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1、第三节绝对收敛与条件收敛第1页，本讲稿共18页一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法1、定义、定义:正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数.莱布尼茨定理只能用来判定莱布尼茨定理只能用来判定交错交错级数级数.第2页，本讲稿共18页证明证明满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.第3页，本讲稿共18页收敛收敛收敛收敛收敛收敛上述级数上述级数各项取绝对值后各项取绝对值后所成的级数是否收敛所成的级数是否收敛?发散发散收敛收敛收敛收敛例例1 1 用用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:第4页，本讲稿共18页解解故原级数收敛故
2、原级数收敛.第5页，本讲稿共18页3、三点说明三点说明:(1)满足条件满足条件(i)(ii)的交错级数为的交错级数为莱布尼茨型莱布尼茨型级数级数.(2)两个条件两个条件(i)(ii)是是交错级数收敛的充分条件交错级数收敛的充分条件.若不满足条件若不满足条件(ii),则则交错级数交错级数必发散必发散.若不满足条件若不满足条件(i),交错级数交错级数未必发散未必发散.例如例如收敛收敛.(3)应用应用莱布尼茨定理判断莱布尼茨定理判断交错级数交错级数敛散性敛散性必须验证这两必须验证这两个条件个条件,缺一不可缺一不可.第6页，本讲稿共18页练习：练习：判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性.收敛收敛收
3、敛收敛收敛收敛发散发散第7页，本讲稿共18页二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛1 1、定义定义:一般项为任意实数的级数称为一般项为任意实数的级数称为任意项级数任意项级数.证明证明定理的作用定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数第8页，本讲稿共18页级数级数绝对绝对收敛收敛;则则 (1)当当 0 1 时时,(2)当当 1 时时,级数发散级数发散;(3)当当 1 时时,级数敛散性需另行判定级数敛散性需另行判定.定理定理(Page244)说明说明:第9页，本讲稿共18页解解故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛.例例1 1 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性.若收敛若收敛,指出是
4、条件收敛指出是条件收敛还是绝对收敛还是绝对收敛.故原级数发散故原级数发散.故原级数发散故原级数发散.第10页，本讲稿共18页(1)当当 p 0 时时,级数发散级数发散;(2)当当 01 时时,级数绝对收敛级数绝对收敛.(1)当当 0 x 1 时时,级数发散级数发散.(绝对收敛绝对收敛)第11页，本讲稿共18页(A)发散发散.(B)条件收敛条件收敛.(C)绝对收敛绝对收敛.(D)敛散性与敛散性与 k 有关有关.B(条件收敛条件收敛)(条件收敛条件收敛)第12页，本讲稿共18页解解(1)当当 p 0 时时,故级数发散故级数发散.(2)当当 p 0时时,当当 p 1 时时,故级数绝对收敛故级数绝对收
5、敛.当当 0 p 1 时时,即原级数条件收敛即原级数条件收敛.故故:当当 p 0 时时,级数发散级数发散;当当 01 时时,级数绝对收敛级数绝对收敛.第13页，本讲稿共18页解解(1)当当 x 1 时时,故级数发散故级数发散.故故:当当 0 x 1 时时,级数发散级数发散.(2)当当 x=1 时时,级数条件收敛级数条件收敛.(3)当当 0 x 1 时时,即原级数绝对收敛即原级数绝对收敛.第14页，本讲稿共18页解解故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛.第15页，本讲稿共18页解解故原级数条件收敛故原级数条件收敛.第16页，本讲稿共18页三、小结三、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;第17页，本讲稿共18页如何判别如何判别任意项级数任意项级数 的敛散性的敛散性?若收敛若收敛,要要指出指出是是条件收敛条件收敛还是还是绝对收敛绝对收敛.一般步骤如下：一般步骤如下：则级数发散则级数发散.否则：否则：否则：否则：3.若若 发散是发散是比值法或根值法比值法或根值法得出得出,第18页，本讲稿共18页