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1、由银俊成制作由银俊成制作第八章第八章 重积分重积分 1.1 1.1 二重积分的概念二重积分的概念1.2 1.2 二重积分的性质二重积分的性质第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质1.1 1.1 二重积分的概念二重积分的概念引例曲顶柱体的体积引例曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积 =底面积底面积 高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积 =？特点：特点：曲顶曲顶.曲顶柱体曲顶柱体播放播放求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、取近似、分割、取近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示：的方法，如下动画演示：求求曲顶柱体体积的方法：曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、
2、分割、取近似、求和、取极限。求和、取极限。步骤如下：步骤如下：1.1.分割分割2.2.取近似取近似3.3.求和求和4.4.取极限取极限引例引例2 2求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块；将薄片分割成若干小块；取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片；看作均匀薄片；所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量二重积分的概念二重积分的概念积积分分区区域域积积分分和和被被积积函函数数积积分分变变量量-被积表达式被积表达式面积元素面积元素对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义：二重积分的几何意义：在直角坐标系下用平行于坐在直角
3、坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域标轴的直线网来划分区域 ，故二重积分可写为故二重积分可写为则面积元素为则面积元素为D D D D（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）1.2 1.2 二重积分的性质二重积分的性质性性质质1 1（线线性性性性质质）设设为为常数，常数，则则性性质质2 2（区域可加性区域可加性）其中其中为为两个无公共内点的两个无公共内点的闭闭区域区域性性质质3(3(单调单调性性)若在区域若在区域上上则则注注1 1：注注2 2：若：若则则注注3 3：若函数：若函数在在闭闭区域区域 上上连续连续与与不恒相等，不恒相等，且且则则注：中注：中值值定理定理结论
4、结论可以写作可以写作称称为连续为连续函数函数在区域在区域上的上的平均平均值值，于是二重，于是二重积积分的中分的中值值定理表明：定理表明：上上连续连续函数一定可以取得平均函数一定可以取得平均值值闭闭区域区域解解:因此，因此，由由性质性质4 4知知即即解解:先求被先求被积积函数函数 在区域在区域上可能的最上可能的最值值，易知易知是是驻驻点，且点，且在在边边界上界上,故故即即于是有于是有由由二重积分的概念二重积分的概念二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）（积分和式的极限）作业：习题作业：习题8-1 2(1)(4)，3(
5、2)(3)小结小结思考题思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取分割、求和、取极限极限”的方法，如下动画演示：的方法，如下动画演示：求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取分割、求和、取极限极限”的方法，如下动画演示：的方法，如下动画演示：求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取分割、求和、取极限极限”的方法，如下动画演示：的方法，如下动画演示：求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取分割、求和、取极限极限”的方法，如下动画演示：的方法，如下动画演示：求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取分割、求和、取极限极限”的方法，如下动画演示：的方法，如下动画演示：