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1、2011年秋季学期力力 学学数学预备知识数学预备知识A 微积分初步微积分初步本部分内容可参阅本部分内容可参阅m赵凯华、罗蔚茵，赵凯华、罗蔚茵，新概念物理教程新概念物理教程 力学力学“附录附录A 微积分初步微积分初步”，高教社，高教社，2004年年7月第月第2版版m漆安慎、杜婵英，漆安慎、杜婵英，普通物理教程普通物理教程 力学力学“附录附录 数学知识数学知识”，高教社，高教社，2005年年6月第月第2版版2023/4/17A.1 函数及其图形数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m 函数函数 变量和常量变量和常量或 有两个变量 和 ，如果每当变量 取定了某个数值后，按照一定的规律
2、就可以确定 的对应值，则称 是 的函数，记作为自变量自变量，为因变量因变量，为函数记号函数记号。例如绝对常量：在一切问题中数值都是确定不变的量，如 任意常量：数值需要在具体问题中具体给定的量，如 Page 2A.1 函数及其图形数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m函数的图形函数的图形在物理学中经常用二（三）维曲线来表示两（三）个变量之间的函数关系，以直观地了解一个函数的特征。Page 3A.1 函数及其图形数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m物理学中函数的实例物理学中函数的实例匀速直线运动公式 匀加速直线运动公式 每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数
3、关系 Page 4A.1 函数及其图形数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m物理学中函数的实例物理学中函数的实例玻意耳定律 点电荷的电场 Page 5A.2 导数数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m 极限极限m无穷小量的性质无穷小量的性质m限个无穷小量的和是无穷小量；m有限量与无穷小量的积是无穷小量。在自变量 与某一定值 的差为无穷小量时，函数 与数 的差也为无穷小量，则 是 在 趋于 时的极限。Page 6A.2 导数数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步例如一个有限的函数与常数积的极限，等于该函数极限与常数之积有限个极限的函数的积（商）
4、的极限，等于它们的极限的积（商）有限个有极限的函数的和（差）的极限等于它们极限的和（差）m极限的运算法则极限的运算法则Page 7A.2 导数数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m物理学中的几个实例物理学中的几个实例直线运动的瞬时速度 设描述质点运动位置的函数为则从 时刻到 时刻间的平均速度为例如：匀加速直线运动Page 8A.2 导数数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步例如：匀加速直线运动在 时刻的瞬时速度应为 时平均速度的极限Page 9A.2 导数数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步 水渠的坡度 设各处渠底的高度为则从 到 两地水渠的
5、平均坡度为在 点的坡度应为 时平均坡度的极限，即Page 10A.2 导数数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m函数的变化率函数的变化率 导数导数设函数 的自变量 在点 处有增量相应地函数有增量则定义函数在 到 区间内的平均变化率为Page 11A.2 导数数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步 导数 若当 时 的极限存在，则称 在 处可导，该极限值称为函数 对 的导数或微商，记作 导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该点的变化率。导数还可以表示为Page 12A.2 导数数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步 函数 的导数 本身也是
6、的一个函数，因此我们可以再取它对 的导数，称为函数 的二阶导数，记作 在物理学中，对空间和时间的导数习惯如下表示，不能混用表示对空间求导表示对时间求导Page 13A.2 导数数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步 导数的几何意义如图，过曲线上两点 、的割线的斜率为当 时，割线成为过 点的切线故导数 表示曲线在 处切线的斜率。Page 14A.3 导数的运算数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m 基本函数的导数公式基本函数的导数公式Page 15A.3 导数的运算数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步Page 16A.3 导数的运算数学预备知识
7、 力学 2011数学预备知识A 微积分初步Page 17A.3 导数的运算数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步Page 18A.3 导数的运算数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m有关导数运算的几个定理有关导数运算的几个定理 Page 19A.3 导数的运算数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m基本导数公式基本导数公式Page 20A.4 微分和函数的幂级数展开数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m微分微分 自变量 无限小的增量 称为 的微分为函数 的微分。微分微分是对函数的局部变化率的一种线性描述线性描述 几何意义Pag
8、e 21A.4 微分和函数的幂级数展开数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m泰勒级数泰勒级数将函数展开为幂级数的形式，在理论上和应用中都是十分重要的。在 处的 阶导数泰勒展开式泰勒展开式 Page 22A.4 微分和函数的幂级数展开数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步常见函数的幂级数展开式常见函数的幂级数展开式 Page 23A.4 微分和函数的幂级数展开数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步常见函数的幂级数展开式常见函数的幂级数展开式 Page 24A.5 积分数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m几个物理中的实例几个物理
9、中的实例 变速直线运动的路程 物体的速率是时间的函数把 到 这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够短时，每段可以近似地看成匀速运动，则有Page 25A.5 积分数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步 越短，把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况，故应对求和取 时的极限，即几何意义到 区间内 曲线下的面积Page 26A.5 积分数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步变力的功考虑力是位置的函数，即 物体由 运动到 的过程中，力 对它所做的功为Page 27A.5 积分数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步要精确求解，就需要对求和取 时的极
10、限，即几何意义到 区间内 曲线下的面积Page 28A.5 积分数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m定积分定积分 给定一个函数 ，用 把自变量 在 区间内的数值分成 小段，设每小段的大小为 ，若当 时 的极限存在，则将该极限称为函数 在区间 内对 的定积分，记作Page 29A.5 积分数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步定积分的几何意义定积分的几何意义曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和Page 30A.5 积分数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步如果被积函数 是某个函数 的导数，即则在 到 区间内 对 的定积分等于 在这区
11、间内的增量，即Page 31A.5 积分数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步m不定积分不定积分 原函数如果 是 的导数，则称 是 的逆导数或原函数求 的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数。Page 32A.5 积分数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步不定积分 一般说来，在函数 的某个逆导数 上加一任意常量 ，仍旧是 的逆导数。通常把一个函数 的逆导数的通式称为它的不定积分不定积分，并记作 ，即不定积分代表一组函数。不定积分代表一组函数。Page 33A.5 积分数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步几个有关积分运算的定理 定理一定理一 如果如果 (是常量是常量)，则，则定理二定理二 如果如果 ，则，则定理三定理三 如果如果 ，则，则Page 34A.5 积分数学预备知识 力学 2011数学预备知识A 微积分初步 常用函数的不定积分Page 352011年秋季学期本章结束本章结束The End！2023/4/17