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1、平稳时间序列模型及其特征平稳时间序列模型及其特征第1页，共45页，编辑于2022年，星期六2第一节 模型类型及其表示一、预备知识一、预备知识第2页，共45页，编辑于2022年，星期六3v一阶差分(相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算)v 阶差p分 v 步差k分对1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分2xt=xt-xt-1依此类推，对p-1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为p阶差分第3页，共45页，编辑于2022年，星期六42.滞后算子滞后算子v滞后算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个滞后算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻 v记B为滞后算子，有
2、第4页，共45页，编辑于2022年，星期六5v v v v v ，其中 第5页，共45页，编辑于2022年，星期六6v线性差分方程v齐次线性差分方程第6页，共45页，编辑于2022年，星期六7 v特征方程v特征方程的根称为特征根，记作v齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合复根场合第7页，共45页，编辑于2022年，星期六8第8页，共45页，编辑于2022年，星期六9vAR（p）模型：vMA（q）模型：vARMA（p，q）模型：第9页，共45页，编辑于2022年，星期六10二、自回归模型v一阶自回归模型一阶自回归模型AR（1）第10页，共45页，编辑于2022年，星期六11第11
3、页，共45页，编辑于2022年，星期六12v AR（1）模型的特例）模型的特例随机游动随机游动 第12页，共45页，编辑于2022年，星期六13随机游动模型有以下特征：v1）模型有非常强的一期记忆性。v2）系统的一步超前预测 。v3）与AR（1）模型类似，随机游动模型可以写成 ，可以看出噪声对yt的影响并不随着时间的推移而减弱。第13页，共45页，编辑于2022年，星期六14v一般自回归模型一般自回归模型模型的特点有：第14页，共45页，编辑于2022年，星期六15三、移动平均模型v一阶滑动平均模型一阶滑动平均模型MA（1）v用用MA（1）模型作预测，那么得到的预测值仅仅）模型作预测，那么得到
4、的预测值仅仅取决于上期系统的随机扰动项。取决于上期系统的随机扰动项。第15页，共45页，编辑于2022年，星期六16q阶滑动平均模型MA（q）v有限个白噪声的和总是平稳的，因此通常MA（q）模型是平稳的。v如果对该模型作向前一步预测，则有 第16页，共45页，编辑于2022年，星期六17四、自回归移动平均模型第17页，共45页，编辑于2022年，星期六18第18页，共45页，编辑于2022年，星期六19v当q=0时，ARMA（p，0）模型就是AR（p）模型，当p=0时，ARMA（0，q）模型就是MA（q）模型，因此自回归模型和移动平均模型都是ARMA（p，q）模型的特例。第19页，共45页，编
5、辑于2022年，星期六20第二节 格林函数和平稳性v一、一、ARMA（p，q）的格林函数）的格林函数v（一）（一）ARMA（p，0）系统的格林函数）系统的格林函数v 若一个系统被表示为若一个系统被表示为yt=，则系数，则系数函数称为格林函数或记忆函数。函数称为格林函数或记忆函数。第20页，共45页，编辑于2022年，星期六21 MA（q）过程格林函数为 AR(P)AR（P）过程格林函数为第21页，共45页，编辑于2022年，星期六22ARMA（p，q）的格林函数第22页，共45页，编辑于2022年，星期六23例例2 求模型求模型 的格林函数的格林函数v对比等式左右两边有v因此模型的格林函数 第
6、23页，共45页，编辑于2022年，星期六24第24页，共45页，编辑于2022年，星期六25二、系统的平稳性v（一）（一）AR(p)系统的平稳性条件系统的平稳性条件平稳域：第25页，共45页，编辑于2022年，星期六26例例3 求一阶自回归模型求一阶自回归模型 的平稳域的平稳域v解：即平稳域为：第26页，共45页，编辑于2022年，星期六27例例4 求二阶自回归模型求二阶自回归模型 的平稳域的平稳域v解：特征方程v需满足：v即：第27页，共45页，编辑于2022年，星期六28(二)ARMA(p,q)系统的平稳性条件vARMA模型平稳性完全取决于模型中的AR部分，如果模型中的AR部分是平稳的，
7、则ARMA模型是平稳的。第28页，共45页，编辑于2022年，星期六29 第三节第三节 逆函数和可逆性v一、一、MA（q）模型的可逆域）模型的可逆域v逆函数形式逆函数形式:vI（B）称为逆函数）称为逆函数第29页，共45页，编辑于2022年，星期六30第30页，共45页，编辑于2022年，星期六31例例5 判断判断MA（2）模型模型 是否可逆是否可逆v解：特征方程，v可逆域为：v 满足可逆条件，因此可逆。第31页，共45页，编辑于2022年，星期六32二、MA（q）模型的逆函数第32页，共45页，编辑于2022年，星期六33例例6 求模型求模型 的逆函数的逆函数v解：第33页，共45页，编辑于
8、2022年，星期六34三、ARMA（p，q）的可逆域与逆函数第34页，共45页，编辑于2022年，星期六35第四节 平稳时间序列的统计特征v一、自相关函数一、自相关函数第35页，共45页，编辑于2022年，星期六36第36页，共45页，编辑于2022年，星期六37第37页，共45页，编辑于2022年，星期六38第38页，共45页，编辑于2022年，星期六39v（二）（二）MA（q）的自相关函数）的自相关函数第39页，共45页，编辑于2022年，星期六40第40页，共45页，编辑于2022年，星期六41二、偏相关函数 第41页，共45页，编辑于2022年，星期六42第42页，共45页，编辑于20
9、22年，星期六43Yule-Wolker方程：方程：第43页，共45页，编辑于2022年，星期六44偏相关函数：偏相关函数：第44页，共45页，编辑于2022年，星期六45本章小结v1AR模型、MA模型和ARMA模型是三种基本的线性时间序列模型，能够用有限的参数刻画系统的动态性。这三种模型属于随机差分方程，因此特征方程对研究三类模型的统计特性具有重要意义。v2AR模型的逆函数表示是指用无限阶的MA模型来表示有限阶的AR模型，格林函数就是无限阶MA模型的系数。AR模型平稳性条件是 的根在单位圆外或者特征方程的根在单位内，满足这个范围的自回归系数区域构成平稳域。v3将有限阶MA模型表示为无限阶AR模型，就得到MA模型的逆转形式。MA模型具有可逆性的条件是 的根在单位圆外或者特征方程的根在单位内。MA模型的格林函数与AR模型的格林函数在形式上是一致的。v4ARMA模型的平稳性取决于其中AR部分是否平稳，ARMA模型的可逆性取决于模型中的MA部分是否可逆。v5AR模型的自相关函数拖尾，偏自相关函数截尾，MA模型的自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾，ARMA（p，q）的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的。第45页，共45页，编辑于2022年，星期六