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1、应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材1第二章 平稳时间序列模型及其特征v在本章，我们介绍平稳时间序列的三种主要类型的模型，AR模型、MA模型、ARMA模型，这三种模型都是线性模型，它们能用有限的参数刻画时间序列的动态性。尽管线性关系的假定在解决实际问题时是一个比较苛刻的条件，但无疑它是理论研究的基础。这三种模型是最基本的时间序列模型之一，对这三种模型性质的研究有助于研究更为复杂的时间序列模型。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材2第一节 模型类型及其表示一、预备知识一、预备知识应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材3v一阶差分(相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算)v
2、阶差p分 v 步差k分对1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分2xt=xt-xt-1依此类推，对p-1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为p阶差分应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材42.滞后算子滞后算子v滞后算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个滞后算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻 v记B为滞后算子，有 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材5v v v v v ，其中 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材6v线性差分方程v齐次线性差分方程应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材7 v特征方程v特征方程的根称为特征根，记作v齐次线性差分方程的通解不
3、相等实数根场合有相等实根场合复根场合应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材8应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材9vAR（p）模型：vMA（q）模型：vARMA（p，q）模型：应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材10二、自回归模型v一阶自回归模型一阶自回归模型AR（1）应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材11应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材12v AR（1）模型的特例）模型的特例随机游动随机游动 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材13随机游动模型有以下特征：v1）模型有非常强的一期记忆性。v2）系统的一步超前预测 。v3）与AR（1）模型类似，随机游动模型可以写成
4、，可以看出噪声对yt的影响并不随着时间的推移而减弱。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材14v一般自回归模型一般自回归模型模型的特点有：应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材15三、移动平均模型v一阶滑动平均模型一阶滑动平均模型MA（1）v用用MA（1）模型作预测，那么得到的预测值仅仅）模型作预测，那么得到的预测值仅仅取决于上期系统的随机扰动项。取决于上期系统的随机扰动项。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材16q阶滑动平均模型MA（q）v有限个白噪声的和总是平稳的，因此通常MA（q）模型是平稳的。v如果对该模型作向前一步预测，则有 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材17四、自
5、回归移动平均模型应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材18应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材19v当q=0时，ARMA（p，0）模型就是AR（p）模型，当p=0时，ARMA（0，q）模型就是MA（q）模型，因此自回归模型和移动平均模型都是ARMA（p，q）模型的特例。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材20第二节 格林函数和平稳性v一、一、ARMA（p，q）的格林函数）的格林函数v（一）（一）ARMA（p，0）系统的格林函数）系统的格林函数v 若一个系统被表示为若一个系统被表示为yt=，则系数，则系数函数称为格林函数或记忆函数。函数称为格林函数或记忆函数。应用时间序列分析”十一五“
6、国家级规划教材21 MA（q）过程格林函数为 AR(P)AR（P）过程格林函数为应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材22ARMA（p，q）的格林函数应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材23例例2 求模型求模型 的格林函数的格林函数v对比等式左右两边有v因此模型的格林函数 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材24应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材25二、系统的平稳性v（一）（一）AR(p)系统的平稳性条件系统的平稳性条件平稳域：应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材26例例3 求一阶自回归模型求一阶自回归模型 的平稳域的平稳域v解：即平稳域为：应用时间序列分析”十一五“国家级
7、规划教材27例例4 求二阶自回归模型求二阶自回归模型 的平稳域的平稳域v解：特征方程v需满足：v即：应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材28(二)ARMA(p,q)系统的平稳性条件vARMA模型平稳性完全取决于模型中的AR部分，如果模型中的AR部分是平稳的，则ARMA模型是平稳的。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材29 第三节第三节 逆函数和可逆性v一、一、MA（q）模型的可逆域）模型的可逆域v逆函数形式逆函数形式:vI（B）称为逆函数）称为逆函数应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材30应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材31例例5 判断判断MA（2）模型模型 是否可逆是否可
8、逆v解：特征方程，v可逆域为：v 满足可逆条件，因此可逆。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材32二、MA（q）模型的逆函数应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材33例例6 求模型求模型 的逆函数的逆函数v解：应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材34三、ARMA（p，q）的可逆域与逆函数应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材35第四节 平稳时间序列的统计特征v一、自相关函数一、自相关函数应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材36应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材37应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材38应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材39v（二）（二）MA（q
9、）的自相关函数）的自相关函数应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材40应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材41二、偏相关函数 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材42应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材43Yule-Wolker方程：方程：应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材44偏相关函数：偏相关函数：应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材45本章小结v1AR模型、MA模型和ARMA模型是三种基本的线性时间序列模型，能够用有限的参数刻画系统的动态性。这三种模型属于随机差分方程，因此特征方程对研究三类模型的统计特性具有重要意义。v2AR模型的逆函数表示是指用无限阶的MA模型来
10、表示有限阶的AR模型，格林函数就是无限阶MA模型的系数。AR模型平稳性条件是 的根在单位圆外或者特征方程的根在单位内，满足这个范围的自回归系数区域构成平稳域。v3将有限阶MA模型表示为无限阶AR模型，就得到MA模型的逆转形式。MA模型具有可逆性的条件是 的根在单位圆外或者特征方程的根在单位内。MA模型的格林函数与AR模型的格林函数在形式上是一致的。v4ARMA模型的平稳性取决于其中AR部分是否平稳，ARMA模型的可逆性取决于模型中的MA部分是否可逆。v5AR模型的自相关函数拖尾，偏自相关函数截尾，MA模型的自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾，ARMA（p，q）的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的。