(4)有源情况下的对偶关系有源情况下的对偶关系 对偶关系存在对偶关系存在 不像上述两种情况那样一

6、目不像上述两种情况那样一目了然了然(5)(5)应用应用电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系，电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系，某些波导中横电波某些波导中横电波(TE(TE波波)和横磁波和横磁波(TM(TM波波)间的对偶关系间的对偶关系 静电场静电场(无源区域无源区域)恒定磁场恒定磁场(无源区域无源区域)例例1:1:已知无限长同轴电缆内、外半径分别为已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和和 ，如图，如图所所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 ，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。解解：根据轴对称的特点

7、和无限长的假设，根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系采用圆柱坐标系积分积分由边界条件由边界条件则：则：解解:(1)(1)由于内、外导体的电导率很高，可以由于内、外导体的电导率很高，可以认为电力线仍和导体表面垂直，和静电场认为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的边界条件一致，的边界条件一致，利用对偶原理利用对偶原理，可以立，可以立即得到即得到(2)(2)单位长度同轴线漏电流单位长度同轴线漏电流密度为密度为 例例2:2:如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他条件同条件同“例例1”1”，

8、求，求:(1):(1)内外导体间的电内外导体间的电位及电场强度。位及电场强度。(2)(2)单位长度上该同轴线的单位长度上该同轴线的漏电流。漏电流。则漏电流为则漏电流为 2.2.叠加定理叠加定理u若若 和和 分别满足拉普拉斯方程，则分别满足拉普拉斯方程，则 和和 的线的线性组合性组合 必然满足拉普拉斯方程。必然满足拉普拉斯方程。u证明：证明：已知已知 和和 满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程 所以：所以：利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问题的组合，便于求解。题的组合，便于求解。3.3.惟一性定理惟一性定理u边值问题的分类边值问题的分

9、类 n狄利克雷问题狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值：给定整个场域边界上的位函数值n纽曼问题纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值：给定待求位函数在边界上的法向导数值 n混合边值问题混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合组合 u惟一性定理惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。的解是惟一的。用反证法可以证明。用反证法可以证明。惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据。镜像法就是惟一性定理的直接

10、应用。根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。4.44.4、静态场边值问题的解法、静态场边值问题的解法 静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定边界条静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。常用的方法有常用的方法有 解析法中将介绍分离变量法；数值法中将介绍有限差分解析法中将介绍分离变量法；数值法中将介绍有限差分法；而间接法中将介绍镜像法。法；而间接法中将介绍镜像法。直接法直接法间接法间接法解析法解析法数值法数值法1 1、静态电磁场的方程与边界条件静态电磁场的方程与边界条件 内容内容 场场场方程场方程位函数的位函数的依据依据

11、位与场的关位与场的关系系微分方程微分方程位与源的关位与源的关系系边界条件边界条件静静电电场场电位电位(有源有源或无源）或无源）恒恒定定电电场场电位电位 U=I/G=IRU=I/G=IR恒恒定定磁磁场场磁位磁位 m m(无无源）源）磁矢位磁矢位A A(有源有源或无源）或无源）2 2、镜像法、镜像法 在在静静电电场场中中，当当有有电电荷荷存存在在于于导导体体或或介介质质表表面面附附近近时时，导导体体和和介介质质表表面面会会出出现现感感应应电电荷荷或或极极化化电电荷荷，而而感感应应电电荷荷或或极极化化电电荷荷将将影影响响场场的的分分布布，一一般般情情况况下下，直直接接求求解解这这类类问问题题是是困困

12、难难的的，这这是是因因为为感感应应电电荷荷或或极极化化电电荷也是未知量，它也取决于总电场。荷也是未知量，它也取决于总电场。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解，可以用等效电荷的电位替代解，可以用等效电荷的电位替代（1 1）问题的提出问题的提出几个实例几个实例接接地地导导体体板板附附近近有有一一个个点电荷，如图所示。点电荷，如图所示。q qqq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用用等等效效电电荷荷的的电电位位替代替代

13、接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷结结论论：所所谓谓镜镜像像法法是是将将不不均均匀匀电电荷荷分分布布的的作作用用等等效效为为点点电电荷或线电荷的作用。荷或线电荷的作用。镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定作用，且保持原有边界上边界条

14、件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。为镜像法。理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。因此，等效电理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像的依

15、据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，因而这种方法称为镜像法。电荷，因而这种方法称为镜像法。像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素”；镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像像电电荷荷的的个个数数、位位置置及及电电荷荷量量的的大大小小以以满满足足所所求求解解的的场场区域的边界条件来确定。区域的边界条件来确定。局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布局

16、限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布 的电荷才有可能确定其镜像电荷。的电荷才有可能确定其镜像电荷。(2)(2)、接地导体平面的镜像、接地导体平面的镜像 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像 待求场域：上半空间 边界：无限大导体平面 边界条件：在空间的电位为点电荷q 和镜像电荷 (=-q)所产生的电位叠加，即电位满足边界条件导体平面边界上：q qq q有效区域有效区域上半空间上半空间(z0(z0）的电位函数）的电位函数q q导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为可见，导体平面上的总感应电荷恰好与所设置的

17、镜像电荷相等。可见，导体平面上的总感应电荷恰好与所设置的镜像电荷相等。线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为待求场域待求场域 中的电位中的电位上半空间的电场上半空间的电场q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电

18、荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如如图图所所示示，两两个个相相互互垂垂直直相相连连的的半半无无限限大大接接地地导导体体平平板板，点电荷点电荷q q 位于位于(d(d1 1,d,d2 2)处。处。对于平面对于平面1 1，有镜像电荷，有镜像电荷q q1 1=q q，位于位于(d d1 1,d,d2 2)对于平面对于平面2 2，有镜像电荷，有镜像电荷q q2 2=q q，位于位于(d(d1 1,d d2 2)显显然然，q q1 1对对平平面面2 2以以及及q q2 2对对平平面面1 1均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。只只有有在在(d d1 1,d d2 2 )处处再再设设置置一一镜镜像像

19、电电荷荷q q3 3 =q q，所所有有边界条件才能得到满足。边界条件才能得到满足。电位函数电位函数如果两导体平面不是相互垂直，而是相交成如果两导体平面不是相互垂直，而是相交成 角，只要角，只要 ，这里的，这里的 为整数，就能用镜像法求解，其镜像电荷数为为整数，就能用镜像法求解，其镜像电荷数为有限的有限的 个。个。角域外有角域外有5 5个镜像电荷，个镜像电荷，大小和位置如图所示。大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点半径为点电荷到顶点的距离。的距离。n

20、 n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。(3)(3)、导体球面的镜像、导体球面的镜像.点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 球球面面上上的的感感应应电电荷荷可可用用镜镜像像电电荷荷qq来来等等效效。qq应应位位于于导导体体球球内内（显显然然不不影影响响原原方方程程），且且在在点点电电荷荷q q与与球球心心的的连连线线上上，距距球球心心为为dd。则有则有 如如图图所所示示，点点电电荷荷q q 位位于于半半径径为为a a 的的接接地地导导体体球

21、球外外，距距球球心心为为d d。问题：问题：PqarRdqPaqrRRdd在球面上任取一点在球面上任取一点c c，则，则方法：利用导体球面上电位为零确定方法：利用导体球面上电位为零确定qq和和dd 。球外任意一点球外任意一点P P 的电位：的电位：因为因为于是球外任意点的电位于是球外任意点的电位若球外任意点坐标为若球外任意点坐标为 ：则则所以所以点电荷位于接地导体球附近的场图点电荷位于接地导体球附近的场图.点电荷对不接地导体球的镜像点电荷对不接地导体球的镜像 先先设设想想导导体体球球是是接接地地的的，则则球球面面上上只只有有总总电电荷荷量量为为 的的感感应电荷分布，则应电荷分布，则 导体球不接

22、地时的特点：导体球不接地时的特点：导体球面是电位不为零的等位面导体球面是电位不为零的等位面 球球面面上上既既有有感感应应负负电电荷荷分分布布也也有有感感应应正正电电荷荷分分布布，但但总总的的 感应电荷为零感应电荷为零采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷点电荷q q 位于一个半径为位于一个半径为a a 的不的不接地导体球外，距球心为接地导体球外，距球心为d d。P Pq qa ar rR Rd d 然后断开接地线，这样导体球上带电量为然后断开接地线，这样导体球上带电量为 ，根据电荷守恒，根据电荷守恒定律，原来导体球上感应电荷代数和应为零。所以，必须在导定律，原来导体球上感

23、应电荷代数和应为零。所以，必须在导体球内再附加另一镜像电荷体球内再附加另一镜像电荷 ，为保持导体球面为等位面，所，为保持导体球面为等位面，所加的镜像电荷应位于球心处。加的镜像电荷应位于球心处。球外任意点的电位为：球外任意点的电位为：qPaqrRRddq所以，不接地导体球镜像电荷：所以，不接地导体球镜像电荷：点电荷位于不接地导体点电荷位于不接地导体球附近的场图球附近的场图例例3 3：有一接地导体球壳，内外半径分别为有一接地导体球壳，内外半径分别为a a1 1和和a a2 2，在球壳内外各，在球壳内外各 有一点电荷有一点电荷q q1 1和和q q2 2 ，与球心距离分别为，与球心距离分别为d d1

24、 1和和d d2 2 ，如图所示。，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。球壳外：球壳外：边界为边界为r r=a a2 2的导体球面，边界条件为的导体球面，边界条件为 根据球面镜像原理，镜像电荷根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为的位置和大小分别为 球壳外区域任一点电位为球壳外区域任一点电位为 解：球壳内：球壳内：边界为边界为r r=a a1 1的导体球面，边界条件为的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和的位置和大小分别为大小分别为球壳内区域任一点电位为球壳内区域任一点电位为 球壳中：球壳中

25、：球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。用镜像法解题时，一定要注意用镜像法解题时，一定要注意待求区域待求区域及其及其边界条件边界条件，对边界以外的，对边界以外的情况不予考虑。情况不予考虑。(4)(4)、导体圆柱面的镜像、导体圆柱面的镜像问题：问题：如图如图 1 1 所示，一根电荷线密度所示，一根电荷线密度为为 的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为a a 的的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d d。图图1 1 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱图

26、图2 2 线电荷与导体圆柱的镜像线电荷与导体圆柱的镜像 特点：特点：在导体圆柱面上有感应电荷，在导体圆柱面上有感应电荷，圆柱外的电位由线电荷与感应电荷圆柱外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。共同产生。分析方法：分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图轴线平行的无限长线电荷，如图2 2所示。所示。.线电荷对接地导体圆柱面的镜像线电荷对接地导体圆柱面的镜像 边界条件：柱面上电位为零边界条件：柱面上电位为零 设想镜像线电荷设想镜像线电荷 位于对称面上，位于对称面上，且与圆柱轴线距离为且与圆柱轴线距离为 ，则导体，则导体柱面上任一点的电位表示为柱面上任一点的电

27、位表示为 其中：其中：两平行线电荷的电位分布两平行线电荷的电位分布在柱面上取两个特殊点在柱面上取两个特殊点M M和和N N，则，则空间电位为：空间电位为：其中：其中：.两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴图1 1 两平行两平行圆柱柱导体体图2 2 两平行两平行圆柱柱导体的体的电轴特点：特点：由于两圆柱带电导体的电场由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。而相背的一侧电荷密度较小。分析方法：分析方法：将导体表面上的电荷用将导体表面上的电荷用线密度分别为线密度分别为

28、 、且相距为、且相距为2 2b b的的两根无限长带电细线来等效替代，两根无限长带电细线来等效替代，如图如图2 2所示。所示。问题：问题：如图如图1 1所示，两平行导体圆柱所示，两平行导体圆柱的半径均为的半径均为a a，两导体轴线间距为，两导体轴线间距为2 2h h，单位长度分别带电荷，单位长度分别带电荷 和和 。图2 2 两平行两平行圆柱柱导体的体的电轴通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。方法又称为电轴法。由由利用线电荷与接地导体圆柱面的镜利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定像确定b b 。导体圆柱外空间

29、任意一点的电位函数就等于线电荷密度导体圆柱外空间任意一点的电位函数就等于线电荷密度分别是分别是 和和 的两平行双线产生的电位叠加的两平行双线产生的电位叠加例题例题4:4:试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。(以以y y轴为电轴为电位为参考点位为参考点)解：解：例例5 5：设两平行长直导体圆柱半径分别为：设两平行长直导体圆柱半径分别为a a和和b b，且分别带有等，且分别带有等量异号电荷，两圆柱几何轴线相距为量异号电荷，两圆柱几何轴线相距为d d，试求电轴的位置。，试求电轴的位置。设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷

30、等效，设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为线电荷密度分别为 和和 ，其位置如图所示。，其位置如图所示。其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。根据惟一性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。两电轴在空间产生的电位为两电轴在空间产生的电位为等位面方程为等位面方程为例例6 6：图为一偏心电缆，内导体半径为图为一偏心电缆，内导体半径为a a，外导体半径为，外导体半径为b b，两几，两几何轴线间距离为何轴线间距离为d d，求两等效电轴的位置。，求两等效电轴的位置。只要能求出假想电轴的只要能求出假想电轴的位置，

31、使两个导体圆柱位置，使两个导体圆柱面分别和电场中两个等面分别和电场中两个等位面重合，就满足了导位面重合，就满足了导电圆柱面为等位面的边电圆柱面为等位面的边界条件。界条件。根据电轴法根据电轴法两等效电轴的位置分别位于（两等效电轴的位置分别位于（c c，0 0）和（）和（c c，0 0）处。）处。(5)(5)、介质平面的镜像、介质平面的镜像点电荷对无限大电介质分界平面的镜像点电荷对无限大电介质分界平面的镜像图1 1 点点电荷与荷与电介介质分界平面分界平面特点：特点：在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中在介质分界面上

32、形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。图2 2 介介质1 1的的镜像像电荷荷问题：问题：如图如图 1 1 所示，介电常数分别为所示，介电常数分别为 和和 的的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质质1 1中有一个点电荷中有一个点电荷q q，距分界平面为，距分界平面为h h。分析方法：分析方法：计算电介质计算电介质1 1中的电位时，用位于介质中的电位时，用位于介质2 2中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数

33、为个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2 2所示。所示。介质介质1 1中的电位为中的电位为 计算电介质计算电介质2 2中的电位时，用位中的电位时，用位于介质于介质1 1中的镜像电荷来代替分界面上中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为介电常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图3 3所所示。介质示。介质2 2中的电位为中的电位为图图3 3 介质介质2 2的镜像电荷的镜像电荷可得到可得到说明：说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷，其镜像电荷

34、为界面的无限长线电荷，其镜像电荷为利用电位满足的边界条件利用电位满足的边界条件电介质中的电场分布：电介质中的电场分布：线电流对磁介质分界面的镜像线电流对磁介质分界面的镜像当计算上半空间的磁场时当计算上半空间的磁场时可认为整个空间充满磁导率为可认为整个空间充满磁导率为1 1的磁介质，在的磁介质，在下半空间有一镜像电流下半空间有一镜像电流II，与，与I I关于分界面对关于分界面对称称(如图所示如图所示)。上半空间任一点的磁场为。上半空间任一点的磁场为 设想用镜像电设想用镜像电流代替磁化电流流代替磁化电流的作用，并在界的作用，并在界面上保持原有边面上保持原有边界条件不变界条件不变当计算下半空间磁场时

35、当计算下半空间磁场时可认为整个空间充满磁导率为可认为整个空间充满磁导率为2 2的磁介质，在上半空间有一镜像的磁介质，在上半空间有一镜像电流电流I I，与电流，与电流I I 位置重合位置重合(如图如图)。下半空间任一点的磁场为。下半空间任一点的磁场为在分界面在分界面(r r=r r=r r)上，磁场满足边界条件：上，磁场满足边界条件：讨论：(1)当 时，说明 与 方向相同，与 方向相反。(2)当 时，说明 与 方向相反，与 方向相同。(3)当 有限 时，此时铁磁质中 但 。(4)当 有限 时，此时 中磁场 为原来的两倍。上半空间的磁场：当 有限 时，磁壁上半空间的磁场：当 有限 时，3 3、分离

36、变量法、分离变量法理论基础：惟一性定理理论基础：惟一性定理 基本思想：把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，基本思想：把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数，代入偏微分方其中每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数，代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个常微分方程，然程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个常微分方程，然后分别求解这些常微分方程并利用边界条件确定其中的待定常后分别求解这些常微分方程并利用边界条件确定其中的待定常数，从而得到位函数的解。应用分离变量法求解时，所求场域数，从而得到位函数的解。应用分离变量法求解时，所求场域的边界面

37、应与某一正交曲面坐标系的坐标面重合。的边界面应与某一正交曲面坐标系的坐标面重合。分离变量法的主要步骤：分离变量法的主要步骤：1、根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。2、经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出、经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。常微分方程的通解，其中含有待定常数。3、利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得、利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。

38、满足边界条件的特解。（1 1）直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法）直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法在直角坐标系中，若位函数与在直角坐标系中，若位函数与z z无关，则拉普拉斯方程为无关，则拉普拉斯方程为将将(x x,y),y)表示为两个一维函数表示为两个一维函数X(X(x x)和和Y(Y(y y)的乘积，即的乘积，即将其代入拉普拉斯方程，得将其代入拉普拉斯方程，得再除以再除以X(x)Y(y)X(x)Y(y)，有，有对于对于x x,y,y取任意值时，上式恒等。所以，式中的每一项都须取任意值时，上式恒等。所以，式中的每一项都须为常数。将此常数写成为常数。将此常数写成k k2 2(分离常数分

39、离常数)，即，即则有则有.当当 时时.当当 时（即时（即 为不为为不为0 0的任意常数），设的任意常数），设由由或则：则方程的解为则方程的解为双曲双曲正弦正弦双曲双曲余弦余弦或或则：则：方程的解为方程的解为.当当 时，即时，即 为虚数设为虚数设由应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解n三种解的特点：三种解的特点：第一种解中，第一种解中，X(xX(x)和和Y(yY(y)为常数或线性函数，说明它们为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；最多只有一个零点；第二种解中，第二种解中，X(xX(x)为三角函数，有多个零点，为三角函数，有多个

40、零点，Y(yY(y)为为双曲函数，最多只有一个零点；双曲函数，最多只有一个零点；第三种解中，第三种解中，X(xX(x)为双曲函数，最多有一个零点，而为双曲函数，最多有一个零点，而Y(yY(y)为三角函数，有多个零点。为三角函数，有多个零点。解解:选选直直角角坐坐标标系系，电电位位函函数数满满足二维拉普拉斯方程足二维拉普拉斯方程 边界条件：边界条件：例例7 7：一一接接地地金金属属槽槽如如图图所所示示，其其侧侧壁壁和和底底壁壁电电位位均均为为零零，顶顶盖与侧壁绝缘，其电位为盖与侧壁绝缘，其电位为U U0 0，求槽内电位分布。，求槽内电位分布。设设 代入式代入式(1)(1)中得中得:根据边界条件根

41、据边界条件(2)(2)与与(3)(3)可知，函数可知，函数X(x)X(x)沿沿x x方向有两个零点，方向有两个零点，因此因此X(x)X(x)应为三角函数形式，又因为应为三角函数形式，又因为X X(0 0)=)=0 0，所以，所以X X(x x)应选应选取正弦函数，即取正弦函数，即由边界条件由边界条件(3)(3)得：得：对应的对应的Y Y(y y)函数为双曲函数，且函数为双曲函数，且Y Y(0 0)=0=0，于是，于是Y Y(y y)的形式为的形式为此时，电位可表示为此时，电位可表示为由边界条件由边界条件(5)(5)知知 其中：其中：对上式两边同乘以对上式两边同乘以 ，再对，再对x x从从0 0

42、到到a a进行积分，即进行积分，即满足边界条件的特解为：满足边界条件的特解为：（2）、直角坐标系中三维拉普拉斯方程分离变量法）、直角坐标系中三维拉普拉斯方程分离变量法根据本征值的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式。根据本征值的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式。4.4.有限差分法有限差分法 有限差分法是求解电磁场问题的数值法。数值法的基本思想是将所要求的有限差分法是求解电磁场问题的数值法。数值法的基本思想是将所要求的整个连续分布的场域空间的场转换为所求解的场域空间中各个离散点上场的集整个连续分布的场域空间的场转换为所求解的场域空间中各个离散点上场的集合。显然，离散点取得越多，对

43、场分布的描述就越精确，但是计算量也越大。合。显然，离散点取得越多，对场分布的描述就越精确，但是计算量也越大。对于边界条件过于复杂的电磁场问题，无法求得解析解。对于边界条件过于复杂的电磁场问题，无法求得解析解。有限差分法是将求解区域划分成网格，把求解区域内连续的场分布用求解有限差分法是将求解区域划分成网格，把求解区域内连续的场分布用求解网格节点上的离散的数值解代替，即用网格节点的差分方程近似代替场域内的网格节点上的离散的数值解代替，即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。偏微分方程来求解。网格的划分有不同的方法，我们只讨论正方形网格划分。网格的划分有不同的方法，我们只讨论正方形网

44、格划分。故点故点1 1的电位的电位点点3 3的电位的电位设设x轴上邻近轴上邻近O点的一点的电位为点的一点的电位为 ，用泰勒公式展开为，用泰勒公式展开为于是于是同理同理将以上二式相加将以上二式相加得得若所求区域电荷分布为零，则若所求区域电荷分布为零，则二维拉氏方程的有限差分形式二维拉氏方程的有限差分形式 上式表示任意一点的电位等于围绕它上式表示任意一点的电位等于围绕它的的4 4个点的电位的平均值。个点的电位的平均值。对每一网格点写出类似的式子，得到对每一网格点写出类似的式子，得到方程数与未知电位的网格点数相等的线方程数与未知电位的网格点数相等的线性方程组。性方程组。将边界条件离散化，作为边界上节

45、点将边界条件离散化，作为边界上节点的已知电位。的已知电位。考虑考虑，4 4阶以上的高阶小量可以忽略，得阶以上的高阶小量可以忽略，得将电位满足的二维泊松方程将电位满足的二维泊松方程式中式中 已知一正方形截面的无限长金属盒。盒子两侧及底部电位为零，顶部电位为已知一正方形截面的无限长金属盒。盒子两侧及底部电位为零，顶部电位为100V，求盒内的电位分布。，求盒内的电位分布。根据二维拉氏方程的有限差分根据二维拉氏方程的有限差分形式得点形式得点5 5的电位为的电位为一、简单迭代法一、简单迭代法 对每一网格点赋初值对每一网格点赋初值:点点1 1、3 3电位为电位为点点7 7、9 9电位为电位为点点4 4、6

46、 6电位为电位为点点2 2电位为电位为点点8 8电位为电位为 初值给定后，按一固定顺序（点的顺序是从左到右，从下到上），利用拉氏方初值给定后，按一固定顺序（点的顺序是从左到右，从下到上），利用拉氏方程的差分形式，用围绕它的程的差分形式，用围绕它的4 4个点的电位的平均值作为其新值，依次计算每点的电位。个点的电位的平均值作为其新值，依次计算每点的电位。当所有点计算完后，用新值代替旧值，即完成一次迭代。然后再进行下一次，直到当所有点计算完后，用新值代替旧值，即完成一次迭代。然后再进行下一次，直到每一点计算的新值和旧值之差小于指定的范围。每一点计算的新值和旧值之差小于指定的范围。二、超松驰法二、超松驰法点点的电位在的电位在n+1n+1次迭代时由下式计算次迭代时由下式计算 为使计算时收敛速度更快，常采用超松驰法。点为使计算时收敛速度更快，常采用超松驰法。点 的电位由的电位由下式计算下式计算为了加快收敛，可引进一个松驰因子为了加快收敛，可引进一个松驰因子 ，上式变为，上式变为有一个最优值，如果选择恰当，将大大地提高收敛速度。有一个最优值，如果选择恰当，将大大地提高收敛速度。两个重大改进：两个重大改进：1 1、计算每一个网、计算每一个网格点时，把刚才计格点时，把刚才计算得到的邻近点的算得到的邻近点的电位新值代如电位新值代如2 2、引入松弛因子，、引入松弛因子，加快收敛速度。加快收敛速度。