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1、弹性力学第三章应变分弹性力学第三章应变分析析第1页，此课件共36页哦刚性位移 位移 变形位移（平动加转动）（平动和转动及纯变形）ozxyAA任意一点的位移分量为坐标的函数 第2页，此课件共36页哦ozyxAAMBBCC六面体的变形可归结为棱边的伸长(缩短)棱边间夹角的变化正应变 剪应变 微元体棱边的相对伸长度 棱边夹角之间的变化 M第3页，此课件共36页哦oBMzyxaAmb将平行六面体分别投影到3个坐标面上第4页，此课件共36页哦oBMzyxaAmbM点在Ox轴的位移分量为M点在Oy轴的位移分量为A点和B点相应的位移分别为第5页，此课件共36页哦dxdyyoxvubambam按多元泰勒级数展
2、开，略去二阶以上的无穷小量，则A点和B点的位移矢量在Ox和Oy轴上的分量可表示为棱边ma变形后的ma长度为ma=dx+第6页，此课件共36页哦dxdyyoxvubambam同理第7页，此课件共36页哦dxdyyoxvubambamab在小变形下 与1相比是一小量，可以略去不计 第8页，此课件共36页哦dxdyyoxvubambamab同理 根据第9页，此课件共36页哦顺次轮换 和 可得其他两个切应变分量 当大于零，表示角度缩小，反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式第10页，此课件共36页哦几何方程（柯西方程）两边同时除以2，并令三维的柯西方程用张量可以缩写成：第11页，此课件共
3、36页哦其中相对位移张量相对位移张量 在二维情况 为不对称的张量 可分解为如下两部分 或 第12页，此课件共36页哦为不对称的张量 可分解为如下两部分 或 此处 应变张量应变张量(纯变形纯变形)转动张量张量转动张量张量第13页，此课件共36页哦一点的应变张量称为柯西应变张量 第14页，此课件共36页哦3.2 一点的应变状态Strain at a Point与应力分析相似，应变分析研究物体内任意一点处各个方向应与应力分析相似，应变分析研究物体内任意一点处各个方向应变之间的关系，即过该点任意方向上的正应变和任意两个相互变之间的关系，即过该点任意方向上的正应变和任意两个相互垂直方向的切应变。垂直方向
4、的切应变。通过应变分量坐标变换的方法，可导出相应的表达式。通过应变分量坐标变换的方法，可导出相应的表达式。第15页，此课件共36页哦设在直角坐标系设在直角坐标系oxyz中点中点M 处的六个应变分量为处的六个应变分量为、。令坐标系绕原点令坐标系绕原点O转动得到新坐标系转动得到新坐标系Oxyz xyzyxzo现求新坐标系中的应变分量现求新坐标系中的应变分量、第16页，此课件共36页哦新老坐标系之间有如下关系其中其中li，mi，ni（i=1,2,3）表示三个新坐标轴对老坐标轴的方向余弦。）表示三个新坐标轴对老坐标轴的方向余弦。矩阵形式矩阵形式第17页，此课件共36页哦在新坐标系中，表达应变分量和位移
5、关系的几何方程为在新坐标系中，表达应变分量和位移关系的几何方程为第18页，此课件共36页哦新旧坐标系中的位移分量之间应具有关系新旧坐标系中的位移分量之间应具有关系利用方向导数利用方向导数(Directional Derivative)公式公式第19页，此课件共36页哦同理，还可求得其他应变分量表达式，于是可得到同理，还可求得其他应变分量表达式，于是可得到（3.24a)第20页，此课件共36页哦记为矩阵形式记为矩阵形式或记为另一种矩阵形式或记为另一种矩阵形式（3.24b）（3.25）缩写为张量形式缩写为张量形式Cauchy应变张量为二阶张量应变张量为二阶张量(second-order tenso
6、r)第21页，此课件共36页哦过物体内某一点沿任意方向微分段的伸长率过物体内某一点沿任意方向微分段的伸长率 第22页，此课件共36页哦例例 3.1 3.1 平行六面体变形如图平行六面体变形如图3.53.5所示，位移分量设为，所示，位移分量设为，。试确定：试确定：1）E点应变状态，且E点变形后移至E1（1.0503，1.001，1.997）。2）E点在EA方向的线应变。3）E点在EA和EF所确定平面内的角应变。ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE1第23页，此课件共36页哦ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE1解：1）E点发生的位移为位移分量表达式位移分量表达式第24页，此课件共36页哦
7、由Cauchy方程确定E点的应变状态将E点坐标(1.5,1.2)代入上式得第25页，此课件共36页哦ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE12）由图3.5可知：设(3.24a)第26页，此课件共36页哦3）求过E点在EA和EF所确定平面内的角应变。ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE1第27页，此课件共36页哦3.3 主应变与主应变方向Principal strain and its Direction 剪应变等于零的面主平面主平面(Principal Plane)主应变方向主应变方向(Direction of Principal Strain)主应变主应变(Principal Stra
8、in)主平面的法线方向主平面上的正应变设在ABC面的法线方向有一矢量Sn，基本概念(Basic Concepts)公式推导(Formula Derivation)zOACBxynSn在变形过程中，Sn的方向不变只有长度变化为第28页，此课件共36页哦因Sn与 在一条直线上，故Sn与 的分量成正比例，即其中sx,sy,sz及 ，分别为Sn及 在Ox,Oy,Oz轴上投影考虑到同时，根据第29页，此课件共36页哦其中(where)第一应变不变量第一应变不变量(the first invariant of strains)第二应变不变量第二应变不变量(the second invariant of s
9、trains)第三应变不变量第三应变不变量(the third invariant of strains)有三个实根，即主应变 ，。最大剪应变最大剪应变maximum shear strain 第30页，此课件共36页哦八面体剪应变Octahedral Shear Strain一点的Cauchy应变张量 可以分解为球形应变张量Spherical Strain Tensor偏斜应变张量Deviatoric Strain Tensor应变偏张量不变量应变偏张量不变量the Invariant of the Deviatoric Strain Tensor第31页，此课件共36页哦3.4 应变协调方
10、程Compatibility Equations In Terms of Strains在我们所讲的问题范围内，物体变形后必须保持其整体和连续性，即变形的协调性。从数学的观点说，要求位移函数u,v,w在其定义域内为单值连续函数。容易理解，若把一个矩形物体划分为一些方格，如对应变不加任何约束，即不要求协调性的话，就可能在变形后出现“撕裂”或“套叠”等现象。显然，出现“撕裂”现象后位移函数出现了间断，出现了“套叠”现象后位移函数不会是单值的。这些现象破坏了物体的整体性和连续性。因此，为保持物体的整体性，各应变分量之间，必须要有一定的关系。第32页，此课件共36页哦柯西公式表明表明 6 6个应变分量
11、是通过个应变分量是通过3 3个位移分量表示的个位移分量表示的 因此这因此这6 6个应变分量不是互不相关的，个应变分量不是互不相关的，必定存在着某种关联。必定存在着某种关联。如果以位移为未知函数，并任意给出一组如果以位移为未知函数，并任意给出一组“应变分量应变分量”，则柯西方程给出包含则柯西方程给出包含6 6个方程而只有个方程而只有3 3个未知函数的偏微分方程组，个未知函数的偏微分方程组，由于方程的个数超出了未知函数的个数，由于方程的个数超出了未知函数的个数，方程组可能是矛盾的方程组可能是矛盾的 要使方程组不矛盾，要使方程组不矛盾，则则6 6个应变分量必须满足一定的条件个应变分量必须满足一定的条件第33页，此课件共36页哦现推导二维情况下的变形协调方程将 和 分别对y和x求二阶偏导数后相加，得即二维情况下的应变协调方程圣维南方程三维为此，我们从柯西方程中消去位移分量第34页，此课件共36页哦需要指出的是，如果位移函数是连续的，变形自然也就协调，或者说如果能正确写出物体各点的位移u,v,w，则相应的应变协调方程就自然满足，因而在以后用位移法解题时，可以不考虑应变协调方程。然而，用力法解题时，则需要同时考虑应变协调方程。另外，在几何关系和应变协调关系的十二个方程中，只有六个是独立的第35页，此课件共36页哦第36页，此课件共36页哦