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1、公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数1、掌握最大公因数和最小公倍数的求法；2、会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；【知识点 1】最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。【知识点 2】最大公因数求法1 1、列举法、列举法先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）找 8 和 6 的最大公因数8 的因数有 1、2、4、86 的因数有 1、2、3、68 和 6 的最大因数数是 2。2 2、观察法、观察法(特殊情况特殊情况)1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中较小的数。2）两个数是互质数的（互质数就是两个数
2、只有公因数1），它们的最大公因数就是1。3）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法案件分解：两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数是其中较小的数。8 和 16 的最大公因数（8）4 和 8 的最大公因数（4）9 和 3 的最大公因数（3）28 和 7 的最大公因数（7）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。相邻两个自然数(0 除外)2 和 3 的最大公因数是（1）8 和 9 的最大公因数是（1）99 和 98 的最大公因数是（1）两个不同的质数5 和 7 的最大公因数是（1）17 和 29 的最大公因数是（1）11 和 19 的最大公因数是（1）两个互质的合
3、数4 和 9 的最大公因数是（1）20 和 49 的最大公因数（1）25 和 69 的最大公因数是（1）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法把较小的数缩小（除以2、3、4）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。18 和 48 的最大公因数先用小数 182=9，9 不是 48 的因数，183=6，6 是 48 的因数，那么 18 和 48 的最大公因数 6。16 和 36 的最大公因数162=8，8 不是 36 的因数，164=4，4 是 36 的因数，那么 16 和 36 的最大公因数 4。3 3、短除法、短除法（一般情况）（一般情况）用短除法求二个数的
4、最大公因数，一般用这两个数除以它们的（公因数），一直除到所得的两个商只有公因数 1为止。然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。求 16 和 24 的最大公因数1624281222462316 和 24 的最大公因数 222=8，可以表示为（16，24）=8。求 12 和 20 的最大公因数2212206103512 和 24 的最大公因数 22=4，可以表示为（12，20）=4。【知识点 3】互质数互质数：互质数：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。两数互质的情况：1)1 和任何自然数互质；2)相邻两个自然数互质：2 和 3、8 和 9 3)两个质数一定互质：5 和 7、19
5、和 294)两个合数可能是互质数：8 和 9、25 和 495)2 和所有奇数互质：2 和 31、2 和 996)质数与比它小的合数互质：8 和 29、9 和 59质数与互质数的区别：质数与互质数的区别：质数是对一个数来说，互质数是对两个数的关系来说的。练习一：说说每组数是不是互质关系或倍数关系，再求出它们的最大公因数。5 和 118 和 94 和 88 和 109 和 628 和 75 和 820 和 25【知识点 4】最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。【知识点 5】最小公倍数的求法1 1、列举法、列举法先分别写各自的（倍数），再找它
6、们的（公倍数），然后在公倍数里找它们的（最小公倍数）找 6 和 8 的最小公倍数。6 的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，8 的倍数有：8，16，24，32，40，48，6 和 8 的公倍数：24，48，其中 24 是 6 和 8 的最小公倍数。2 2、观察法、观察法(特殊情况特殊情况)1）两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中较大的数。2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最小公倍数就是它们的乘积。3）两个数不是倍数和互质关系，大数翻倍法。案件分解：两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中较大的数。8 和 16 的最小公倍数（16）4
7、和 8 的最小公倍数（8）9 和 3 的最小公倍数（9）28 和 7 的最小公倍数（28）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最小公倍数就是它们的乘积。相邻两个自然数(0 除外)2和3的最小公倍数是（6）8和9的最小公倍数是（72）99和98的最小公倍数是（9702）两个不同的质数5 和 7 的最小公倍数是（35）17 和 29 的最小公倍数是（493）11和 19 的最小公倍数是（209）两个互质的合数4和9的最小公倍数是（36）20和49的最小公倍数（980）25和69的最小公倍数是（1725）两个数不是倍数和互质关系，用大数大数翻倍法把较大较大的数翻倍（乘以2、3、4
8、）每次翻倍后看得到的积是不是另一个数的倍数，直到所得的积是另一个数的倍数为止。18 和 48 的最小公倍数先用小数 482=96，96 不是 18 的倍数，483=144，144 是 18 的倍数，那么 18 和 48 的最小公倍数是 144。16 和 36 的最小公倍数362=72，72 不是 16 的倍数，363=108，108 不是 16 的倍数，364=144，144 是 16 的倍数，那么16 和36 的最小公倍数 144。3 3、短除法、短除法（一般情况）（一般情况）用短除法求二个数的最小公倍数，一般用这两个数除以它们的（公因数），一直除到所得的两个商只有公因数 1为止。然后把最后
9、所有的除数和商连乘，就得到了二个数最小公倍数。求 16 和 24 的最小公倍数求 12 和 20 的最小公倍数162421220281226102246352316 和 24 的最小公倍数 22223=48，12 和 24 的最小公倍数 2235=60，可以表示为16，24=48。可以表示为12，20=60练习二：（1）说说每组数是不是互质关系或倍数关系，再求出它们的最小公倍数。5 和 118 和 94 和 88 和 109 和 628 和 75 和 820 和 25（2）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。2 和 83 和 86 和 156 和 94 和 108 和 10【知识点 6】最
10、大的公倍数两个数有没有最大的公倍数？为什么？因为每一个数的倍数的个数都是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的。因此，两个数没有最大的公倍数。如果给定一个范围，两个数的最大公倍数存在吗？在给定的范围内，两个数的最大公倍数是存在的。【知识点 7】最大公因数与最小公倍数的应用1、兴趣小组有 24 个女生，32 个男生现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？想：小组的个数在 24 之内，并且小组的个数是 24 和 32 的公因数，又问最多能分多少个小组，所以小组个数是24 和 32 的最大公因数。（24，32）=8 248=3（
11、人）328=4（人）答：最多可以分成 8 组；每组最多有 3 个女生，4 个男生。2、有一包糖，不论分给8 个人，还是分给 10 个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？只能求出最小公倍数，最大公因数却要另考虑想：这包糖 8 个人正好分，10 个人也正好分，说明这包糖的块数是 8 和 10 的公倍数，又问这包糖至少有多少块，所以要求的这包糖是 8 和 10 的最小公倍数。若是问这包糖有多少块？那只要是8 和 10 的公倍数都符合要求，而8 和 10 的公倍数有无数个，没有范围。8，10=40答：这包糖至少有 40 块。3、同学们参加文艺表演，人数在6080 之间。如果分成3 人一组，4 人一组，6 人一组或者 8 人一组，都恰好分完。参加文艺表演的学生有多少人？想：分成3 人一组，4 人一组，6 人一组或者 8 人一组，都恰好分完，说明表演的人数是3，4，6 和 8 的公倍数，3，4，6，8=24，而人数又在给定范围 6080 间，所以求的是在6080 间的 3，4，6 和 8 的最大公倍数，即 48。答：参加文艺表演的学生有48 人。由此可见，在一定范围内的需求最大公因数，没有范围的需求最小公倍数。给定范围的可求最大公倍数。