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1、弹塑性力学讲义第1页，共62页，编辑于2022年，星期六物体在外界作用下会发生运动和变形，应变分析的物体在外界作用下会发生运动和变形，应变分析的目的目的是是研究物体局部的几何变化和物体内各点的位移。物体的变形或位移研究物体局部的几何变化和物体内各点的位移。物体的变形或位移也与物体本身的性质有关，但应变分析是从运动学的角度关系研究也与物体本身的性质有关，但应变分析是从运动学的角度关系研究物体的变形。物体的变形。不涉及外部因素，也不过问材料性质，不涉及外部因素，也不过问材料性质，是一种不是一种不涉及引起物体运动和变形的原因的纯几何分析，涉及引起物体运动和变形的原因的纯几何分析，所得的结论所得的结论
2、适用于任何连续介质。适用于任何连续介质。第2页，共62页，编辑于2022年，星期六位移与应变 位移：位置的移动，即物体受力后其内部质点发生位移：位置的移动，即物体受力后其内部质点发生的位置变动。对于连续体来说每点的位移都是其坐标的的位置变动。对于连续体来说每点的位移都是其坐标的连续函数。连续函数。位移位移第3页，共62页，编辑于2022年，星期六位移的性质位移的性质 物体的连续性要求，其初始构形被不同的质物体的连续性要求，其初始构形被不同的质点连续地、无间隙地充填。其后继构形被同样的点连续地、无间隙地充填。其后继构形被同样的质点连续地、无间隙地充填。质点连续地、无间隙地充填。1、变形以前的点与
3、变形以后的点有、变形以前的点与变形以后的点有一一对应一一对应关关系。系。(从数学上，这意味着反函数存在且唯一，从数学上，这意味着反函数存在且唯一，若连则反函数的导数也连续且唯一若连则反函数的导数也连续且唯一)；2、物体中各点的位移一般是不同的；、物体中各点的位移一般是不同的；3、位移是位置的单值连续函数；、位移是位置的单值连续函数；4、物体中某点乃至物体整体的位移中包含了、物体中某点乃至物体整体的位移中包含了变变形和刚体形和刚体运动。运动。第4页，共62页，编辑于2022年，星期六应变：外力作用下，若物体内任意应变：外力作用下，若物体内任意两个质点两个质点间的间的相对位置相对位置发生了改变，则
4、认为该物体发生了变形，也发生了改变，则认为该物体发生了变形，也即为有应变产生。即为有应变产生。1、线应变；、线应变；考察物体内任意一微小线段 长度的相对改变 线应变 沿x轴方向的线应变 第5页，共62页，编辑于2022年，星期六 考察物体内任意一微小线段 方向的相对改变 剪（角）应变 沿x，z轴两个方向的线段之间的剪应变 2、角应变、角应变 第6页，共62页，编辑于2022年，星期六无限小应变（1）一点处的应变状态ABCDEFGHrdxdydzAr+drdxdydzACBDEFJKLM第7页，共62页，编辑于2022年，星期六变形前：变形前：A点坐标为：x,y,z,B点坐标为：x+dx,y+d
5、y,z+dz,与A点距离为r变形后：变形后：A点坐标为：x+ux,y+uy,z+uz,B点坐标为：x+dx+(ux+dux)y+dy+(uy+duy)z+dz+(uz+duz)duxduyduz则是B点相对于A点的位移在x，y，z轴上的投影。第8页，共62页，编辑于2022年，星期六位移是坐标的连续函数，即：u是关于坐标（x，y，z）的连续函数；同样u在x轴，y轴，z轴上的分量，以及其微小变量du均为（x，y，z）的连续函数，即：第9页，共62页，编辑于2022年，星期六OXZACEFACEFuxuz第10页，共62页，编辑于2022年，星期六同理：第11页，共62页，编辑于2022年，星期六
6、ABCDEFGHrdxdydz第12页，共62页，编辑于2022年，星期六第13页，共62页，编辑于2022年，星期六角位移角位移OXZACEFACEFuxuzJM第14页，共62页，编辑于2022年，星期六在XOZ面上，棱边AC转角的正切为：由于是无限小应变，因此与1相比甚小，可以忽略，所以同理，棱边AF转角的正切为：第15页，共62页，编辑于2022年，星期六同理，在其他面上也可得到类似的相对角位移表达式：在XOZ平面上，两棱边转角的和就是角FAC的变化量，即工程剪应变第16页，共62页，编辑于2022年，星期六n具体变形过程的分解 （1）随A点平动；AB AB （2）相对A点刚体转动；A
7、B AB （3）纯变形。AB AB。第17页，共62页，编辑于2022年，星期六纯粹剪应变：纯粹剪应变：相对角位移剪应变刚性转动ZZZ第18页，共62页，编辑于2022年，星期六第19页，共62页，编辑于2022年，星期六第20页，共62页，编辑于2022年，星期六第21页，共62页，编辑于2022年，星期六在圆柱坐标系中，其线应变和剪应变与位移关系的几何方程为：第22页，共62页，编辑于2022年，星期六在球面坐标系中，其线应变和剪应变与位移关系的几何方程为：第23页，共62页，编辑于2022年，星期六应变张量第24页，共62页，编辑于2022年，星期六例1.已知一个变形体的位移分量：C为一
8、个小量，试求该变形体的应变张量？第25页，共62页，编辑于2022年，星期六第26页，共62页，编辑于2022年，星期六第27页，共62页，编辑于2022年，星期六第28页，共62页，编辑于2022年，星期六例2.已知一平面变形的位移分量，求给定点在点处的应变状态？第29页，共62页，编辑于2022年，星期六由于是平面变形问题，所以和z轴有关的应变分量都为0。将点处的坐标代入上式得：所以该点处的应变状态为第30页，共62页，编辑于2022年，星期六ABCDEFGHrdxdydzAr+drdxdydzACBDEFJKLM(2)线段的无限小应变第31页，共62页，编辑于2022年，星期六第32页，
9、共62页，编辑于2022年，星期六应变张量及其坐标变换应变张量及其坐标变换第33页，共62页，编辑于2022年，星期六主应变、应变张量不变量n与应力分析类似，一点的应变也有主方向和主应变。按照小变形理论，物体内某点邻域的位移由刚体平移、刚体转动和纯变形三个部分组成。变形前后，微线元方向的改变实际上是刚体转动引起的。如果在变形过程中微线元的方向不变，则称该方向上线元的伸长度为主伸长，相应的方向与主方向。第34页，共62页，编辑于2022年，星期六第35页，共62页，编辑于2022年，星期六第36页，共62页，编辑于2022年，星期六第37页，共62页，编辑于2022年，星期六 由于应变张量中，每
10、个元素都是实的，并且是对称的，由于应变张量中，每个元素都是实的，并且是对称的，因此按线性代数，主应变有类似于主应力的性质因此按线性代数，主应变有类似于主应力的性质1 1、实数性，即全为实数；、实数性，即全为实数；2 2、不变性；、不变性；3 3、正交性。、正交性。4 4、极值性、极值性 从上面的讨论，还可以得到一个结论：从上面的讨论，还可以得到一个结论：在物体内在物体内P P点，至少存在三个互相正交的方向，变形以点，至少存在三个互相正交的方向，变形以后它们仍然保持正交，在这三个正交方向上剪应变为零，而后它们仍然保持正交，在这三个正交方向上剪应变为零，而伸长度即是对应的主应变。伸长度即是对应的主
11、应变。第38页，共62页，编辑于2022年，星期六主剪应变及最大剪应变n力是产生变形的原因，在变形体中，每一点伴随着主剪应力和最大剪应力必然对应着主剪应变和最大剪应变第39页，共62页，编辑于2022年，星期六OP为单位长度线段，其对三个主轴的方向余弦分别为：l，m，n第40页，共62页，编辑于2022年，星期六第41页，共62页，编辑于2022年，星期六第42页，共62页，编辑于2022年，星期六第43页，共62页，编辑于2022年，星期六第44页，共62页，编辑于2022年，星期六综合以上的讨论，总结如下：l0010m0100n1000ij0003 32 21 1第45页，共62页，编辑于
12、2022年，星期六主剪应变主剪应变第46页，共62页，编辑于2022年，星期六球应变分量和偏差应变分量球应变分量和偏差应变分量 法线法线n与主应变与主应变 1，2，3 夹角相等的作用面。夹角相等的作用面。这样的面一共有八个，由这八个面围成的微元体称这样的面一共有八个，由这八个面围成的微元体称为八面体。由于为八面体。由于lmn，因此八面体面上方向余，因此八面体面上方向余弦为：弦为：第47页，共62页，编辑于2022年，星期六八面体八面体第48页，共62页，编辑于2022年，星期六八面体正应变八面体正应变八面体剪应变八面体剪应变第49页，共62页，编辑于2022年，星期六 该式反映了应变现象的物理
13、本质，求应变分量表示在给定的微该式反映了应变现象的物理本质，求应变分量表示在给定的微变形体中，各方向线应变相同，改变变形体体积而不改变形状、而变形体中，各方向线应变相同，改变变形体体积而不改变形状、而偏差应变分量仅改变形状，不改变体积偏差应变分量仅改变形状，不改变体积第50页，共62页，编辑于2022年，星期六第51页，共62页，编辑于2022年，星期六三种变形类型a)轧制，自由锻b)板带轧制c)挤压拉拔主变形图示主变形图示第52页，共62页，编辑于2022年，星期六第53页，共62页，编辑于2022年，星期六第54页，共62页，编辑于2022年，星期六第55页，共62页，编辑于2022年，星期六主偏差应力图主变形图第56页，共62页，编辑于2022年，星期六例题1：变形体主应力为：第57页，共62页，编辑于2022年，星期六大塑性变形条件下，应变增量:第58页，共62页，编辑于2022年，星期六应变速率应变对时间的变化率。应变对时间的变化率。第59页，共62页，编辑于2022年，星期六位移速度第60页，共62页，编辑于2022年，星期六第61页，共62页，编辑于2022年，星期六第62页，共62页，编辑于2022年，星期六