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1、第一节二重积分概念与性质第1页，本讲稿共17页解法解法:类似定积分解决问题的思想:一一.引例引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，本讲稿共17页1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，本讲稿共17页4)“取极限”令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页
2、，本讲稿共17页二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可积可积,在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，本讲稿共17页引例中曲顶柱体体积:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，本讲稿共17页二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数(证明略)定理在D上可积可积.在有界闭区域 D上连续,则机动 目录 上页 下页
3、返回 结束 二重积分的几何意义二重积分的几何意义:二重积分表示曲顶柱体的体积.二重积分表示曲顶柱体的体积的负值.二重积分等于柱体体积的代数和.第7页，本讲稿共17页三、二重积分的性质三、二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，本讲稿共17页则5.若在D上6.设D 的面积为,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，本讲稿共17页7.(二重积分的中值定理)证证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，本讲稿共17页例例比较下列积分的大
4、小:其中解解:积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位从而于直线的上方,故在 D 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，本讲稿共17页例例估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，本讲稿共17页内容小结内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.二重积分与定积分的异同第13页，本讲稿共17页相同点:机动 目录 上页 下页 返回 结束 不同点:1.前者积分是在x轴的一个区间上进行,后者在xoy面上的一个区域上进行;2.前者的积分上限可大于也可小于下限,后者在化为累次积分时,每个积分的上限一定大于下限(由于为正)第14页，本讲稿共17页被积函数相同,且非负,*思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页，本讲稿共17页*2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为()提示:因 0 y 1,故故在D上有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，本讲稿共17页*.估计 的值,其中 D 为解解:被积函数D 的面积的最大值的最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，本讲稿共17页