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1、第二讲随机变量的定义及分布第二讲随机变量的定义及分布第1页，本讲稿共69页本章学习的目标：复习概率与随机变量的理论加深随机变量函数的理论（重点）深化一些重要概念的理解加深多维正态随机变量的理论增加Matlab的统计分析函数(自主学习）第2页，本讲稿共69页1.1 1.1 概率的基本概率的基本术语 随机试验随机试验(Random Experiment):(Random Experiment):满足下列三个条件的试验称为随机试验：满足下列三个条件的试验称为随机试验：(1)(1)在相同条件下可重复进行；在相同条件下可重复进行；(2)(2)试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确；试验的结果不止一
2、个，所有可能的结果能事先明确；(3)(3)每次试验前不能确定会出现哪一个结果。每次试验前不能确定会出现哪一个结果。例：投掷硬币例：投掷硬币(Toss a coin)The outcome varies in an unpredictable fashion when the experiment is repeated under the same conditions.第3页，本讲稿共69页随机事件(Random Event):在随机试验中，对试验中可能出现也可能不出现、而在大量重复试验中却具有某种规律性的事情，称为随机事件，简称为事件。如投掷硬币出现正面就是一个随机事件。如投掷硬币出现正面
3、就是一个随机事件。第4页，本讲稿共69页基本事件(Elementary Event):随机试验中最简单的随机事件称为基本事件，如投掷骰子出现1、2、.、6点是基本事件，出现偶数点是随机事件，但不是基本事件。(简单事件简单事件Simple Event)Simple Event)第5页，本讲稿共69页样本空间(Sample Space)随机试验的所有基本事件组成的集合称为样本空间.Toss a coin：S=Head,Tail=H,TToss a die:S=1,2,3,4,5,6第6页，本讲稿共69页关于样本空间的注释：离散的样本空间Toss a die:S=1,2,3,4,5,6连续的样本空间
4、由多次子试验构成的样本空间看下例第7页，本讲稿共69页IF we toss a coin three times and let the triplet xyz denote the outcome“x on the first toss,y on the second toss,z on the third toss”,then the sample space of the experiment isS=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTTThe event“one head and two tails”is defined byE=HTT,THT,TTH第8页，
5、本讲稿共69页关于样本空间的注释：离散的样本空间Toss a die:S=1,2,3,4,5,6连续的样本空间由多次子试验构成的样本空间可数无穷的样本空间S=S1 S1 =HH,HT,TH,TT,S1=H,T第9页，本讲稿共69页频率和概率(Frequency and Probability):n次重复试验中，事件A发生的次数nA：-事件A的频数比值nA/n:-事件A发生的频率概率频率反映了事件频率反映了事件A A发生的频繁程度，若事件发生的频繁程度，若事件A A发生的发生的可能性大，那么相应的频率也大，反之则较小。可能性大，那么相应的频率也大，反之则较小。第10页，本讲稿共69页1.2 随机
6、变量的定义(Definition of a random variable)设随机试验设随机试验E E的样本空间为的样本空间为S=eS=e，如果对于每一个，如果对于每一个e e S S，有一个实数，有一个实数X(e)X(e)与之对应，这样就得到一个定与之对应，这样就得到一个定义在义在S S上的单值函数上的单值函数X(e)X(e)，称，称X(e)X(e)为随机变量，简记为随机变量，简记为为X X。随机变量是定义在样本空间随机变量是定义在样本空间S S上的单值函数上的单值函数1.定义第11页，本讲稿共69页Interpretation of random variable:SeReal lineR
7、andom variable is a function that assigns a numerical value to the outcome of the experiment.第12页，本讲稿共69页A coin tossSe1Real line10e2Mapping of the outcome of a coin toss into the set of real number第13页，本讲稿共69页A discrete random variable is a random variable that can be take on at most a countable num
8、ber of possible values根据随机变量取值的不同可以分为：连续型随机变量(Continuous random variable)离散型随机变量(Discrete random variable)第14页，本讲稿共69页2.概率分布列Xx1x2.xnpkp1p2.pnProbability mass function(PMF)第15页，本讲稿共69页(1)(0,1)分布 随机变量的可能取值为0和1两个值，其概率分布为PMF:0 1第16页，本讲稿共69页Bernoulli random variableLet A be an event of interest in some
9、experiment,e.g.,a device is not defective.We say that a“success”occurs if A occurs when we perform the experiment.Bernoulli random variable IA is equal to 1 if A occurs and zero otherwise.第17页，本讲稿共69页(2)Binomial 独立地进行n次贝努利试验，事件A发生m次的概率刚好是 展开的第m+1项的系数例：雷达双门限检测器例：雷达双门限检测器第18页，本讲稿共69页Example:Transmissi
10、on error in a binary communications channel.Let X be the number of errors in n independent transmissions.Find the PMF of X.Find the probability of one or fewer errors01011-1-第19页，本讲稿共69页The probability of k errors in n bits transmissions is given by the probability of an error pattern that k 1s and
11、n-k 0s X is a binomial random variable第20页，本讲稿共69页例：信息传输问题（Message Transmissions）Let X be the number of times needs to be transmitted until it arrivers correctly at its destination.Find the probability that X is an a even number.X is a discrete random variable taking on values from S=1,2,3,.(3)geome
12、tric random variable第21页，本讲稿共69页The event X=k occurs if k-1 consecutive erroneous transmissions(failures)followed by a error-free one(success)X is called the geometric random variable第22页，本讲稿共69页泊松分布(Poisson distribution)例：交通路口在单位时间内通过的车辆数第23页，本讲稿共69页1.3 分布函数和概率密度函数Probability Density Function,（PDF）
13、Distribution Function or Cumulative Distribution Function,(CDF)1.定义第24页，本讲稿共69页右连续2.分布函数的性质（Properties of the CDF）第25页，本讲稿共69页分布函数是右连续的不减函数，在负无穷处为零，正无穷处为1。对于连续型随机变量，取某一特定值的概率是为零的。即PX=x=0第26页，本讲稿共69页对于离散型随机变量，分布函数为阶梯函数，阶梯的跳变点出现在随机变量的取值点上，跳变的高度为随机变量取该值的概率。第27页，本讲稿共69页对于离散型随机变量，PMF与CDF的关系为第28页，本讲稿共69页概
14、率密度随机变量落入(x1,x2)的概率 第29页，本讲稿共69页对于离散型随机变量，它的概率密度函数是一串函数之和，函数出现在随机变量的取值点，强度为取该值的概率。第30页，本讲稿共69页第31页，本讲稿共69页3.常见概率分布 正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)正态分布概率密度 标准正态分布函数第32页，本讲稿共69页瑞利分布（Rayleigh）瑞利分布概率密度2 02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4第33页，本讲稿共69页指数（Exponenti
15、al）分布指数分布概率密度 0123456700.511.5第34页，本讲稿共69页 对数正态分布（LogNormal）高分辨率雷达杂波分布01234567891000.10.20.30.40.5对数正态分布概率密度 为尺度参数为形状参数第35页，本讲稿共69页1.4 多维随机变量及其分布 Multiple Random Variables and Distributions 1.定义Se第36页，本讲稿共69页2.二维分布函数和概率密度 Bivariate CDF and PDF 二维分布函数图解 定义：第37页，本讲稿共69页二维分布函数性质：边缘（Marginal）分布由二维分布函数可以
16、求出一维分布函数 第38页，本讲稿共69页二维概率密度：由二维概率密度可以求出边缘概率密度第39页，本讲稿共69页随机变量落在某个区域的概率 第40页，本讲稿共69页3.条件分布(Conditional Distribution)条件分布函数条件概率密度称随机变量X、Y独立第41页，本讲稿共69页Example:Communication Channel with Discrete Input and Continuous Outputnoise voltage NU(-2,2)通信信道X:+1 or -1Find PX=+1,Y0Y第42页，本讲稿共69页Solution:1/2When t
17、he input X=1,the output Y is uniformly distributed in the interval Therefore第43页，本讲稿共69页1.5 随机变量的数字特征 均值 方差 协方差与相关系数 协方差矩阵 举例第44页，本讲稿共69页1.均值（Mean)算术平均：算术平均：所有可能取值等概率加权所有可能取值等概率加权统计平均值：统计平均值：所有可能取值按概率加权所有可能取值按概率加权连续型随机变量：离散型随机变量：第45页，本讲稿共69页性质：如果X和Y相互独立，如果如果EXY=0，则称，则称X和和Y正交正交(Orthogonal)。第46页，本讲稿共6
18、9页2.方差(Variance)方方差差反反映映了了随随机机变变量量X X的的取取值值偏偏离离其其均均值值的的偏偏离离程程度度或或分散程度，分散程度，D(X)D(X)越大，则越大，则X X的取值越分散。的取值越分散。第47页，本讲稿共69页性质：如果如果X X1 1,X,X2 2,.,X,.,Xn n相互独立。相互独立。第48页，本讲稿共69页Variance is a nonlinear operator第49页，本讲稿共69页3.协方差和相关系数(Covariance and Correlation coefficient)如果如果X和和Y相互独立，则相互独立，则rXY=0，|rXY|=1
19、的充要条件是的充要条件是PY=aX+b=1第50页，本讲稿共69页we define X and Y to be uncorrelatedIf ,If X and Y are independent,then X and Y are uncorrelated.X and Y are independentX and Y are uncorrelatedTrueFalse第51页，本讲稿共69页The correlation coefficient provides a measure of how good a prediction of the value of one of the two
20、 RVs can be formed based on an observed value of the other.1 indicates a high degree of linear between X and Y+1 means b0 and -1 means b0第52页，本讲稿共69页Independent:UncorrelatedOrthogonal:第53页，本讲稿共69页不相关就认为X与Y没有关系吗？例：为零均值正态随机变量，Y 与X相关吗？Y是依赖于是依赖于X的的(Dependence)，但但Y与与X不相关不相关(Uncorrelated),线性不相关的。线性不相关的。第5
21、4页，本讲稿共69页Independent implies zero covariance but zero covariance does not imply independence.Example:Uncorrelated but dependent random variablesLet be uniformly distributed in the interval(0,2)。LetX and Y are uncorrelated but dependent第55页，本讲稿共69页注意英文单词的区别注意英文单词的区别:Correlation(Uncorrelated)Dependen
22、t（Independent)It can be shown that 第56页，本讲稿共69页4.协方差矩阵（Covariance Matrix）多维随机变量通常用协方差矩阵来描述随机变量之间的相互关系。第57页，本讲稿共69页协方差矩阵是对称（共轭对称）的；如果变量之间是不相关的，则K是一个对角阵。第58页，本讲稿共69页例1:(0,1)分布随机变量，PX=1=p,PX=0=q=1-p,求X的均值和方差5.Expected value of some important random variableEX=1PX=1+0 PX=0=pEX2=12 PX=1+02 PX=0=pD(X)=E(X
23、2)-(EX)2=p-p2=pq解:第59页，本讲稿共69页例2(a,b)上均匀分布的随机变量，求均值和方差 第60页，本讲稿共69页例3 求瑞利分布随机变量的均值和方差。第61页，本讲稿共69页常用分布及其数字特征归纳Uniform Random Variable第62页，本讲稿共69页Exponential Random Variable第63页，本讲稿共69页Gaussian Random VariableRemark:Under a wide range of conditions X can be used to approximate the sum of a large numb
24、er of independent random variable.第64页，本讲稿共69页Gamma Random VariableRemark:Chi-Square random variable with k degree of freedom:k=2,=1/2第65页，本讲稿共69页Laplacian Random Variable第66页，本讲稿共69页Rayleigh Random Variable第67页，本讲稿共69页随机变量的定义与分布（1）概率的基本术语：随机试验 基本事件 随机事件 样本空间，频率与概率（2）随机变量的定义 从样本空间到实轴的映射（3）随机变量的分布 PMF CDF PDF 典型随机变量的分布（4）条件分布 小结第68页，本讲稿共69页随机变量的数字特征1.均值 反映随机变量取值的统计平均值2.方差 随机变量取值偏离均值的偏离程度3.相关系数 X与Y线性程度的度量4.注意：线性不相关并不意味他们没有关系5.注意与独立的差别6.4.协方差矩阵7.5.常见随机变量的数字特征第69页，本讲稿共69页