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1、6.5广义积分初步广义积分初步n n一、无穷限积分一、无穷限积分n n二、瑕积分二、瑕积分n n三、三、函数函数在本节中我们将推广定积分定义在本节中我们将推广定积分定义,以便解以便解决一些诸如决一些诸如“开放型平面图形面积开放型平面图形面积”等问题。等问题。x x=b b+x x=2-2-0 0+1无穷限积分无穷限积分n n定义：设函数定义：设函数f(x)在区间在区间a,+)上连续上连续,对任对任意实数意实数b(其中其中ba)称称为为函数函数f(x)在区间在区间a,+)上的广义积分上的广义积分,记记作作(1)n n若若(1)中极限存在中极限存在,则称广义积则称广义积分分n n若若(1)中极限不
2、存在中极限不存在,则称广义积则称广义积分分 即即收敛。收敛。发散。发散。n n类似地，类似地，2例题与讲解例题与讲解n n例：计算广义积分例：计算广义积分n n解解则广义积分的计算可简记为：则广义积分的计算可简记为：则广义积分的计算可简记为：则广义积分的计算可简记为：如果如果如果如果F F(x x)为连续函数为连续函数为连续函数为连续函数f f(x x)的一个原函数，记的一个原函数，记的一个原函数，记的一个原函数，记3例题与讲解例题与讲解n n例：计算广义积分例：计算广义积分n n解解4例题与讲解例题与讲解*n n例：计算广义积分例：计算广义积分n n解解5例题与讲解例题与讲解n n例：证明广
3、义积分例：证明广义积分在在p1时，收敛；时，收敛；p 11时，发散。时，发散。n n证证时，时，时，时，时，时，时，时，因此，该广义积分当因此，该广义积分当因此，该广义积分当因此，该广义积分当p p11时收敛，其值为时收敛，其值为时收敛，其值为时收敛，其值为当当当当p p 1 1时发散。时发散。时发散。时发散。6例题与讲解例题与讲解n n例：证明广义积分例：证明广义积分发散。发散。n n证证 因因发散。发散。故故n n注意：注意：虽然虽然为奇为奇函数，函数，但但7无界函数的广义积分无界函数的广义积分(瑕积分瑕积分)n n定义：设定义：设f(x)在区间在区间(a,b上连续上连续,而而称称为为f(
4、x)在区间在区间(a,b上的广义积分上的广义积分,记作记作即即n n若式若式(2)中极限不存在中极限不存在,称广义积称广义积分分n n若式若式(2)中极限存在中极限存在,则称广义积则称广义积分分收敛；收敛；发散。发散。n n类似地类似地:当当当当 (3)(3)右边的两积分都收敛时右边的两积分都收敛时右边的两积分都收敛时右边的两积分都收敛时,才称广义积才称广义积才称广义积才称广义积分分分分收敛；否则称发散。收敛；否则称发散。收敛；否则称发散。收敛；否则称发散。8例题与讲解例题与讲解n n例例:计算广义积分计算广义积分n n解解9例题与讲解例题与讲解n n例：证明广义积分例：证明广义积分发散。发散
5、。n n证证即即证明广义积分证明广义积分发散发散,n n例：例：因为因为所以所以,发散。发散。发散。发散。10 函数函数一个重要的广义积分一个重要的广义积分n n定义：广义积分定义：广义积分是参变量是参变量t的函数，称为的函数，称为 函数。函数。n n 函数的重要性质：函数的重要性质：(t+1)=t(t)特别特别,(n+1)=n！n n证明：证明：11 函数表函数表n n1,2区间上的区间上的 函数值可通过函数值可通过 函数表查表得函数表查表得到到,而对于而对于t0的其它的其它 函数值均可由下面递推函数值均可由下面递推公式转化到公式转化到1,2区间内：区间内：n n例：例：12小结小结n n无
6、穷限的广义积分无穷限的广义积分n n无界函数的广义积分（瑕积分）无界函数的广义积分（瑕积分）（注意注意注意注意：不能忽略内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点）n n 函数及其重要性质函数及其重要性质(t+1)=t(t)13练习练习1.1.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；解答解答2.2.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值
7、；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；解答解答3.3.当当当当k k为何值时为何值时为何值时为何值时,广义积分广义积分广义积分广义积分收敛收敛收敛收敛,k,k为何值时为何值时为何值时为何值时广义积分发散广义积分发散广义积分发散广义积分发散,k,k为何值时广义积分取最小值？为何值时广义积分取最小值？为何值时广义积分取最小值？为何值时广义积分取最小值？解答解答14练习解答练习解答1.1.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；返回习题返回习题15练习解答练
8、习解答2.2.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；返回习题返回习题16练习解答练习解答2.2.判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；判断下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值；返回习题返回习题17练习解答练习解答3.3.当当当当k k为何值时为何值时为何值时为何值时,广义积分广义积分广义积分广义积分收敛收敛收敛收敛,k,k为何值时为何值时为何值时为何值时广义积分发散广义积分发散广义积分发散广义积分发散,k,k为何值时广义积分取最小值？为何值时广义积分取最小值？为何值时广义积分取最小值？为何值时广义积分取最小值？18续上页续上页返回习题返回习题19