弹塑性力学(讲义)ppt.pptx

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1、01绪绪论论哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院1/27土木工程学院土木工程学院 工工程力程力学学学科学科组组HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY弹弹塑塑性力学性力学01绪绪论论第第1节节弹弹塑塑性力性力学学任任务务弹弹塑性力学的定塑性力学的定义义：弹弹塑性力学是固体力学的一个重塑性力学是固体力学的一个重 要分支，是研究要分支，是研究弹弹性体和性体和弹弹塑性体在塑性体在载载荷作用下荷作用下应应力分布力分布 规规律和律和变变形形规规律的一律的一门门学科。学科。对对工工科科来来说说，弹弹性性力力学学的的任任务务，和和材材料料力力学学、结结构构力力 学学的的任任务务一一样样

2、，是是分分析析各各种种结结构构物物或或其其构构件件在在弹弹性性阶阶段段的的 应应力力和和应应变变，校校核核它它们们是是否否具具有有所所需需的的强强度度、刚刚度度和和稳稳定定 性，并性，并寻寻求或改求或改进进它它们们的的计计算方法。算方法。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院2/2701绪绪论论弹弹塑性力学是根据固体材料受外因作用塑性力学是根据固体材料受外因作用时时所呈所呈现现的的弹弹性与性与 塑性性塑性性质质而命名。它而命名。它们们是固体材料是固体材料变变化化过过程的两个程的两个阶阶段。段。当当外外部部因因素素作作用用时时，固固体体发发生生变变形形，如如果果当当外外因因去去 掉掉，变变形形体

3、体恢恢复复原原样样（状状），称称固固体体（材材料料）具具有有弹弹性性 性性质质，单值单值，具有可逆性具有可逆性；当当外外部部因因素素去去掉掉时时，变变形形体体未未能能恢恢复复原原状状并并存存在在永永 久久变变形形，说说明明固固体体已已进进入入塑塑性性阶阶段段，曲曲线线不不是是单单值值 函数，函数，没有可逆性没有可逆性。当当然然变变形形体体常常遇遇到到在在物物体体某某一一局局部部处处于于弹弹性性、而而另另 一区域一区域处处于塑性状于塑性状态态，弹弹塑性交塑性交织织在一起，称材料在一起，称材料处处于于弹弹塑性状塑性状态态。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院3/2701绪绪论论研究研究的的对对象

4、象：实际实际物体物体经过经过抽象抽象处处理（理（进进行一定的假行一定的假设设）后）后弹弹塑性体。材料力学和塑性体。材料力学和结结构力学研究的构力学研究的对对象是杆系象是杆系结结构构（一一维维问问题题），具具有有局局限限性性。而而弹弹塑塑性性力力学学研研究究对对象象 也也是是固固体体，是是不不受受几几何何尺尺寸寸与与形形态态限限制制的的能能适适应应各各种种工工程程 技技术术问问题题需需求求的的物物体体。所所以以弹弹塑塑性性理理论论基基本本方方程程要要复复杂杂的的 多，具有一般性。多，具有一般性。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院4/2701绪绪论论弹弹塑性力学的任塑性力学的任务务：根据根据对

5、弹对弹塑性体的塑性体的实验观实验观察察结结果果寻寻求物体在求物体在弹弹塑性状塑性状态态下的下的变变形形规规律，建立本构关系及律，建立本构关系及 有关基本理有关基本理论论。1建立求解固体的建立求解固体的应应力、力、应变应变和位和位移移分布分布规规律的基本方程律的基本方程 和理和理论论；2给给出初等理出初等理论论无法求解的无法求解的问题问题的的理理论论和方法，以及和方法，以及对对初初 等理等理论论可靠性与精确度的度量；可靠性与精确度的度量；3确定和充分确定和充分发挥发挥一般工程一般工程结结构物的承构物的承载载能力，提高能力，提高经济经济效益；效益；4为进为进一步研究工程一步研究工程结结构物的构物的

6、强强度度、振振动动、稳稳定性、断裂定性、断裂等力学等力学问题问题，奠定必要的理，奠定必要的理论论基基础础。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院5/2701绪绪论论弹弹塑塑性性力力学学和和材材料料力力学学分分析析范范围围有有所所不不同同。弹弹塑塑性性力力学学在在 微微观观层层面面研研究究应应力力和和应应变变规规律律；而而材材料料力力学学有有时时还还要要研研究究 材材料料蠕蠕变变、疲疲劳劳以以及及断断裂裂破破坏坏现现象象，研研究究杆杆件件的的拉拉、剪剪、弯、扭作用下的弯、扭作用下的应应力和力和变变形是材料力学的主要内容。形是材料力学的主要内容。在在研研究究方方法法上上的的不不同同。材材料料力力学

7、学为为简简化化计计算算，对对构构件件的的应应 力力分分布布和和变变形形状状态态作作出出某某些些假假设设，因因此此得得到到的的解解答答是是粗粗略略 和和近近似似的的；而而弹弹塑塑性性力力学学研研究究通通常常不不引引入入上上述述假假设设，从从而而 所得所得结结果比果比较较精确，并可精确，并可验证验证材料力学材料力学结结果的精确性。果的精确性。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院6/2701绪绪论论第第2节节基本假基本假设设和基本和基本规规律律实实际际问问题题由由多多方方面面因因素素构构成成，分分析析极极为为复复杂杂。应应按按照照物物体体 的的性性质质，以以及及求求解解范范围围，忽忽略略一一些些暂

8、暂时时可可不不考考虑虑的的因因素素，使我使我们们研究的研究的问题问题限定在一个方便可行的范限定在一个方便可行的范围围内。内。基本假基本假设设：连续连续性假性假设设：将可将可变变形固体看作密形固体看作密实实无无间间隙的物体。因而一些隙的物体。因而一些 物理量可以表示成坐物理量可以表示成坐标标的的连续连续函数。函数。均匀性假均匀性假设设：假定物体是用同一假定物体是用同一类类型的均匀材料型的均匀材料组组成，而且在成，而且在 物体内各点、各方向具有相同的物理性物体内各点、各方向具有相同的物理性质质。小小变变形假形假设设：在外界因素作用下在外界因素作用下产产生物体内各点的位移生物体内各点的位移远远小于小

9、于 物体原尺寸，可忽略物体原尺寸，可忽略变变形引起的几何形引起的几何变变化。化。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院7/2701绪绪论论从而使得平衡条件与几何从而使得平衡条件与几何变变形条件形条件线线性化。性化。小小变变形假形假设说设说明明应变应变(包括包括线应变线应变与角与角应变应变)均均远远远远小于小于1。根据根据这这一假定：一假定：（1）在）在弹弹塑性体塑性体产产Th变变形后建立平衡方程形后建立平衡方程时时，可以，可以 不考不考虑虑因因变变形而引起的力作用形而引起的力作用线线方向的改方向的改变变；（2）在研究）在研究问题问题的的过过程中可以略去程中可以略去相相关的二次及二关的二次及二

10、次以上的高次以上的高阶阶微量；微量；哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院8/2701绪绪论论基本基本规规律：律：完成完成弹弹塑性力学任塑性力学任务务所要遵循的三个基所要遵循的三个基本本规规律（或律（或 应满应满足的三方面的条件）：足的三方面的条件）：静力平衡静力平衡规规律：律：固体受到外力与自身的内力要固体受到外力与自身的内力要满满足平衡方程，足平衡方程，在在弹弹性理性理论论中它中它们为们为微分方程。微分方程。几何几何连续规连续规律：律：要求要求变变形前形前连续连续的物体，的物体，变变形后仍形后仍为连续为连续物物 体，由体，由这这个个规规律建立几何方程或律建立几何方程或变变形形协调协调方程，

11、均方程，均为为 微分方程。微分方程。物理物理(本构本构)关系：关系：应应力力(内力内力)与与应变应变(变变形形)之之间间的关系，根据的关系，根据 材料的不同性材料的不同性质质来建立，最常来建立，最常见见的的为为各向同性材料。各向同性材料。平衡方程和几何方程都与材料无关，塑性力平衡方程和几何方程都与材料无关，塑性力 学与学与弹弹性力学的主要区性力学的主要区别别在于本构方程在于本构方程 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院9/2701绪绪论论第第3节节弹弹塑性力学的研究方法塑性力学的研究方法弹弹塑性力学与材料力学同属固体力学的分支，它塑性力学与材料力学同属固体力学的分支，它们们在在 分析分析问题

12、问题解决解决问题问题的基本思路上都是一致的，但在研究的基本思路上都是一致的，但在研究问问 题题的基本方法上各不相同。的基本方法上各不相同。(1)受力分析及静力平衡条件受力分析及静力平衡条件 (力的分析力的分析)(3)受力与受力与变变形形间间的本构关系的本构关系 (物理分析物理分析)(2)变变形分析及几何相容条件形分析及几何相容条件 (几何分析几何分析)哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院10/2701绪绪论论a、研究方法、研究方法较简单较简单粗糙；粗糙；b、涉、涉及数学理及数学理论较简单论较简单；材料力学研究材料力学研究问题问题的基本方法：的基本方法：选选一一维维构构 件件整整体体为为 研究

13、研究对对象象变变形形前前，在在某某表表 面面绘绘制制标标志志线线；变变形形后后，观观察察总总 结结构构件件表表面面变变形形 的的规规律律做出平截面做出平截面假假设设，经经三三方面分析，方面分析，解决解决问题问题c、材料力学的工程解答一般、材料力学的工程解答一般为为近似解。近似解。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院11/2701绪绪论论1、涉及数学理、涉及数学理论较论较复复杂杂，并以其理，并以其理论论与解法的与解法的严严密密性和普遍适用性性和普遍适用性为为特点；特点；2、弹弹塑性力学的塑性力学的工程解答一般工程解答一般认为认为是是精确的；精确的；弹弹塑性力学研究塑性力学研究问题问题的基本方法

14、：的基本方法：以受力物体以受力物体 内某一点内某一点（单单元体）元体）为为研究研究对对象象单单元体元体的受力的受力应应 力理力理论论；单单元体元体的的变变形形变变 形几何形几何理理论论；单单元体受力元体受力与与变变形形间间的关的关系系本构理本构理论论；建建立立起起普普遍遍适适 用用的的理理论论与与解解 法法3、可、可对对初等力学理初等力学理论论解答的精确度和可靠解答的精确度和可靠进进行度量。行度量。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院12/2701绪绪论论 工程力学一般研究方法工程力学一般研究方法工程力学解决工程力学解决问题问题的一般研究方法的一般研究方法类类似于似于一般科学研究的普遍方法，

15、可一般科学研究的普遍方法，可归纳为归纳为：对对系系统统进进行行抽抽 象象与与简简化化，建建 立力学模型立力学模型与与已已知知结结论论相相 比比较较，或或由由实实 验进验进行行验证验证提出提出问题问题，利用力学原理利用力学原理确确认认或或进进一步一步选择选择有关的有关的进进行分析、推行分析、推改善模型，深改善模型，深研究系研究系统统理，得出理，得出结论结论化化认识认识 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院13/2701绪绪论论按照方程中保留的未知量，求解方法可分按照方程中保留的未知量，求解方法可分为为 应应力法（以力法（以应应力力为为未知量）未知量）位移法（以位移法（以位移位移为为未知量）未知

16、量）混合法（以混合法（以应应力力+位移位移为为未知量）未知量）精确解法：采用数学分析的手段求得精确解精确解法：采用数学分析的手段求得精确解 近近似解法：最有效的是基于能量原理的似解法：最有效的是基于能量原理的变变分方法分方法 数数值值方法：有限元法，有限差分法，方法：有限元法，有限差分法，边边界元法等界元法等 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院14/2701绪绪论论第第4节节弹弹塑性力学的塑性力学的发发展梗概展梗概通通过实验过实验探索物体的受力与探索物体的受力与变变形之形之间间的关系：的关系：1678年英国科学家虎克年英国科学家虎克(R.Hooke)提出提出 了固体材料的了固体材料的弹弹性

17、性 变变形与所受外力成正比形与所受外力成正比虎克定律。虎克定律。1687年，牛年，牛顿顿确立运确立运动动三大定律。三大定律。弹弹性力学的理性力学的理论论基基础础建立期建立期18221828年，柯年，柯西西发发表了一系列表了一系列论论文文，明确提出了，明确提出了应应力力 和和应变应变的概念，建立了的概念，建立了弹弹性力学的平衡（运性力学的平衡（运动动）微分方程、）微分方程、几何方程和各向同性的广几何方程和各向同性的广义义虎克定律；虎克定律；1838年，格林年，格林用能量守用能量守恒恒定律定律证证明了各向异性体有明了各向异性体有21个独个独 立的立的弹弹性系数；性系数；1838年，年，汤汤母母逊逊

18、又用又用热热力力学第一定律和第二定律学第一定律和第二定律证证明明了同了同 样样的的结论结论，同，同时进时进一步一步 证证明了各向同性体有两个独立的明了各向同性体有两个独立的弹弹性性系数。系数。15/27哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院01绪绪论论线线性各向同性体性各向同性体弹弹性力学的性力学的发发展展时时期：期：1850年，基年，基尔尔霍夫解决了平板的平衡和震霍夫解决了平板的平衡和震动问题动问题；1855-1856年，圣年，圣维维南提出了局部性原理和半逆解法；南提出了局部性原理和半逆解法；1862年，艾里解决了年，艾里解决了弹弹性力学的平面性力学的平面问题问题；19世世纪纪70年代，建立

19、了各种能量原理，并提出年代，建立了各种能量原理，并提出了了这这些原些原 理的近似理的近似计计算方法。算方法。弹弹性力学分支及相关性力学分支及相关边缘边缘学科的形成和学科的形成和发发展展时时期：期：1907年，卡年，卡门门薄板的大薄板的大挠挠度度问题问题；1939年，卡年，卡门门和和钱钱学森提出了薄壳的非学森提出了薄壳的非线线性性稳稳定定问题问题；1937-1939年，莫年，莫纳汉纳汉和和毕毕奥提出了大奥提出了大应变问题应变问题；哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院16/2701绪绪论论弹弹性力学分支及相关性力学分支及相关边缘边缘学科形成、学科形成、发发展展时时期期(续续)：1948-1957

20、年，年，钱伟长钱伟长用用摄动摄动法求解了薄板的大法求解了薄板的大挠挠度度问题问题；1954年，胡海昌建立了三年，胡海昌建立了三类变类变量的广量的广义势义势能原理和广能原理和广义义 余能原理余能原理;1955年，年，鹫鹫津久一郎也独立的津久一郎也独立的导导出了出了这这一原理，一原理，后来称胡海昌后来称胡海昌-鹫鹫津久一郎津久一郎变变分原理。分原理。在在这这一一时时期期，薄薄壁壁构构件件和和薄薄壳壳构构件件的的线线性性理理论论有有了了较较大大发发 展展，还还形形成成了了诸诸如如厚厚板板和和厚厚壳壳理理论论、各各向向异异性性和和非非均均匀匀体体的的弹弹 性性力力学学、热热弹弹性性力力学学、粘粘弹弹性

21、性理理论论、水水弹弹性性理理论论以以及及气气动动弹弹性性 力力学学等等新新的的分分支支和和边边缘缘学学科科；相相继继提提出出了了诸诸如如差差分分法法、有有限限单单 元元法法、边边界界元元法法、半半解解析析数数值值法法以以及及加加权权残残值值法法等等数数值值方方法法和和 半解析半数半解析半数值值的方法。的方法。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17/2701绪绪论论弹弹塑性力学塑性力学发发展展时时期：期：1773年，年，Coulomb提出提出Coulomb屈服屈服准准则则，后来推广，后来推广 为为Mohr-Coulomb屈服准屈服准则则。1857年，朗肯研究了半无限体的极限平衡，提出了滑移年

22、，朗肯研究了半无限体的极限平衡，提出了滑移面的概念。面的概念。1903年，年，Kotter建立了滑移建立了滑移线线方法。方法。1929年年，Fellenius提出了极提出了极限平衡法。限平衡法。19世世纪纪50年代初，年代初，Drucker提出提出Drucker塑性公塑性公设设，对稳对稳定定 材料，材料，证证明了塑性明了塑性应变应变增量与屈服面的正交性，并提出相关增量与屈服面的正交性，并提出相关 联联流流动规则动规则的概念。的概念。19521955年，年，Drucker和和Prager等人等人发发展了极限分析方展了极限分析方 法。法。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院18/2701绪绪论论

23、1957年年，Drucker等等提提出出了了静静水水压压力力会会使使岩岩土土材材料料产产生生屈屈 服的概念。服的概念。19581963年，年，Roscoe提出了土的提出了土的临临界状界状态态概念，并建概念，并建立立了了剑剑桥桥模模型型，从从理理论论上上阐阐明明了了正正常常固固结结粘粘土土和和微微超超固固结结粘粘 土土土土体体弹弹塑塑性性变变形形特特性性，开开创创了了建建立立土土体体的的实实用用模模型型的的新新阶阶 段。段。1969年年，Roscoe等等人人出出版版了了临临界界状状态态土土力力学学专专著著，这这 是是世世界界上上第第一一本本关关于于岩岩土土塑塑性性理理论论的的专专著著，详详细细研

24、研究究了了土土的的 实实用模型。用模型。1982年，年，Desai等人也出版了一本工程材料本构定律等人也出版了一本工程材料本构定律专专著著，进进一一步步阐阐明明了了岩岩土土材材料料变变形形机机制制，形形成成了了较较系系统统的的岩岩 土塑性力学。土塑性力学。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院19/2701绪绪论论1982年，年，Zienkiewicz提出了广提出了广义义塑性力学的概念，指出岩塑性力学的概念，指出岩 土塑性力学是土塑性力学是传统传统塑性的推广。塑性的推广。20世世纪纪80年代的国内，年代的国内，清清华华模型、模型、“南水南水”模型及其他双模型及其他双 屈服面模型和多重屈屈服面模

25、型和多重屈服面相服面相继继出出现现。阐阐明了明了应应力、力、应变应变的概念和理的概念和理论论；弹弹性性力力学学和和弹弹塑塑性力性力学的学的基本基本理理论论框框架得以确立架得以确立。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院20/2701绪绪论论现现代代力力学学的的发发展展及及其其特特点点材料与材料与对对象象：金属、土木石等 新型复合材料、高分子材料、结构陶瓷、功能材料。尺尺 度度：宏观、连续体 含缺陷体，细、微观、纳米尺度。实验实验技技术术：电、光测试实验技术 全息、超声、光纤测量，及实验装置的大型化。1、现现代力学的代力学的发发展展 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院21/2701绪绪论论应

26、应用用领领域：航空、土木、机械、材料域：航空、土木、机械、材料生命、微生命、微电电 子技子技术术等。等。设计设计准准则则：静：静强强度、断裂控制度、断裂控制设计设计、抗疲、抗疲劳设劳设 计计、刚刚度度设计设计 损伤损伤容限容限设计设计、结结构构优优化化 设计设计、耐久性、耐久性设计设计和可靠性和可靠性设计设计等。等。设计设计目目标标：保：保证结证结构与构件的安全和功能构与构件的安全和功能 设计设计制造制造使用使用维护维护的的综综合性分析合性分析与控制，功能与控制，功能安全安全经济经济的的综综合性合性评评价，价，自感知、自激励、自适自感知、自激励、自适应应（甚至自（甚至自诊诊断、自修复）断、自修

27、复）的智能的智能结结构。构。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院22/2701绪绪论论 引引进进新的科学技新的科学技术术成果，内容更加丰富：成果，内容更加丰富：新材料复合材料、聚合物等；新材料复合材料、聚合物等；新概念失效、寿命等；新概念失效、寿命等；新理新理论论损伤损伤、混沌等；、混沌等；新方法数新方法数值值方法、工程力学建模方法。方法、工程力学建模方法。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院23/2701绪绪论论2现现代力学的特点代力学的特点与与计计算机算机应应用相用相结结合，与其他基合，与其他基础础或技或技术术学科学科 相互相互结结合与渗透。合与渗透。计计算机算机应应用用：计计算力学算

28、力学+计计算机算机应应用用解决复解决复杂杂、(60年代年代)困困难难的工程的工程实际问题实际问题。使工程结构分析技术；（结合CAD技术）监测、控制技术（如振动监测、故障诊断）；工程系统动态过程的计算机数值仿真技术；广泛应用至各工程领域。材料材料设计设计：按所要求的性能按所要求的性能设计设计材料。材料。(90年代年代)哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院24/2701绪绪论论智智能能结结构构：90年年代代开开始始，力力学学与与材材料料、控控制制（包包括括 传传感感与与激激励励）、计计算算机机相相结结合合，研研究究发发展展面面向向21世世纪纪 的、具有的、具有“活活”的功能的智能的功能的智能结结

29、构。构。Th物力学：物力学：(70年代年代冯冯元元祯祯博士博士)生物材料力学性能、生物材料力学性能、微循微循环环、定量生理学、心血管系、定量生理学、心血管系 统临统临床床问题问题和生物和生物医学工程等。医学工程等。“没有生物力学，就不能很好地了解没有生物力学，就不能很好地了解生理学。生理学。”哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院25/2701绪绪论论参考参考资资料：料：应应用用弹弹塑性力学塑性力学徐秉徐秉业业 弹弹性力学（上、下册）性力学（上、下册）徐芝徐芝伦伦弹弹性力学性力学 塑性力学塑性力学杨杨桂通桂通 夏志皋夏志皋工程工程弹弹塑性力学塑性力学 岩土塑岩土塑性力学原理性力学原理 弹弹性理

30、性理论论 弹弹性理性理论论基基础础孙孙炳楠等炳楠等 郑颖郑颖人人 铁铁木辛柯木辛柯 陆陆明万明万End哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院26/2701绪绪论论1.1 张张量概念量概念 任一物理任一物理现现象都是按照一定的客象都是按照一定的客观规观规律律进进行的，它行的，它们们是是 不以人不以人们们的意志的意志为转为转移的。移的。分析研究物理分析研究物理现现象的方法和工具的象的方法和工具的选选用与人用与人们们当当时对时对客客 观观事物的事物的认识认识水平有关，会影响水平有关，会影响问题问题的求解与表述。的求解与表述。张张量分析是研究固体力学、流体力学及量分析是研究固体力学、流体力学及连续连续

31、介介质质力学的力学的 重要数学工具。重要数学工具。张张量分析具有高度概括、形式量分析具有高度概括、形式简洁简洁的特点。的特点。所有与坐所有与坐标标系系选选取无关的量，取无关的量，统统称称为为物理恒量物理恒量。第第1节节张张量概念及其基本运算量概念及其基本运算 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院27/4801绪绪论论 在在一一定定单单位位制制下下，只只需需指指明明其其大大小小即即足足以以被被说说明明的的物物 理理量量，统统称称为为标标量量（Scalar）。例例如如温温度度、质质量量、功功 等，在坐等，在坐标变换时标变换时其其值值保持不保持不变变的量，即的量，即满满足足(x1,x2,x3)(x

32、1,x2,x3)在在一一定定单单位位制制下下，除除指指明明其其大大小小还还应应指指出出其其方方向向的的物物 理量，称理量，称为为矢量矢量（Vector）。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。标标量量只只需需一一个个量量就就可可确确定定，而而矢矢量量则则需需三三个个分分量量来来确确 定。定。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院28/4801绪绪论论 若我若我们们以以r 表示表示维维度（如三度（如三维维空空间间），以），以n 表示表示阶阶数，数，则则描述一切物理恒量的分量数目描述一切物理恒量的分量数目M 可可统统一地表示成：一地表示成：M r n统统一称一称这这些物理量些物理量为张为张量（量

33、（Tensor）。当当n=0时时，零，零阶张阶张量，量，M=1，标标量；量；当当n=1时时，一，一阶张阶张量，量，M=31，矢量；，矢量；当当n=2时时，二，二阶张阶张量，量，M=32，矩，矩阵阵；当取当取 n 时时，n 阶张阶张量，量，M=3n。二二阶阶以上的以上的张张量已不可能在三量已不可能在三维维空空间间有明有明显显直直观观的几的几 何意何意义义，但它做，但它做为为物理恒量，其分量物理恒量，其分量间间可由坐可由坐标变换标变换29/48关系式来解关系式来解释释、定、定义义。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院01绪绪论论由一由一组组坐坐标标系系变换变换到另一到另一组组坐坐标标系系时时，研

34、究，研究对对象的分量象的分量 若能按照一定若能按照一定规规律律变变化，化，则则称称这这些分量的集合些分量的集合为为张张量量。张张量定量定义义设设（a1,a2,a3）、（b1,b2,b3）、（s1,s2,s3）是是矢矢 量量，Ti1i2in是是与与坐坐标标选选择择有有关关的的3n个个独独立立变变量量，若若当当 坐坐标变换时标变换时，n一次式一次式3 33F .Ti i .i ai bi .si1 2 n 1 2ni1 1 i2 1 in 1保保持持不不变变，则则取取决决于于脚脚标标的的3n个个量量Ti1i2in 的的集集合合称称 为为 n 阶张阶张量量，其中每个元素称，其中每个元素称为为此此张张

35、量的量的分量分量。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院30/4801绪绪论论1.2 指指标记标记法法 在在张张量量的的讨讨论论中中，都都采采用用下下标标字字母母符符号号，来来表表示示和和区区 别该张别该张量的所有分量。量的所有分量。不不重重复复出出现现的的下下标标符符号号称称为为自自由由标标号号。自自由由标标号号在在其其 方方程程内内只只罗罗列列不不求求和和。以以自自由由标标号号的的数数量量确确定定张张量量的的 阶阶次。次。重重复复出出现现，且且只只能能重重复复出出现现一一次次的的下下标标符符号号称称为为哑哑标标 号号或或假假标标号号。哑标哑标号在其方程内先号在其方程内先罗罗列，再求和。列，

36、再求和。如如不不特特意意说说明明，今今后后张张量量下下标标符符号号的的变变程程，仅仅限限于于三三 维维空空间间，即，即变变程程为为3。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院31/4801绪绪论论矢量矢量V 的方式表示：的方式表示：vi 代表矢量代表矢量V 的所有分量，的所有分量，即当即当V 写作写作vi 时时，指，指标标的的值值从从1到到3 变变化。化。V (v1,v2,v3)3i 1 v1e1 v2e2 v3e2 viei vi1ee2e3x1f(X)f(xi)=f(xj)=f(x1,x2,x3)x2x3 o1 2 3P v,v,vVV1V2V3 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院32/

37、4801绪绪论论aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3i 13aijbj aijbj ai1b1 ai 2b2 ai 3b3i 1 j 1j 13 3aijbicj aijbicj a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3a21b2c1 a22b2c2 a33b2c3a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3展开式展开式（3项项）展开式展开式（9项项）3 3 3aijk xi x j xk aijk xi x j xk展开式展开式（27项项）1.3 求和求和约约定定关于关于哑标哑标号号应应理解理解为为取其取其变变程程N内所有数内所有数值值，然后再，然后再 求和，求和，这这就

38、叫做求和就叫做求和约约定。定。333/48i 1 j 1 k 1哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院01绪绪论论3ii ii1122 33j 1a2 a2 a2 a2 a2 2322 aa(a a a )i 1 ii ii 1122 333 3 ij ij ij ij i 1 j 1 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院34/4801绪绪论论aibi xi关于下关于下标标的的约约定可以定可以总结为总结为以下三条以下三条规则规则：1.如果在一个方程或表达式的一如果在一个方程或表达式的一

39、项项中，一种下中，一种下标标只出只出现现一次，一次，则则称之称之为为自由指自由指标标，这这种自由指种自由指标标在表达式或方程的每一在表达式或方程的每一 项项中必中必须须只出只出现现一次。一次。2.如如果果在在一一个个表表达达式式或或方方程程的的一一项项中中，一一种种指指标标正正好好出出现现两两 次次，则则称称之之为为哑哑标标，它它表表示示从从1到到3求求和和。哑哑标标在在其其他他任任何何 项项中可以中可以刚刚好出好出现现两次，也可以不出两次，也可以不出现现。3.如果在一个表达式或方程的一如果在一个表达式或方程的一项项中，一种指中，一种指标标出出现现的次数的次数 多于两次，多于两次，则则是是错误

40、错误的。的。n是是违约违约的，求和的，求和时时要保留求和号要保留求和号 aibi xii1 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院35/4801绪绪论论例例题题：利用求和利用求和约约定定缩缩写下面写下面线线性方程性方程组组a11x1 a12 x2 a13 x3 b1a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31x1 a32 x2 a33 x3 b3解：作解：作为为第一步第一步缩缩写，可以写成：写，可以写成：a1 j xj b1a2 j xj b2a3 j xj b3最后可以最后可以缩缩写写为为：aij x j bi其中其中i 称称为为自由自由标标，j 称称为哑标为哑标。哈工大哈工大 土木

41、工程学院土木工程学院36/4801绪绪论论例例题题：描述描述Cij=AikBjk的意的意义义。解：解：Cij=AikBjk，则则表明表明i，j为为自由指自由指标标，k 为哑标为哑标表示表示9个方程：个方程：C11 A1k B1k A11B11 A12 B12 A13B13 C12 A1k B2k A11B21 A12 B22 A13B23 C13 A1k B3k A11B31 A12 B32 A13B33C21 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23B13C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33B33哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院37/4801绪绪论论

42、关于求和关于求和标标号（号（哑标哑标）说说明：明：由于由于哑哑指指标标在求和之后就不再出在求和之后就不再出现现，所以，所以哑哑指指标标字字 母可母可以任意改以任意改变变。2222ii1122 33a a a a22ii1122 33(a )(a a a)ororS ai xi aj xj ak xk 求和求和约约定只适用于字母定只适用于字母标标号，不适用于数字号，不适用于数字标标号。号。在运算中，括号内的求和在运算中，括号内的求和标标号号应应在在进进行其它运算前就行其它运算前就 先求和。先求和。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院38/4801绪绪论论规规定定：出出现现双双重指重指标标但不求

43、和但不求和时时，在指，在指标标下方加下方加划划线线 以示区以示区别别，或用文字，或用文字说说明（如明（如 i 不求和）。不求和）。Ri Ci Ei Ci Ei这这里里 i 相相当当于于一一个个自自由由指指 标标，而而 i 只只是是在在数数值值上上等等 于于 i，并不与，并不与 i 求和。求和。例外情况例外情况R1 C1E1R2 C2 E2R3 C3 E3 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院39/4801绪绪论论又如，又如，方程方程2221231 1 12 2 23 3 3 用指用指标标法表示，可写成法表示，可写成 i i i i i i i i i i ii 不参与求和，只在数不参与求和，

44、只在数值值上等于上等于 i 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院40/4801绪绪论论关于自由关于自由标标号：号：在同一方程式中，各在同一方程式中，各张张量的自由量的自由标标号相同，即同号相同，即同阶阶且且 标标号字母相同。号字母相同。aij x j bi 自由自由标标号的数量确定了号的数量确定了张张量的量的阶阶次。次。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院41/4801绪绪论论ijij 0 0 1 1,当 i j 时；或：0 1 0 0,当 i j 时；ijvj=vi 即在将即在将 ij 应应用于用于vj 只是将只是将vj中的中的j 用用i 置置换换；对对于于单单位矢量，点位矢量，点积积e

45、iej=ij；其其他他关于关于Kronecker符符号的描述可以参考号的描述可以参考孙孙炳楠的工程炳楠的工程弹弹 塑性力学及相关塑性力学及相关张张量的其他文献。量的其他文献。1.4 Kronecker delta（ij）符号）符号 ij是是张张量分析中的一个基本符号称量分析中的一个基本符号称为为柯氏符号，亦称柯氏符号，亦称单单 位位张张量量,也叫置也叫置换换算子算子.其定其定义为义为：1 0 0 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院42/4801绪绪论论 ij 的作用与的作用与计计算示例：算示例：(1)ii 11 22 33 3(2)()2 ()2 ()2 3ij ij112233(3)ij

46、 jk i1 1k i 2 2k i 3 3k ik(4)aij ij a11 11 a22 22 a33 33 aii(5)ai ij a1 1 j a2 2 j a3 3 j aj(即a1,或a2,或a3)(6)ij l j li ij l j ijl j (ij ij)l j 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院43/4801绪绪论论若若e1，e2，e3是相互垂直的是相互垂直的单单位矢量，位矢量，则则ei ej=ijei ei =e1 e1+e2 e2+e3 e3=11 22 33 3ei ei =ii注意：注意：ii是一个数是一个数值值（3）ij的作用：的作用：1）换换指指标标；2）

47、选择选择求和。求和。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院44/4801绪绪论论例例3：特特别别地地例例1：完成脚完成脚标变换标变换 AiAk ki Ai kk Ak Ak思路：把要被替思路：把要被替换换的指的指标标 i 变变成成哑标哑标，哑标哑标能用能用 任意字母，因此可用任意字母，因此可用变换变换后的字母后的字母 k 表示。表示。例例2：完成完成变换变换 TkjTij ikTkj iiTij Tij ik kj ij ik kj jm imAmi Bnj 代表代表34=81个数，求个数，求 m=n时时各各项项的和。的和。mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj哈工大哈工大 土木

48、工程学院土木工程学院45/4801绪绪论论张张量的运算法量的运算法则则与矢量相与矢量相类类似。似。如：如：张张量相等即量相等即对应对应分量相等；分量相等；张张量相加即量相加即对应对应分量相加；分量相加；张张量相乘构成一个量相乘构成一个阶阶数是原数是原张张量的量的阶阶数之和的新数之和的新张张量；量；n 阶张阶张量量缩缩并后并后变为变为n-2 阶张阶张量等等。量等等。1.5 张张量的基本运算量的基本运算 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院46/4801绪绪论论A、张张量的加减：量的加减：凡是同凡是同阶阶的的张张量可以相加（减），并得到同量可以相加（减），并得到同阶阶的的张张量，量，它的分量等于

49、原来它的分量等于原来张张量中量中标标号相同的号相同的诸诸分量之代数和。分量之代数和。aij bij cij若若 a 为为一矢量，一矢量，则则 (T S)a=T a S a其分量其分量为为：(T S)i j =ei (T S)ej=ei T ej ei S ej=Ti j Si j其矩其矩阵阵形式形式为为：T S T S 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院47/4801绪绪论论 一一个个张张量量在在一一个个坐坐标标系系中中的的所所有有分分量量都都为为0，则则在在所所 有坐有坐标标系中的所有分量都系中的所有分量都为为0。这这个个论论述述在在减减少少数数学学和和物物理理证证明明方方面面很很有有帮

50、帮助助，如如：要要考考 虑虑Fi 导导致致的的应应力力 ij，以以后后将将证证明明，为为满满足足平平衡衡 ij,j=Fi，现现将它重写将它重写为为Di=ij,jFi=0因因为为Di 是是零矢零矢量，因此只需在一个坐量，因此只需在一个坐标标系中系中证证明即可。明即可。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院48/4801绪绪论论B、张张量的乘量的乘积积（相当于叉乘）（相当于叉乘）张张量量A 的每一个分量乘以的每一个分量乘以张张量量B 中的每一个分量所中的每一个分量所组组成的集成的集 合仍然是一个合仍然是一个张张量，称量，称为积张为积张量。量。积张积张量的量的阶阶数等于因子数等于因子张张量量阶阶数之