线性系统数学描述.pptx

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1、会计学1线性系统数学描述线性系统数学描述v 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 建立系统的数学模型简称为建模建模，系统建模有两大类方法两大类方法，或者说有两种不同的途径两种不同的途径：一类是机理分析建模方法，称为分析法；另一类是实验建模方法，通常称为系统辨识。v 常用数学模型常用数学模型 1.外部描述模型微分方程、传递函数 2.内部描述模型状态空间法 3.信号流图模型第1页/共32页2.2 线性系统的线性系统的时域数学模型时域数学模型微分方程微分方程 是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程微分方程。第2页/共32页 对于单输入、单输出对于单输入、单输出线性定常系

2、统线性定常系统线性定常系统线性定常系统，采用下列，采用下列微分微分方程方程来描述：来描述：式中，r(t)和c(t)分别是系统的输入信号输入信号和输出信号输出信号；是 对时间t的n阶导数；和是由系统的结构参数决定的系数。第3页/共32页 一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入输入和输出输出的微微分方程分方程。第4页/共32页1、电气系统、电气系统例例1 1 由电阻由电阻R R、电感、电感L L和电容和电容C C 组成的无源网络，试写出组成的无源网络，试写出以以 为输入量，以

3、为输入量，以 为输出量的网络微分方程。为输出量的网络微分方程。RLCi(t)ur(t)uc(t)解 设回路电流为 ，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为消去中间变量 ，得系统输入输出关系的微分方程第5页/共32页2、机械系统、机械系统例例2 2 图示为一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位图示为一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。其中移装置。其中 是弹簧系数，是弹簧系数，是运动部件质量，是运动部件质量，是是阻尼系数；外力阻尼系数；外力 是系统的输入量，位移是系统的输入量，位移 是系统是系统的输出量。试确定系统的微分方程。的输出量。试确定系统的微分方程。F y(t)k fm解:阻尼器的阻

4、尼力:弹簧弹性力:整理得：第6页/共32页 注：注：注：注：比较两个例子可以发现，这两个不同的物理比较两个例子可以发现，这两个不同的物理系统具有相同形式的系统具有相同形式的运动方程运动方程运动方程运动方程，即具有，即具有相同的数相同的数相同的数相同的数学模型。学模型。学模型。学模型。例1数学描述：例2数学描述：第7页/共32页 注：注：许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济系统）有时却可能具有完全相同的数学模型数学模型。从这个意义上讲，数学模型表达了这些系统的共性，所以只要研究透了一种数学模型，也就完全了解具有这种数学模型形式的各式各样系统的本质特征本质特征。第8页/共

5、32页 因此数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型数学模型为基础，分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。第9页/共32页 2.1 2.1 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程解析法建立微分方程的一般步骤是解析法建立微分方程的一般步骤是 根据实际工根据实际工作情况，确定系作情况，确定系统和各元件的输统和各元件的输入、输出量；入、输出量；标准化工作标准化工作:将与输入有关的各项放将与输入有关的各项放在等号的右侧，即将与输出有关的各项在等号的右侧，即将与输出有关的各项放在等号的左侧，并按照降幂排列。放在等号的左侧，并按照降幂排列。从

6、输入端开始，按照信号的传递从输入端开始，按照信号的传递时序及方向，根据各变量所遵循的物理、时序及方向，根据各变量所遵循的物理、化学定律，列写出变化（运动）过程中化学定律，列写出变化（运动）过程中的微分方程组；的微分方程组；消去中间变消去中间变量，得到只包含量，得到只包含输入、输出量的输入、输出量的微分方程；微分方程；最后将系数归化为具有一定物理最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。意义的形式。12345第10页/共32页 控制系统的控制系统的微分方程微分方程微分方程微分方程是在是在时间域时间域时间域时间域描述系统动态描述系统动态性能的数学模型，在性能的数学模型，在给定外部作用和初始条件下给定

7、外部作用和初始条件下给定外部作用和初始条件下给定外部作用和初始条件下，求解微分方程求解微分方程求解微分方程求解微分方程可以得到系统的可以得到系统的输出响应输出响应输出响应输出响应。这种方法。这种方法比较直观比较直观。拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换是是求解线性微分方程求解线性微分方程求解线性微分方程求解线性微分方程的有力工具，的有力工具，它可以将它可以将时域的微分方程时域的微分方程时域的微分方程时域的微分方程转化为转化为复频域复频域复频域复频域中的中的代数方代数方代数方代数方程程程程，并且可以得到，并且可以得到控制系统在复数域中控制系统在复数域中控制系统在复数域中控制系统在复数

8、域中的的数学模型数学模型数学模型数学模型传递函数。传递函数。传递函数。传递函数。2.3 传递函数传递函数第11页/共32页设描述系统的微分方程为：第12页/共32页则其传递函数为则其传递函数为传递函数：传递函数：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。第13页/共32页在零初始条件下，令在零初始条件下，令对上式求拉斯变换，可得 例3 试确定例1所示的RLC无源网络系统的传递函数传递函数。解 由例1可知，网络的微分方程为第14页/共32页则系统的传递函数为 第15页/共32页例例4 4 试确定例试确定例2 2所示的机械阻尼系统的传递函数。所示的机械阻尼系统的传递函

9、数。在零初始条件下，对上式进行拉斯变换，得 所以系统的传递函数为 解 由例2可知，该系统的运动方程为第16页/共32页n n传递函数的几点说明传递函数的几点说明传递函数的几点说明传递函数的几点说明1 1、作为一种数学模型，传递函数只、作为一种数学模型，传递函数只适用于线性定常系适用于线性定常系适用于线性定常系适用于线性定常系统统统统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。而拉氏变换是一种线性积分运算。2 2、线性定常系统或元件的、线性定常系统或元件的线性定常微分线性定常微分线性定常微分线性定常微分方程与传递函方程与传递函方

10、程与传递函方程与传递函数数数数一一对应，它们是在一一对应，它们是在不同域不同域不同域不同域对同一系统或元件的对同一系统或元件的描述。描述。第17页/共32页4、传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数N大于等于分子多项式的次数M，。3、传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，它与其输入信号的形式无关输入信号的形式无关，但和输入信输入信号号的作用位置作用位置及输出信号的取出位置输出信号的取出位置有关。所以谈到传递函数，必须指明输入量指明输入量和输出量输出量。第18页/共32页5 5、传递函数是在传递函数是在零初始条件零初始条件零初始条件零初始条

11、件下定义的。控制系统的零初下定义的。控制系统的零初始条件有两层含义：始条件有两层含义：一是指输入量在时一是指输入量在时 才起作用；才起作用；二是指输入量加于系统前，系统处于稳定工作状态。二是指输入量加于系统前，系统处于稳定工作状态。6 6、传递函数只表示单输入和单输出传递函数只表示单输入和单输出(SISO)(SISO)之间的关系，对之间的关系，对多输入多输出多输入多输出(MIMO)(MIMO)系统，可用系统，可用传递函数阵传递函数阵传递函数阵传递函数阵表示。表示。第19页/共32页7、传递函数式可表示成 式中p1，p2pn为分母多项式的根，称为传递函数的极点；z1、z2、zn为分子多项式的根，

12、称为传递函数的零点；K称为传递函数的增益增益。第20页/共32页8、传递函数的分母多项式分母多项式称为特征多项式，记为而D(s)=0称为特征方程特征方程。传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即nm。这是由于实实际际系系统统的的惯惯性性所造成的。第21页/共32页9 9、实际工程中，许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，所以传递函数只描述了输出与输入之间的关系，并不提供任何有关该系统的物理结构。、实际工程中，许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，所以传递函数只描述了输出与输入之间的关系，并不提供任何有关该系统的物理结构。1010、一个传递函数只适用于单输入、单输出系统

13、，因而信号在传递过程中的、一个传递函数只适用于单输入、单输出系统，因而信号在传递过程中的、一个传递函数只适用于单输入、单输出系统，因而信号在传递过程中的、一个传递函数只适用于单输入、单输出系统，因而信号在传递过程中的中间变量中间变量中间变量中间变量是无法反映出来的。是无法反映出来的。是无法反映出来的。是无法反映出来的。1111、对于系统未知的传递函数，可通过给系统加上已知特性的输入，再对其输出进行研究，就可以得到该系统、对于系统未知的传递函数，可通过给系统加上已知特性的输入，再对其输出进行研究，就可以得到该系统传递函数传递函数传递函数传递函数，并可以给出其，并可以给出其动态特性的完整描述动态特

14、性的完整描述动态特性的完整描述动态特性的完整描述。2.2 2.2 传递函数传递函数传递函数传递函数1212、传递函数的拉氏反变换、传递函数的拉氏反变换 是系统对应的是系统对应的脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应第22页/共32页n n典型环节传递函数典型环节传递函数典型环节传递函数典型环节传递函数 控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理结构结构和作用原理作用原理是多种多样的，但抛开具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型传递函数的数学模型来看，可以划分成几种典型环节。常用的典型环节有比例环节比例环节、惯性环节惯性环节、积分环节积分环节、微分环节微分环节、振荡环节振荡环节、延迟环节延迟环节等。

15、第23页/共32页比比例例环环节节的的传传递递函函数数r(t)c(t)t0比例环节（无惯性环节）：比例环节（无惯性环节）：c c(t t)=)=krkr(t t)传递函数：传递函数：G G(S S)=C(S)/R(S)=)=C(S)/R(S)=k k阶跃响应：阶跃响应：R R(S S)=1/)=1/S S C C(S S)=)=kRkR(S S)=)=k k/S S方框图：方框图：C(t)=kC(t)=kk kR(S)R(S)C(S)C(S)1测速发电机：测速发电机：U(t)=KU(t)=Kt td d(t)/dt=k(t)/dt=kt t(t)(t)G(S)=U(S)/G(S)=U(S)/(

16、S)=K(S)=Kt tR R2 2R R1 1R RC(t)r(t)运算放大器：运算放大器：C(t)=RC(t)=R2 2/R/R1 1 r(t)r(t)G(S)=C(S)/R(S)=RG(S)=C(S)/R(S)=R2 2/R/R1 1=K K 2.2 2.2 传递函数传递函数传递函数传递函数第24页/共32页惯惯性性环环节节的的传传递递函函数数惯性环节惯性环节：TdcTdc(t)/(t)/dtdt+c c(t)=(t)=krkr(t)(t)传递函数：传递函数：G G(S S)=)=C C(S S)/)/R R(S S)=)=k k/(/(TSTS+1)+1)阶跃响应：阶跃响应：R R(S

17、 S)=1/)=1/S S C C(S S)=)=kRkR(S S)/()/(TSTS+1)+1)方框图：方框图：C C(t t)=)=k k(1-e(1-e-1-1/T)/T)2k k/(/(TSTS+1)+1)R R(S S)C C(S S)电枢控制他励直流电动机：电枢控制他励直流电动机：T Td d T Tm m d d2 2n(t)/dtn(t)/dt2 2 +T+Tmm dn(t)/dt+n(t)dn(t)/dt+n(t)U Ua a(t)/C(t)/Ce e若初值为若初值为0 0，上式的拉氏变换为：，上式的拉氏变换为：(T(Td d T TmmS S2 2+T+Tmm S+1)N(

18、S)=U S+1)N(S)=Ua a(S)/C(S)/Ce e传递函数为：传递函数为：1 1G(S)=N(S)/UG(S)=N(S)/Ua a(S)=(S)=C Ce e(T(Td d T TmmS S2 2+T+TmmS+1)S+1)若电枢电感忽略不计，上式可以化简为：若电枢电感忽略不计，上式可以化简为：1 1G(S)=N(S)/Ua(S)=G(S)=N(S)/Ua(S)=Ce(TmS+1)Ce(TmS+1)运算放大器：运算放大器：R R2 2R R1 1R RC(t)r(t)C Ci i1 1 i i2 2A A传递函数为：传递函数为：G(S)=G(S)=（R R2 2/R/R1 1)/(

19、R)/(R2 2CS+1)CS+1)=K/(TS+1)=K/(TS+1)2.2 2.2 传递函数传递函数传递函数传递函数当当T=T=时，惯性时，惯性环节近似为积分环节近似为积分环节；当环节；当T=0T=0时，时，惯性环节近似为惯性环节近似为比 例 环 节。比 例 环 节。第25页/共32页积积分分环环节节的的传传递递函函数数3积分环节：积分环节：dcdc(t t)/)/dtdt=krkr(t t)传递函数：传递函数：G G(S)=(S)=C C(S)/(S)/R R(S)=(S)=k k/S S阶跃响应：阶跃响应：R R(S S)=1/S)=1/S，C C(S)=(S)=kRkR(S)(S)C

20、 C(t)=(t)=kt kt方框图：方框图：k/sk/sR(SR(S)C(SC(S)积分调节器：积分调节器：C CU Uc c(t)(t)R RU Ur r(t)(t)i i1 1i i2 2A A在在A A点列方程可得：点列方程可得：i i2 2=i=i1 1,i i1 1=U=Uc c(t)/R(t)/RU Uc c(t)=1/Ci(t)=1/Ci2 2(t)dt=1/(RC)U(t)dt=1/(RC)Uc c(t)dt(t)dt设设RCRCT T（积分时间常数），则有：（积分时间常数），则有：U Uc c(t)=1/TU(t)=1/TUc c(t)dt(t)dt拉氏变换后为：拉氏变换后

21、为：U Uc c(S)=1/(TS)U(S)=1/(TS)Uc c(S)(S)传递函数为：传递函数为：G(S)=UG(S)=Uc c(S)/U(S)/Uc c(S)=1/(TS)(S)=1/(TS)k/Sk/S 2.2 2.2 传递函数传递函数传递函数传递函数第26页/共32页微微分分环环节节的的传传递递函函数数微分环节：微分环节：c c(t t)=)=drdr(t)/(t)/dtdt 传递函数：传递函数：G G(S)=(S)=C C(S)/(S)/R R(S)=(S)=SS方框图：方框图：SSR R(S S)C C(S S)4由于微分环节具有惯性实际常由于微分环节具有惯性实际常常以常以G(S

22、)=kTS/(TS+1)G(S)=kTS/(TS+1)形式出形式出现现 。其中。其中T T为时间常数，为时间常数，T T越小越小微分作用越强，当微分作用越强，当T T0 0 而而KTKT保 持 有 限 值 时，方保 持 有 限 值 时，方程变为纯微分环节了。程变为纯微分环节了。输入量取角度时的传递函数即为微分环节。表示电机单位角速度的输出电压。则测速发电机输出电压与输入角速度之间的关系为进行拉氏变换得到那么该元件的传递函数为测速发电机：测速发电机：2.2 2.2 传递函数传递函数传递函数传递函数第27页/共32页微微分分环环节节的的传传递递函函数数一阶微分环节一阶微分环节：c(t)=c(t)=

23、dr(t)dr(t)/dt+r(t)/dt+r(t)传递函数：传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=S+1G(S)=C(S)/R(S)=S+1方框图：方框图：SS+1+1R R(S)(S)C C(S)(S)5比例微分调节器：比例微分调节器：根据电路的基本定律得到以下方程组根据电路的基本定律得到以下方程组 那么该元件的传递函数为那么该元件的传递函数为消去中间变量得到输出、输入电压之间的关系消去中间变量得到输出、输入电压之间的关系第28页/共32页振振荡荡环环节节的的传传递递函函数数振荡环节：振荡环节：T T2 2 d d2 2r r(t)/(t)/dtdt2 2+2+2TdrTdr(t t)/

24、)/dtdt+r r(t t)r r(t t)传递函数：传递函数：G G(S S)=)=C C(S S)/)/R(SR(S)=1/()=1/(T T2 2S S2 2+2+2TSTS+1)+1)方框图：方框图：6RLCRLC振荡电路：振荡电路：UcUcR RUrUri ic cL L电路的微分方程为：电路的微分方程为：LCdLCd2 2Uc/dtUc/dt2 2+RCdUc/dt+Uc=Ur+RCdUc/dt+Uc=Ur d d2 2Uc/dtUc/dt2 2+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr令令 n n=1/=1/LCLC，=0.5 R=0.5

25、R C/LC/L则上式的拉氏变换为：则上式的拉氏变换为：(S(S2 2+2+2 n n S+S+n n2 2)Uc(S)=)Uc(S)=n n2 2Ur(S)Ur(S)n n2 2 S S2 2+2+2 n n S+S+n n2 2传递函数为：传递函数为：G(S)=Uc(S)/Ur(S)G(S)=Uc(S)/Ur(S)1 1T T2 2S S2 2+2+2 TSTS+1+1R R(S S)C(S)C(S)第29页/共32页延延迟迟环环节节的的传传递递函函数数延迟环节：延迟环节：c c(t t)=)=r(t-r(t-)传递函数：传递函数：G G(S S)=)=C C(S S)/)/R R(S S

26、)=)=e e-s-s方框图：方框图：7e e-s-sR(S)R(S)C(S)C(S)轧钢厂带厚度检测元件轧钢厂带厚度检测元件:则滞后时间为：则滞后时间为：l l/v v（S)S)测厚信号测厚信号c(t)c(t)与厚差信号与厚差信号r(t)r(t)之间的关系为：之间的关系为：c(t)c(t)r(t-r(t-)在零初始条件下，拉氏变换为：在零初始条件下，拉氏变换为：C(S)C(S)R(S)eR(S)e-S S传递函数为传递函数为:G(S)=C(S)/R(S):G(S)=C(S)/R(S)e e-S SA A点产生的误差在点产生的误差在B B点才被检点才被检测到。设测厚仪距支架的距测到。设测厚仪距支架的距离为离为l l，带钢运行速度为，带钢运行速度为v v 2.2 2.2 传递函数传递函数传递函数传递函数第30页/共32页 需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多个设备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定。第31页/共32页