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1、控制工程理论任永强任永强 Tel：13966750178Email:QQ:342474609合肥工业大学机械与汽车工程学院合肥工业大学机械与汽车工程学院第四章第四章 控制系统的频率特性控制系统的频率特性频率特性概述频率特性概述典型环节的频率特性曲线图典型环节的频率特性曲线图 -极坐标图（极坐标图（Nyquist图）图）-伯德图伯德图 （Bode图）图）控制系统开环频率特性曲线的绘制控制系统开环频率特性曲线的绘制根据系统开环对数频率特性图求系根据系统开环对数频率特性图求系统开环传递函数统开环传递函数频率特性概述频率特性概述频率特性：频率特性又称频率响应，是系 统对不同频率 正弦输入信号的稳态响应
2、。设系统的传递函数为已知输入,其拉氏变换为 第四章第四章 控制系统的频率特性控制系统的频率特性R(S)C(S)系统系统G(S),A为常量.则系统输出为 若系统是稳定的,即G(s)的所有极点都位于复平面的左半平面，则则等式两边同乘等式两边同乘并令 s=j，则有等式两边幅值相等，则等式两边相位相等，则频率特性概述频率特性概述系统在正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅值之比为|G(j)|,稳态输出与输入间的相位差为G(j)。R(S)C(S)系统系统G(S)频率特性频率特性:幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：频率频率特性表征了系统输入输出之间的关系，故可特性表征了系统
3、输入输出之间的关系，故可由频率特性来分析系统性能。由频率特性来分析系统性能。频率特性概述频率特性概述几点认识：（1）频率特性有明确的物理意义，可以用实验的手段准确地得到系统的频率响应，当系统传递函数未知时，可以通过测量频率响应来推导系统的传递函数；(2)系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。（3）频率特性是在系统稳定的条件下分析稳态响应得到的，它与传递函数一样，也表征了系统的运动规律，是系统频域分析的理论依据，但只适应于线性定常系统。（4）频率特性正好是线性系统的傅里叶变换。例例:求图所示求图所示RCRC电路的频率特
4、性，并求该电路的频率特性，并求该电路正弦电路正弦 信号作用下的稳态输出响应信号作用下的稳态输出响应。频率特性概述频率特性概述Uc(t)+-Ur(t)+-Ci(t)R解解:传递函数为传递函数为 频率特性频率特性:幅频特性幅频特性:相频特性相频特性:稳态输出:n频率特性曲线频率特性曲线之之极坐标图（极坐标图（NyquistNyquist图，幅相曲线图）图，幅相曲线图）频率特性曲线频率特性曲线在频域内，可以将频率特性表示成实部和虚部的形式在频域内，可以将频率特性表示成实部和虚部的形式极坐标图极坐标图(幅相曲线幅相曲线)：以以为参数，当为参数，当从变到从变到时，时，在复平面上按实部和虚部的相应变化，绘
5、制出的频率特性在复平面上按实部和虚部的相应变化，绘制出的频率特性曲线。在极坐标图上，每个点的模对应于幅频特性，相角曲线。在极坐标图上，每个点的模对应于幅频特性，相角对应于相频特性。对应于相频特性。0U()1绘制极坐标图时，可以计算出实部和虚部，也可以分别算出幅值和相角。V()0U()V()=0=0=0频率特性概述频率特性概述n频率特性曲线之频率特性曲线之伯德伯德图图(Bode(Bode图图,对数频率特性曲线对数频率特性曲线）Bode图分别用两个对数坐标图即对数幅频特性和对数相频特性图来表示频率特性。-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-9011
6、00.11100.1对数幅频特性十倍频程十倍频程纵坐标表示为：横坐标表示为：dB L()=20lgA()lg-101dec 为方便只用表示单位为单位为 dB 斜率斜率对数相频特性对数相频特性)(对数对数频率频率特性特性表示法的优点表示法的优点能在很宽广的频率范围表示频率特性能在很宽广的频率范围表示频率特性 在一张图上,可画出频率特性的低、中、高频率段,有利于分析和设计系统。简化绘制系统频率特性的工作简化绘制系统频率特性的工作 系统通常由许多环节串联构成。系统的对数频率特性即为各环节的对数频率特性叠加。简明展现各环节对整个系统的影响简明展现各环节对整个系统的影响 给分析和设计控制系统带来很大方便
7、。典型环节的频率特性曲线图典型环节的频率特性曲线图1 1比例环节比例环节传递函数传递函数：频率特性频率特性:幅频特性幅频特性:相频特性相频特性:0KReImnNyquist 图图 nBode图 对数幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性：对数相频特性：20lgK010.1dB L()010.1)(典型环节的频率特性曲线图典型环节的频率特性曲线图2 2积分环节积分环节传递函数传递函数：频率特性频率特性:幅频特性幅频特性:相频特性相频特性:nNyquist 图图 nBode图 对数幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性：对数相频特性：ReIm0=010.1100-9010.110-20dB/dec)(
8、dB L()020-20典型环节的频率特性曲线图典型环节的频率特性曲线图3 3微分环节微分环节传递函数传递函数：频率特性频率特性:幅频特性幅频特性:相频特性相频特性:nNyquist 图图 nBode图 对数幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性：对数相频特性：ReIm0=010.11010.11020dB/dec)(dB L()020-20090典型环节的频率特性曲线图典型环节的频率特性曲线图4 4惯性环节惯性环节传递函数传递函数：频率特性频率特性:幅频特性幅频特性:相频特性相频特性:nNyquist 图图 ReIm0=011=T-450.707可证可证:惯性环节惯性环节NyquistNyqu
9、ist图是以图是以(1/2,jo)(1/2,jo)为为圆心圆心,以以1/21/2为半径的半圆。为半径的半圆。nBode图 对数幅频特性：对数幅频特性：1/T 频段用频段用-20dB/dec渐近线近似替代渐近线近似替代两渐近线相交点的两渐近线相交点的转折频率转折频率 T=1/T对数相频特性：对数相频特性：转折频率-20dB/decT110TdB L()-20020渐近线渐近线精确曲线0-45-90)(渐近线渐近线最大误差最大误差 典型环节的频率特性曲线图典型环节的频率特性曲线图5 5一阶微分环节一阶微分环节(导前环节导前环节)传递函数传递函数：频率特性频率特性:幅频特性幅频特性:相频特性相频特性
10、:nNyquist 图图 1ReIm0=0nBode图 一阶微分一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比环节的频率特性与惯性环节成反比 ,所以它们所以它们的的伯德图对称于横轴。伯德图对称于横轴。对数幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性：对数相频特性：20dB/decT110TdB L()-20020)(渐近线渐近线 450 90渐近线渐近线最大误差最大误差 典型环节的频率特性曲线图典型环节的频率特性曲线图6 6振荡环节振荡环节传递函数传递函数：频率特性频率特性:幅频特性幅频特性:相频特性相频特性:nNyquist 图图 1ReIm0=0=0=n=0.4=0.6=0.8NyquistNyquist
11、图因图因值的值的不同而异不同而异。谐振峰值谐振峰值谐振频率谐振频率A()Ar10rnBode图 对数幅频特性：对数幅频特性：由由NyquistNyquist图分析可知精确图分析可知精确曲线与渐近线曲线与渐近线之间存在的之间存在的误差与误差与值有关，值有关，较小较小时时幅值出现了峰值。幅值出现了峰值。典型环节的频率特性曲线图典型环节的频率特性曲线图相频特性曲线：相频特性曲线：不同，相频特性曲线的不同，相频特性曲线的形状有所不同形状有所不同dB L()n-20020-40n10=0.1=0.3=0.50-90-180)(=0.1=0.=0.-40dB/dec=0.7典型环节的频率特性曲线图典型环节
12、的频率特性曲线图7 7延时环节延时环节典型环节的频率特性曲线图典型环节的频率特性曲线图传递函数传递函数：频率特性频率特性:幅频特性幅频特性:相频特性相频特性:nNyquist 图图 1=0ReIm0nBode图 对数幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性：对数相频特性：dB L()020)(0-100-200-300环节环节传递函数传递函数 斜率斜率dB/dec 特殊点特殊点()0o1s1Ts+11s2KL()=0=1,L()=20lgKT1=转角转角频率频率转转角角频率频率1=转角转角频率频率=n-90o-180o0o-90o0o90o0o-180o比例比例积分积分重积分重积分惯性惯性一阶微分
13、一阶微分振荡振荡00,-20-20-400,200,-40L()=0=1,s2+2nns+22n1+s常用典型环节伯德图特征表 典型环节的频率特性曲线图典型环节的频率特性曲线图n最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统所有零、极点全部所有零、极点全部位于位于s左半平面左半平面的传递函数称为最小相的传递函数称为最小相位传递函数，具有最小相位传递函数的系统称为最小相位传递函数，具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统。显然对于同阶次的基本环节，当频率位系统。显然对于同阶次的基本环节，当频率从从0 0连续连续变化到变化到+时，最小相位的基本环节造成的相移是最小的。时，最小相位的基本
14、环节造成的相移是最小的。对于对于最小相位系统，知道了系统的幅频特性，其相频特最小相位系统，知道了系统的幅频特性，其相频特性就唯一确定。性就唯一确定。有零点位于有零点位于s右半平面的传递函数称为非最小相位传右半平面的传递函数称为非最小相位传递函数。递函数。最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统例：例：两个系统的开环传递函数分别为（T1T2）对数幅频和相频特性为显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同.最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统例：例：控制系统开环频率特性的曲线绘制控制系统开环频率特性的曲线绘制 频率特性法的最大特点是可以根据系统的开环频率特性曲
15、线分析系统的闭环性能。下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线（Nyquist图）和对数频率特性曲线（Bode图）的绘制。n系统开环幅相频率特性曲线系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的：系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的：积分环节的个数积分环节的个数时间常数时间常数系统的阶次系统的阶次开环增益开环增益幅频特性幅频特性:近似绘制系统的近似绘制系统的Nyquist图图:先把特殊点先把特殊点(00、及及频率特性与虚实轴的交点)找出来，然后在各频段插找出来，然后在各频段插入一些点，最后用平滑曲线将它们连接起来。入一些点，最后用平滑曲线将它们连接起来。相频特性相频特性:系统开环幅相频率特性曲线系
16、统开环幅相频率特性曲线(1)0(1)0型系统型系统 =0幅频和相频特性幅频和相频特性:特殊点特殊点:系统起点和终点系统起点和终点K=0n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0=0=系统开环幅相频率特性曲线系统开环幅相频率特性曲线例:例:例:例:KReIm0K T=0=K=0K T=TT系统开环幅相频率特性曲线系统开环幅相频率特性曲线(2)(2)I型系统型系统 =1幅频和相频特性幅频和相频特性:特殊点特殊点:系统起点和终点系统起点和终点n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0=0=1系统开环幅相频率特性曲线系统开环幅相频率特性曲线例:ReIm0=0=例:-KT系统开环幅相频率特性曲线系统开环幅相
17、频率特性曲线(3)(3)II型系统型系统 =2幅频和相频特性幅频和相频特性:特殊点特殊点:系统起点和终点系统起点和终点n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0=0=2控制系统开环频率特性的曲线绘制控制系统开环频率特性的曲线绘制n系统开环对数频率特性曲线（Bode图）系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的：系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的：开环系统的频率特性开环系统的频率特性 对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性 显然显然将各环节的对数频率特性曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：1)将
18、开环传递函数化成标准典型环节的乘积。3)将各环节的对数幅频、相频曲线相加。2）画出各典型环节的对数幅频和对数相频特性曲线；系统开环对数频率特性曲线例例:已知开环传递函数已知开环传递函数,试画出系统开环对数频率特性曲线。试画出系统开环对数频率特性曲线。解解:化成标准典型环节化成标准典型环节 画出各环节的对数画出各环节的对数频率特性曲线频率特性曲线 -20dBdec3142L1L3L2L41100.5-20020400-180-9090-40dB/decdB L()-20dB/dec)(最后各环节曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。最后各环节曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。显然低频
19、段幅频特性可近似显然低频段幅频特性可近似表示为：表示为：低频段曲线的斜率低频段曲线的斜率低频段曲线在低频段曲线在=1=1时时的高度的高度L(1)=20lgK系统开环对数频率特性曲线系统开环对数频率特性曲线例例:已知开环传递函数已知开环传递函数,试画出系统开环对数频率特性曲线。试画出系统开环对数频率特性曲线。解:已是标准典型环节，共五个基本环节构成 画出各环节的对数频率特性曲线，画出各环节的对数频率特性曲线，最后各环节曲线相加，最后各环节曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。即为开环系统的对数频率特性曲线。2040-20-40121020100121020100系统开环对数频率特性曲线例例:
20、画系统开环对数频率特性曲线画系统开环对数频率特性曲线解解:化成标准典型环节化成标准典型环节 各转折频率为：各转折频率为：低频段曲线：低频段曲线：20lgK=20lg10=20dB相频特性曲线：相频特性曲线：1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/dec0-180-90-40dB/dec-2002040dB L()(显然显然根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频率即可确定系统的对数频率特性曲线频率即可确定系统的对数频率特性曲线。实际的作图过程可简化为：实际的作图过程可简化为：1)将开环传递函数标准化；将开环传递函数标准化；2)在坐标中标出各环节
21、的转折频率；在坐标中标出各环节的转折频率；3)过过=1，L()=20lgK 这点，作斜率为这点，作斜率为4)-20dB/dec 的低频渐近线；的低频渐近线；4)每到某一环节的转折频率处，每到某一环节的转折频率处，根据该环节根据该环节的特性改变一次渐近线的斜率。的特性改变一次渐近线的斜率。5)5)画出对数相频特性的近似曲线。画出对数相频特性的近似曲线。根据系统开环根据系统开环Bode图求系统开环传递函数图求系统开环传递函数 实际中可由实验确定系统的Bode图。给系统加不同频率给系统加不同频率的正弦信号，测量出系统的对的正弦信号，测量出系统的对数幅频特性和相频特性曲线。数幅频特性和相频特性曲线。用
22、标准斜率的直线近似被测对用标准斜率的直线近似被测对数幅频特性曲线，得曲线的渐数幅频特性曲线，得曲线的渐近线。近线。-20020400-180-90-270 dB L()(2-20dB/dec10-40dB/dec-60dB/dec显然我们可以根据Bode图得到系统的传递函数。由系统开环传递函数一般表达式可知：由系统开环传递函数一般表达式可知：根据根据BodeBode图确定传递函数主要是确定增益图确定传递函数主要是确定增益 K，转折频转折频率及相应的时间常数等参数率及相应的时间常数等参数,它们可从图上直接确定。它们可从图上直接确定。根据系统开环根据系统开环Bode图求系统开环传递函数图求系统开环
23、传递函数1.=0低频渐近线为低频渐近线为:即即20lgK-40dB/dec0-20dB/decdB L()c122.=10dB L()1-20dB/dec-40dB/dec20lgK1c0由伯德图可知由伯德图可知：设低频段曲线延长线与横轴设低频段曲线延长线与横轴交点交点的频率为的频率为0，可得，可得:根据系统开环根据系统开环Bode图求系统开环传递函数图求系统开环传递函数3.=2由伯德图可知由伯德图可知：设低频段曲线延长线与设低频段曲线延长线与横轴交点横轴交点的频率为的频率为0，可得可得:-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec120lgKdB L()01c20根据系统开环根据系统开环Bode图求系统开环传递函数图求系统开环传递函数例例:根据如图所示的实测伯德图求系统的传递函数。根据如图所示的实测伯德图求系统的传递函数。已知已知0.5-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec24020-2003dB0-180-90-270 dB L()(0解解:20lgMr=3dB由图可得：由图可得：根据根据必有必有得得由幅频曲线得：由幅频曲线得：2T=0.381)2 T2=(=0.25n所以：所以：