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1、第一节 二重积分的概念与性质第1页，本讲稿共28页柱体体积柱体体积=底面积底面积高高【特点】平顶【特点】平顶.柱体体积柱体体积=？【特点】曲顶【特点】曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出引例引例第2页，本讲稿共28页【解法解法】类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域D顶顶:连续曲面连续曲面侧面侧面：以以D的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”第3页，本讲稿共28页【步骤如下】【步骤如下】取近似、取近
2、似、求和：求和：用若干个用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，分割：分割：先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，得曲顶柱体的体积得曲顶柱体的体积取极限：取极限：第4页，本讲稿共28页求平面薄片的质量求平面薄片的质量分割：分割：将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，近似：近似：取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，求和：求和：所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量【分析】【分析】=常数常数时，质量时，质量=，其中其中 为面积为面积.取极限：取极
3、限：得得薄片总质量薄片总质量若若 为为非常数非常数，仍可用，仍可用“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”解决解决.第5页，本讲稿共28页两个问题的两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:第6页，本讲稿共28页二、二重积分的概念二、二重积分的概念第7页，本讲稿共28页积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达
4、式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素第8页，本讲稿共28页2.【对二重积分定义的说明】【对二重积分定义的说明】存在的存在的必要条件必要条件.(1)积分存在时，值与区域的分法和点的取法无关积分存在时，值与区域的分法和点的取法无关代替代替？不能用不能用连续连续是二重积分存在的是二重积分存在的充分条件充分条件第9页，本讲稿共28页3.【二重积分的几何意义】【二重积分的几何意义】4.【物理意义】【物理意义】表表曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.1)若若表表曲顶柱体体积的负值曲顶柱体体积的负值.2)若若3)若若表表区域区域D的面积的面积.几个特殊结果几个特殊结果几个特殊结果几个特殊结果第10页，本讲稿共
5、28页根据分割的任意性根据分割的任意性，当二重积分存在当二重积分存在时时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域直线网来划分区域D（特殊分割的二重（特殊分割的二重积分与任意分割的二重积分相等）积分与任意分割的二重积分相等）故二重积分可写为故二重积分可写为D D则直角坐标系下面积元素为则直角坐标系下面积元素为即即第11页，本讲稿共28页【性质【性质1】【性质【性质2】（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质逐项积分逐项积分【线性线性性质】性质】线性线性性质可以推广至有限个函数的情形。性质可以推广至
6、有限个函数的情形。第12页，本讲稿共28页【性质【性质3】对对区域区域具有具有可加性可加性【性质【性质4】若若 为为D的面积的面积，【性质【性质5】若在若在D上上特殊地特殊地则有则有比较性质比较性质第13页，本讲稿共28页【性质【性质6】【性质【性质7】（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）【几何意义】【几何意义】曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积第14页，本讲稿共28页【证明】【证明】以下仅证性质以下仅证性质7（中值定理）（中值定理）由由估值估值性质得性质得据有界闭域上的连续函数的介值定理据有界闭域上的连续函
7、数的介值定理变形后变形后 【得证】【得证】第15页，本讲稿共28页【例例1】比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中【解解】积分域积分域D 的边界为圆周的边界为圆周它与它与x 轴交于点轴交于点(1,0),而区域而区域D位位从而从而于直线的上方于直线的上方,故在故在 D 上上 作业题、课后习题作业题、课后习题第16页，本讲稿共28页【解】【解】第17页，本讲稿共28页【解】【解】第18页，本讲稿共28页【解】【解】【分析】【分析】被积函数在积分区域上的正负决定二重积分被积函数在积分区域上的正负决定二重积分的符号的符号.（比较性质的特例）（比较性质的特例）第19页，本讲稿共28页【解】【解】
8、课后习题课后习题第20页，本讲稿共28页【解】【解】区域区域D的面积的面积故故即即课后习题课后习题第21页，本讲稿共28页【例例7】1.设函数设函数D 位于位于x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 1,在在D上上当区域关于当区域关于y 轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量x 有有在闭区域在闭区域D上连续上连续,D关于关于x 轴对称轴对称,则则则则奇偶性时奇偶性时,仍仍有类似结果有类似结果.第22页，本讲稿共28页在第一象限部分在第一象限部分,则有则有【说明】【说明】将该结论熟记，对以后计算带来很大方便将该结论熟记，对以后计算带来很大方便.（要兼顾被要兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性积函
9、数的奇偶性和积分区域的对称性）【例如】【例如】第23页，本讲稿共28页二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质（二重积分的性质（7条条）二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）（积分和式的极限）四、小结四、小结二重积分的物理意义二重积分的物理意义（平面薄片的质量）（平面薄片的质量）第24页，本讲稿共28页【思考题】【思考题】1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处们的相同之处与不同之处.2.在二重积分定义中能否用在二重积分定义中能否用 来代替来代替?为什么为什么?第25页，
10、本讲稿共28页 1.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数定义在平面区域上的二元函数【思考题解答】【思考题解答】2.不能不能.第26页，本讲稿共28页【练习】【练习】机动机动被积函数被积函数相同相同,且且非负非负,【解解】由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:第27页，本讲稿共28页2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为的大小顺序为()【提示提示】因因 0 y 1,故故故在故在D上有上有第28页，本讲稿共28页