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1、第三章 离散小波变换第1页，本讲稿共30页3.1 尺度和位移的离散化方法对于连续小波而言，尺度a、时间t和与时间有关的偏移量都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换。第2页，本讲稿共30页本章主要内容尺度和位移的离散化方法小波框架理论二进小波变换第3页，本讲稿共30页3.1 尺度和位移的离散化方法为了减小小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数 的a、限定在一些离散的点上取值。第4页，本讲稿共30页离散化方法（1）尺度的离散化。目前通行的做法是对尺度进行幂数级离散化。即令a取第5页，本讲稿共30页离散化方法（2）位移离散化。n通常对进行均匀离散取值，以覆盖整个
2、时间轴，满足Nyquist采样定理。在a=2j时，沿轴的响应采样间隔是2j 0，在a0=2情况下，j增加1，则尺度a增加一倍，对应的频率减小一半。此时采样率可降低一半而不导致引起信息的丢失。第6页，本讲稿共30页因此在尺度j下，由于 的宽度是 的 倍，因此采样间隔可扩大 ，而不会引起信息的丢失。可写成：离散小波变换的定义为：第7页，本讲稿共30页一般，取a0=2，则a=2j，=2jk0，则采样间隔为=2j0当a=2j时，的采样间隔是 2j0，此时，变为：第8页，本讲稿共30页一般，将0归一化，即0=1，于是有：此时，对应的WTf为：第9页，本讲稿共30页离散化过程中的两个问题一、离散小波能否完
3、全表征函数f(t)的全部信息。二、是否任何函数f(t)都可以表示为以 为单位的加权和。即如果可以，系数 如何求？第10页，本讲稿共30页3.2 小波的框架理论3.2.1 框架1 框架的定义在希尔伯特空间H中有一族函数 ，如果存在0AB，对所有的fH，有：称 是H中的一个框架。常数A、B的意义。第11页，本讲稿共30页框架的定义若A=B，则称为紧致框架，此时：如果A=B=1，则 此时，是正交框架，若 ，则 是规范正交基。第12页，本讲稿共30页2.对偶框架的定义对偶函数：的对偶函数 也构成一个框架，其框架的上下界是 上下界的倒数。即：第13页，本讲稿共30页3.通过框架对原函数进行重建重构定理：
4、令 为其对偶框架，则f(t)通过下式重构：如果A=B=1，这时 是一组正交基，所以重建公式为：第14页，本讲稿共30页通过框架对原函数进行重建在紧框架情况下，如果 ，我们定义算子S如下：求逆，得：这时，只有 ，重构公式才成立。当 的时候，如果A，B越接近，上式的误差越小。第15页，本讲稿共30页4.框架和Riesz基Riesz基的定义：设有 满足下列要求：便意味着 ，也就是要求 是一组线性独立族。则称 为一组Riesz基。第16页，本讲稿共30页3.2.2 小波框架1.小波框架的定义：如果当基本小波函数（t）经伸缩和位移引出的函数族具有如下性质：第17页，本讲稿共30页我们称 都成了一个框架，
5、上式为小波框架条件。其频域表示为：的对偶函数 也构成一个框架。第18页，本讲稿共30页2.小波框架的性质（1）满足框架条件的 ，其基本小波必定满足容许性条件。（2）离散小波变换具有非收缩时移共变性。（3）离散小波框架 存在冗余性。第19页，本讲稿共30页3.离散小波变换的逆变换如果离散小波序列 构成一个框架，上下界为A和B，根据上节讨论的函数框架重建原理，当A=B时，离散小波的逆变换为：当 时，但二者比较接近时，作为一阶逼近，可取第20页，本讲稿共30页所以重建公式近似于：同样，A和B越接近，误差就越小。在紧框架情况下，第21页，本讲稿共30页 点的WT为：将f(t)代入上式有：式中第22页，
6、本讲稿共30页3.3 二进小波变换二进小波的表示形式。第23页，本讲稿共30页3.3.1 二进小波变换及其逆变换令小波函数为 ，其傅立叶变换为 ，若存在常数A，B，当 ，使得此时，才是一个二进小波，上式为二进小波的稳定性条件。第24页，本讲稿共30页定义函数 的二进小波变换系数为：其中：设 的傅立叶变换为 ，由卷积定理得：第25页，本讲稿共30页对 ，总有关系式：此式说明二进小波 构成了 的一个框架，所以它的小波逆变换公式是存在的。二进小波的重建公式为：第26页，本讲稿共30页3.3.2 二进小波的性质（1）二进小波满足小波母函数容许性条件，即二进小波必为基本小波。（2）二进小波是冗余的。由框架理论知：当不满足A=B=1时，框架是冗余的，也就是二进变换系数之间具有一定的相关性。二进变换系数之间的关系满足重建核方程。第27页，本讲稿共30页由重建核方程，可知，不是任意函数序列都可以作为某一函数的二进小波变换，只有当它们都满足重建核方程时，才能看做某一函数的二进小波变换。第28页，本讲稿共30页（3）二进小波具有时移性。f(t)平移的二进小波变换等于它的二进小波变换的平移。论证第29页，本讲稿共30页3.3.3 二进正交小波设 ，且满足 我们称 为二进正交小波变换，尺度参数核平移参数按 离散化，二进正交小波为：第30页，本讲稿共30页