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1、 余子式、代数余子式余子式、代数余子式 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 范德蒙范德蒙(Yandermonde)行列式行列式第三节第三节 行列式按行行列式按行(列列)展开展开引例引例一、余子式、代数余子式余子式、代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如定义定义引理引理 若一个若一个n 阶行列式中第阶行列式中第i 行所有元素除行所有元素除外都为零（记作外都为零（记作 ），则这行列式等于），则这行
2、列式等于二、行列式与代数余子式的关系行列式与代数余子式的关系与其代数余子式的乘积，即与其代数余子式的乘积，即这是上例中当这是上例中当 时的特殊情况时的特殊情况,故有故有得得再看一般情形，此时再看一般情形，此时中的余子式中的余子式故得故得于是有于是有定理定理 n 阶行列式阶行列式 等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)的各元素与其对的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即 或或 证证 由行列式的性质及引理，有由行列式的性质及引理，有 这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用这一法则并结合行列式的这一法则并结合行列式的 性质，
3、可简化行列式的计算。性质，可简化行列式的计算。例例 计算行列计算行列式式解解例例 计算行列式计算行列式注意注意 直接利用定理未必简化计算，因为把一个直接利用定理未必简化计算，因为把一个n 阶行列式的计算化成阶行列式的计算化成n 个个(n-1)阶行列式的计算并阶行列式的计算并不减少工作量，但是，当行列式中某一行（列）不减少工作量，但是，当行列式中某一行（列）含有较多零时，定理便显出了优势。含有较多零时，定理便显出了优势。此外，该定理在理论推导上很有用。此外，该定理在理论推导上很有用。元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即之和等于零，即或
4、或推论推论n 阶行列式阶行列式 某一行（列）的某一行（列）的证证 考虑行列式考虑行列式相同相同仅有第仅有第 j 行不同，因此行不同，因此 的第的第j 行元素的行元素的代数余子式与代数余子式与 D 的第的第j 行对应元素的代数余子式行对应元素的代数余子式相同相同.按第按第 j 行展开即得行展开即得将将上述证法如按列进行，即可得上述证法如按列进行，即可得 由于由于 中有两行相同中有两行相同综合上述定理及推论，综合上述定理及推论，得得代数余子式的重要性质代数余子式的重要性质解：因第二行各元素与第一行各元素的代数余子式乘积之和为0 即则而例例 对于行列式对于行列式 证证用用数学归纳法数学归纳法例例证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式余子式和代数余子式关系余子式和代数余子式关系行列式与代数余子式的关系行列式与代数余子式的关系范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式小小 结结练练习习？答案：答案：-10368求求第一行各元素的代数余子式之和第一行各元素的代数余子式之和思思考考题题思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成