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1、五年级数学五年级数学最大公因数和最小公倍数最大公因数和最小公倍数主讲教师：闫峰主讲教师：闫峰现在我们孝顺父母的最好方现在我们孝顺父母的最好方法就是好好学习。法就是好好学习。课前铺垫l几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可的最小公倍数可以记作以记作a、b，当（，当（a、b）1时，时，a、bab。两个数的最大公约数和最小公。两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：倍数有着下列关系：l最大公约数最大公约数最小公倍数两数的成积最小公倍
2、数两数的成积l即（即（a、b）a、bab课前铺垫l要解答求最小公倍数的问题，关键要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时要通常就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。避免和最大公约数问题混淆。方法l用短除法求两个数的最小公倍数和最用短除法求两个数的最小公倍数和最大公因数的方法相近，不要混淆。求大公因数的方法相近，不要混淆。求两个数的最大公因数，是把短除式中两个数的最大公因数，是把短除式中
3、的除数相乘；而求两个数的最小公倍的除数相乘；而求两个数的最小公倍数是把短除式中的除数和最后得的商数是把短除式中的除数和最后得的商连乘。它们的区别可概括为：求公因，连乘。它们的区别可概括为：求公因，乘半边；求公倍，乘半圈。乘半边；求公倍，乘半圈。基础热身l1、求下面各组数的最大公因数和最小、求下面各组数的最大公因数和最小公倍数公倍数35和和8334和和5815和和7213和和36l2、求下面各组数的最小公倍数、求下面各组数的最小公倍数8,9和和7215,25和和354,5和和9新知学习l例例1两个自然数的最小公两个自然数的最小公倍数是倍数是180，最大公因数是，最大公因数是12，并且小数不能整除
4、大数。，并且小数不能整除大数。求这两个数。求这两个数。l解解l1801215l当当1553时时12560l12336成立成立l当当15115时时121121215180l12180故不满足已知条件故不满足已知条件l答：大数是答：大数是60，小数是，小数是36.练习l两个自然数的最大公约数两个自然数的最大公约数是是6，最小公倍数是，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。，求另一个自然数。l例例2甲、乙、丙三人是朋友，甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲一次，甲3天去一次，乙天去一次，乙4天去天去一次，丙一次，
5、丙5天去一次。有一天，天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会。他们三人恰好在图书馆相会。问至少再过多少天他们三人又问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？在图书馆相会？分析与解l从第一次三人在图书馆相会到下一从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。因为的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数是的最小公倍数是60，所以至少再过，所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。天他们三人又在图书馆相会。l答：至少再过答：至少再过60天他们三人又在图天他们三人又在图书馆相会。书馆相会。练习l1路、路、2路和路和5路车都从东站发车，路
6、车都从东站发车，1路车每隔路车每隔10分钟发一辆，分钟发一辆，2路车路车每隔每隔15分钟发一辆，而分钟发一辆，而5路车每隔路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线的车同时发车？有这三种路线的车同时发车？例3 求36963与59570的最大公因数。l解法一 用辗转相除法，l 所以（36963,59570）37l解法二解法二l上面的方法计算量大，能否简化运算呢？上面的方法计算量大，能否简化运算呢？l通过观察容易发现，通过观察容易发现，36963有因数有因数33，而，而59570没有质因数没有质因数3
7、，但，但59570有质因数有质因数2和和5，而，而36963没有质因数没有质因数2和和5，所以可以从，所以可以从36963中分解出中分解出33和从和从59570中分解出中分解出25，再求其余部分的最大公因数。，再求其余部分的最大公因数。l36963334107l59570255957l所以（所以（36963，59570）37.l由此可见，求最大公因数的几种方由此可见，求最大公因数的几种方法并非是截然分开的，如能把结合法并非是截然分开的，如能把结合起来使用将更为有效。起来使用将更为有效。练习l求（求（28583，13301）与）与28583，13301l例例4从学校到少年宫的这段公从学校到少年宫
8、的这段公路上。一共有路上。一共有37根电线杆，原根电线杆，原来每两根电线杆之间相距来每两根电线杆之间相距50米，米，现在要改成每两根之间相距现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？中途还有多少根不必移动？分析与解l从学校到少年宫的这段路长从学校到少年宫的这段路长50（371）1800（米）。从路的一端开始，是（米）。从路的一端开始，是50和和60的公的公倍数处的那一根就不必移动。因为倍数处的那一根就不必移动。因为50和和60的最的最小公倍数是小公倍数是300，所以，从第一根开始，每隔，所以，从第一根开始，每隔300米就有一根不必移
9、动。米就有一根不必移动。18003006，就是，就是6根不必移动，去掉最后一根，中途共有根不必移动，去掉最后一根，中途共有5根不必根不必移动。移动。l50、60300l50（371）30015（根）（根）l答：中途还有答：中途还有5根不必移动。根不必移动。练习l插一排红旗共插一排红旗共26面。原来每面。原来每两面之间的距离是两面之间的距离是4米，现在米，现在改为改为5米。如果起点一面不移米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？动，还可以有几面不移动？家庭作业l1.两个自然数的最大公因数是两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是最小公倍数是120，已知其中一个，已知其中一个数为数为24，求另
10、一个数。，求另一个数。l2.已知两个自然数的和为已知两个自然数的和为165，它，它们的最大公因数为们的最大公因数为15，求这两个数。，求这两个数。家庭作业l3.两个数的差是两个数的差是48，最小公倍，最小公倍数是数是60，求这两个数。，求这两个数。l4.两个自然数的最大公因数是两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是，最小公倍数是210，已知这两，已知这两个数的和为个数的和为77，求这两个数。，求这两个数。家庭作业l5.一行小树苗，从第一棵到最一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是后一棵的距离是90米。原来每米。原来每隔隔2米植一棵树，由于小树长大米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔了，必
11、须改为每隔5米植一棵。米植一棵。如果两端不算，中间有几棵不如果两端不算，中间有几棵不必移动？必移动？家庭作业l6.甲乙两数的最小公倍数除甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商是以它们的最大公因数，商是12，如果甲乙两数的差是，如果甲乙两数的差是18，则甲数是多少？乙数是多，则甲数是多少？乙数是多少？少？课前铺垫l如果一个自然数如果一个自然数a能被自然数能被自然数b整除，那么称整除，那么称a为为b的倍数，的倍数，b为为a的约数。的约数。l如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公因那么称这个自然数是这若干个自然数的公
12、因数。在所有公因数中最大的一个公因数，称数。在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数。自然数为这若干个自然数的最大公因数。自然数a1，a2，an的最大公因数通常用符号（的最大公因数通常用符号（a1，a2，an）表示，例如，（）表示，例如，（8，12）=4，（，（6，9，15）=3。课前铺垫l如果一个自然数同时是若干个自然数的如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然
13、数小公倍数。自然数a1，a2，an的最的最小公倍数通常用符号小公倍数通常用符号a1，a2，an表示，例如表示，例如8，12=24，6，9，15=90。方法l常用的求最大公约数和常用的求最大公约数和最小公倍数的方法：最小公倍数的方法：l（1）分解质因数法）分解质因数法l（2）短除法。）短除法。课前提问质数、质因数和互质数质数、质因数和互质数是一回事吗？是一回事吗？基础热身l1、a235，b335，a，b的最的最大公因数是（大公因数是（），最小公倍数是），最小公倍数是（）。）。l2、a与与b是互质数，是互质数，a，b的最大公因的最大公因数是（数是（），最小公倍数是（），最小公倍数是（）。）。新知学
14、习l例例1：用：用60元钱可以买一级茶叶元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶克，或买二级茶叶180克，或买三级克，或买三级茶叶茶叶240克。现将这三种茶叶分别按克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元等，那么每袋的价格最低是多少元钱？钱？l分析与解：因为分析与解：因为144克一级茶叶、克一级茶叶、180克二级克二级茶叶、茶叶、240克三级茶叶都是克三级茶叶都是60元，分装后每袋元，分装后每袋的价格相等，所以的价格相等，所以144克一级茶叶、克一级茶叶、180克二克二级茶叶、级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，
15、克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是即分装的袋数应是144，180，240的公因数。的公因数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。的最大公约数。用短除法求最大公因数223l所以（所以（144，180，240）=223=12，即每，即每60元的元的茶叶分装成茶叶分装成12袋，每袋的价格最袋，每袋的价格最低是低是6012=5（元）。（元）。练习l1.幼儿园的大班有幼儿园的大班有36个小朋友，个小朋友，中班有中班有48个小朋友，小班有个小朋友，小班有54个个小朋友。按班分组，三个班的
16、各小朋友。按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（组人数一样多，问每组最多有（）个小朋友。）个小朋友。练习l2.有三根钢管，分别长有三根钢管，分别长200厘米、厘米、240厘米、厘米、360厘米。现要把这三厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？小段，一共能截成多少段？例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？l分析与解：因为分析与解：因为498，450，414除除以以a所得的余数相同，所以它们两两所得的余数相同，所以它们两两之差的公因数应能被之差的公因数应能被a整除。整除。l498-450=48，
17、450-414=36，498-414=84。l所求数是（所求数是（48，36，84）=12。练习l有一堆桔子，按每有一堆桔子，按每4个一堆分少个一堆分少1个，按每个，按每5个一堆分也少个一堆分也少1个，按个，按每每6个一堆分还是少个一堆分还是少1个。这堆桔个。这堆桔子至少有多少个？子至少有多少个？练习l一块砖底面长一块砖底面长22厘米厘米,宽是宽是10厘米厘米,要铺成一个正方形地面要铺成一个正方形地面(不要折断不要折断,只能铺整砖只能铺整砖)至少要至少要多少块砖多少块砖?例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在
18、起点相会？l分析与解：甲、乙、丙走一圈分别分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需需60秒、秒、75秒和秒和90秒，因为要在起秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是以需要的时间应是60，75，90的公的公倍数。所求时间为倍数。所求时间为60，75，90=900（秒）（秒）=15（分）。（分）。练习l爷爷对小明说：爷爷对小明说：“我现在的年龄是我现在的年龄是你的你的7倍，过几年是你的倍，过几年是你的6倍，再过倍，再过若干年就分别是你的若干年就分别是你的5倍、倍、4倍、倍、3倍、倍、2倍。倍。”你知道爷爷和小明现在的年你知道爷爷和小明现在的年龄吗？龄吗？
19、家庭作业l2.大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下以雪地上只留下60个脚印。问：这个花个脚印。问：这个花圃的周长是多少米？圃的周长是多少米？家庭作业l3.某公共汽车站有三条线路的公共汽某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔车。第一条线路每隔5分钟发车一次，分钟发车一次，第二、三条线路每隔第二、三条线路每隔6分钟和分钟和8分钟分钟发车一次。发车一次。9点时三条线路同时发车，点时三条线路同时发车，下一次同时发车是什么时间？下一次同时发车是什么时间？家庭作业l4.四个连续奇数的最小公倍四个连续奇数的最小公倍数是数是6435，求这四个数。，求这四个数。