第 线性系统的状态空间描述.pptx

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1、(1).(1).系统的外部描述系统的外部描述 外部描述常被称作为输出外部描述常被称作为输出输入描述输入描述例如例如.对对SISOSISO线性定常系统线性定常系统:时间域的外部描述时间域的外部描述:复频率域描述即传递函数描述复频率域描述即传递函数描述 (2)(2)系统的内部描述系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个需要由两个数学方程表征数学方程表征状态方程和输出方程状态方程和输出方程 (3)(3)外部描述和内部描述的比较外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能

2、不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分.内部描述则是系统的一种完全的描述内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系能够完全反映系统的所有动力学特性统的所有动力学特性.第1页/共56页状态空间定义为状态向量的一个集合状态空间定义为状态向量的一个集合,状态空间的维状态空间的维数等同于状态的维数数等同于状态的维数 状态和状态空间的定义状态和状态空间的定义 状态变量组状态变量组:状态状态:一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 所组成的一个列向量所组成的一个列向量 一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征一

3、个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个其时间域行为的一个最小内部变量组最小内部变量组 状态空间状态空间 第2页/共56页只要给定初始时刻只要给定初始时刻 t t0 0 的任意初始状态变量组的任意初始状态变量组和和tttt0 0 各时刻的任意输入变量组各时刻的任意输入变量组 那么系统的任何一个内部变量在那么系统的任何一个内部变量在tttt0 0各时刻的运各时刻的运动行为也就随之而完全确定动行为也就随之而完全确定 几点解释几点解释 (1).(1).状态变量组对系统行为的完全表征性状态变量组对系统行为的完全表征性 (2).(2).状态变量组最小性的物理特征状态变量组最小性的物理特

4、征(3).(3).状态变量组最小性的数学特征状态变量组最小性的数学特征 第3页/共56页(5).(5).系统任意两个状态变量组之间的关系系统任意两个状态变量组之间的关系 (6).(6).有穷维系统和无穷维系统有穷维系统和无穷维系统 (7).(7).状态空间的属性状态空间的属性 状态空间为建立在实数域状态空间为建立在实数域R R上的一个向量空间上的一个向量空间R Rn n(4).(4).状态变量组的不唯一性状态变量组的不唯一性 系统得任意两个状态之间为系统得任意两个状态之间为线性非奇异变换线性非奇异变换关系关系第4页/共56页动力学系统的状态空间描述动力学系统的状态空间描述图图1 1 动力学系统

5、结构示意图动力学系统结构示意图状态变量组：状态变量组：x1，x2，xn输入变量组：输入变量组：u1，u2，ur输出变量组：输出变量组：y1，y2，ym状态空间描述：输入引起系统状态的变化状态空间描述：输入引起系统状态的变化,而而 状态和输入决定了输出的变化状态和输入决定了输出的变化.第5页/共56页数学描述数学模型：数学描述数学模型：反映系统变量间因果关系和变换关系。反映系统变量间因果关系和变换关系。（1 1）系统的外部描述：输入输出描述，不完全描述）系统的外部描述：输入输出描述，不完全描述特点：不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量间特点：不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变

6、量间的因果关系，即输入和输出间的因果关系。的因果关系，即输入和输出间的因果关系。例如：线性定常、单输入单输出系统，外部描述为线性常系例如：线性定常、单输入单输出系统，外部描述为线性常系数微分方程。数微分方程。零初始条件下，传递函数为：零初始条件下，传递函数为：第6页/共56页状态方程状态方程:一般情况下一般情况下,为一阶非线性时变微分方程组。为一阶非线性时变微分方程组。向量形式向量形式:输出方程量测方程：代数方程输出方程量测方程：代数方程向量形式：向量形式：第7页/共56页线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述其中其中 A(t)A(t)n nn n 系统矩阵系统矩阵 B(t)B(t)n

7、nr r 输入矩阵输入矩阵 C(t)C(t)m mn n 输出矩阵输出矩阵 D(t)D(t)m mr r 前馈矩阵前馈矩阵第8页/共56页离散时间线性系统的状态空间描述离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式：状态空间描述形式：离散时间线性时不变系统离散时间线性时不变系统 离散时间线性时变系统离散时间线性时变系统离散系统：离散系统：各变量在离散时刻取值，状态空间反映离各变量在离散时刻取值，状态空间反映离散时刻的变量组间的因果关系和变换关系。用散时刻的变量组间的因果关系和变换关系。用k=0,1,2k=0,1,2表示离散时刻。表示离散时刻。第9页/共56页状态空间描述的特点状态空间描述的特点

8、一是一是:状态方程形式上的差分型属性状态方程形式上的差分型属性二是二是:描述方程的线性属性描述方程的线性属性三是三是:变量取值时间的离散属性变量取值时间的离散属性 离散时间线性系统的方块图离散时间线性系统的方块图第10页/共56页例1 电路系统状态空间描述的列写示例 以上方程可表为形如 第11页/共56页例2 人口分布问题状态空间描述的列写示例 假设某个国家假设某个国家,城市人口为城市人口为107,乡村人口为乡村人口为9x107,每年每年4%的城的城市人口迁移去乡村市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自整个国家的人口的自然增长率为然增长率为1%设设k

9、为离散时间变量为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第为第k年的城市人口和乡村人年的城市人口和乡村人口口,u(k)为第为第k年所采取的激励性政策控制手段年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措设一个单位正控制措施可激励施可激励5x104城市人口迁移乡村城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市乡村人口去城市,y(k)为第为第k年全国人口数年全国人口数 写成矩阵形式第12页/共56页2.2.2.2.系统按其状态空间描述的分类系统按其状态空间描述的分类 线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统时变系统和时不变系统时变系统和时不变系统连续

10、系统和离散系统连续系统和离散系统确定性系统和随机系统确定性系统和随机系统第13页/共56页线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为设系统的状态空间描述为 向量函数向量函数 若若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数的非线性函数,该系统称为该系统称为非线性系统非线性系统 非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统 若若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为的全部组成元为x、u的线性函数的线性函数,该系统称为该系统称为线性系统线性系统 对于线性系统对于线性系统 第1

11、4页/共56页时变系统和时不变系统时变系统和时不变系统 若向量若向量f,gf,g不显含时间变量不显含时间变量t,t,即即 该系统称为该系统称为时不变系统时不变系统 若向量若向量f,gf,g显含时间变量显含时间变量t,t,即即 该系统称为该系统称为时变系统时变系统 第15页/共56页连续时间系统和离散时间系统连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取状态变量和输出变量取值于连续时间点值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程间的连续过程,该系统称为该系统称为连续时间系统连续时间系统 当且仅当系统

12、的输入变量当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只状态变量和输出变量只取值于离散时间点取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程时间的不连续过程,该系统称为该系统称为离散时间系统离散时间系统.第16页/共56页确定性系统和不确定性系统确定性系统和不确定性系统 称一个系统为称一个系统为确定性系统确定性系统,当且仅当不论是系统当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按都是随时间按确定的规律而变化的确定的规律而变化的.称一个动态系统为称一个动态系统为不确定性系统不确定性系统,或者系统的特或者

13、系统的特性和参数中包含某种不确定性性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输或者作用于系统的输入和扰动是随机变量入和扰动是随机变量 第17页/共56页2.3 2.3 由输入输出描述导出状态空间描述由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入对于单输入,单输出线性时不变系统单输出线性时不变系统,其微分方程描述其微分方程描述其传递函数描述其传递函数描述 可以导出其状态空间描述为可以导出其状态空间描述为 第18页/共56页结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=n,即系统为真情形第19页/共56页(2)mn,(2)mn,即系统为严真情

14、形即系统为严真情形 第20页/共56页例：将下列线性系统得的输入输出描述化为状态空间描述例：将下列线性系统得的输入输出描述化为状态空间描述 解：解：例：将下列线性系统得的输入输出描述化为状态空间描述例：将下列线性系统得的输入输出描述化为状态空间描述 第21页/共56页结论结论2 2 给定单输入给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出单输出线性时不变系统的输入输出描述描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1)m=0(1)m=0情形情形此时输入输出描述为此时输入输出描述为:选取选取n n个状态变量个状态变量 第22页/共56页其对应的状态空间描

15、述为其对应的状态空间描述为:(2)m=n情形情形此时输入输出描述为此时输入输出描述为:第23页/共56页a:其对应的状态空间描述为其对应的状态空间描述为:其中其中第24页/共56页b:改写为改写为 令令 第25页/共56页例：将下列线性系统得的输入输出描述化为状态空间描述例：将下列线性系统得的输入输出描述化为状态空间描述 解：解：第26页/共56页结论结论3 给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为:其极点即分母方程的根其极点即分母方程的根 为两两互异实数为两两互异实数,则其状态空间描述可按如下两类情形导出则其状态空间描述可按如下两类情形导出

16、:(1)mn(1)mn，即系统为严真情形，即系统为严真情形 对应的状态空间描述为对应的状态空间描述为 第27页/共56页(2)m=n，即系统为真情形，即系统为真情形 令令对应的状态空间描述为：对应的状态空间描述为：第28页/共56页例：将下列线性系统得的输入输出描述化为状态空间描述例：将下列线性系统得的输入输出描述化为状态空间描述 解：解：第29页/共56页由方块图描述导出状态空间描述由方块图描述导出状态空间描述例例1 1 设系统方块图如下，试列写其状态空间描述设系统方块图如下，试列写其状态空间描述 解解 上图等效为上图等效为 指定状态变量组后指定状态变量组后,列写变量间的关系方程列写变量间的

17、关系方程:第30页/共56页写成矩阵形式 例2 设单输入单输出系统的传递函数为 试列写其状态空间表达式。第31页/共56页解解 可画出系统结构图如下可画出系统结构图如下 写出变量之间的关系写出变量之间的关系 第32页/共56页写成矩阵形式写成矩阵形式 第33页/共56页2.4 2.4 状态方程的对角线型和约当规范型状态方程的对角线型和约当规范型 线性定常系统的系统矩阵线性定常系统的系统矩阵A A的的特征值特征值是表征系统的是表征系统的动力学特征的一个重要参量。动力学特征的一个重要参量。l对角线规范形对角线规范形给定系统的状态方程给定系统的状态方程系统的特征值定义为如下特征方程系统的特征值定义为

18、如下特征方程 的根。的根。一个阶数为一个阶数为n n 的系统，的系统，必有且仅有必有且仅有n n 个特征值个特征值,可可为实数或共轭复数。为实数或共轭复数。第34页/共56页特征向量是不唯一的。特征向量是不唯一的。当当n n个特征值个特征值 为两两互异时，任取的为两两互异时，任取的n n 个个特征向量特征向量 必是线性无关的。必是线性无关的。第35页/共56页结论：结论：对角规范形对角规范形,各个状态变量间实现了完全解耦各个状态变量间实现了完全解耦,可可表成为表成为n n个独立的状态变量方程。个独立的状态变量方程。如果系统矩阵如果系统矩阵A A 具有形式具有形式且其特征值两两不相等，则变换矩阵

19、为且其特征值两两不相等，则变换矩阵为第36页/共56页当特征值当特征值 中包含复数特征值时，中包含复数特征值时，都将为复数矩阵，没有实际物理含义。但不影响对系统都将为复数矩阵，没有实际物理含义。但不影响对系统结构特征的分析。结构特征的分析。l约当规范形约当规范形 系统的特征值为非互异，则状态方程一般不能变系统的特征值为非互异，则状态方程一般不能变换为对角线规范形，但可变换为准对角线规范形，即换为对角线规范形，但可变换为准对角线规范形，即约当规范形。约当规范形。给定系统的状态方程，设其特征值为给定系统的状态方程，设其特征值为1(1重重),2(2重),l(l重)则存在可逆变换矩则存在可逆变换矩阵阵

20、Q Q，通过引入变换，通过引入变换 ,可使状态方程化为如下可使状态方程化为如下的约当规范形。的约当规范形。第37页/共56页第38页/共56页结论：结论：矩阵矩阵A A的特征值为各种重数的重值时的特征值为各种重数的重值时,不能通过变换不能通过变换而实现完全解耦而实现完全解耦,约当规范形可能达到最简耦合形式。约当规范形可能达到最简耦合形式。在这种规范形中，每一个状态变量的方程和下一序在这种规范形中，每一个状态变量的方程和下一序号的状态变量构成耦合。号的状态变量构成耦合。例题：例题：导出如下给定线性时不变系统状态方程的约当标导出如下给定线性时不变系统状态方程的约当标准形。准形。第39页/共56页(

21、1)定出系统的特征向量。定出系统的特征向量。由系统特征方程由系统特征方程(s-2)(s+1)(s-1)=0得系统特征值为得系统特征值为可知，特征值两两相异，再求解可知，特征值两两相异，再求解可定出一组特征向量为可定出一组特征向量为第40页/共56页(2)构造变换阵并求逆构造变换阵并求逆(3)计算变换后系数矩阵计算变换后系数矩阵(4)定出约当规范形状态方程定出约当规范形状态方程第41页/共56页例题：例题：求如下线性时不变系统状态方程的约当标准形求如下线性时不变系统状态方程的约当标准形解：解：求二重特征值对应的特征向量求二重特征值对应的特征向量 第42页/共56页第43页/共56页特征向量的求取

22、特征向量的求取u特征值两两互异时特征值两两互异时u特征值存在重根时，例特征值存在重根时，例 为为n重根，重根，则，可得变换阵为则，可得变换阵为第44页/共56页2.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵传递函数矩阵传递函数矩阵定义：定义：单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即传递函数，即 多输入多输出线性时不变系统多输入多输出线性时不变系统,在零初始条件下在零初始条件下,输出变量输出变量拉普拉

23、斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：称称G(s)G(s)为系统的传递函数矩阵。为系统的传递函数矩阵。其中其中 第45页/共56页G(s)G(s)基于基于(A,B,C,D)(A,B,C,D)的表达式的表达式考虑连续时间线性时不变系统考虑连续时间线性时不变系统 则则G(s)G(s)的实用计算关系式的实用计算关系式令 则第46页/共56页(2)计算系数矩阵计算系数矩阵例例:给定一个线性时不变系统的状态空间描述为给定一个线性时不变系统的状态空间描述为现来计算系统的传递函数矩阵现来计算系统的传递函数矩阵G(s)。(1)计算特征多项式计算特征多项式第47页/共

24、56页(3)计算传递函数矩阵计算传递函数矩阵 第48页/共56页2.7 2.7 线性系统在坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性 坐标变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。坐标变换的几何含义和代数表征线性时不变系统状态空间描述为 引入坐标变换 则变换后系统的状态空间描述为 结论结论 第49页/共56页结论结论 线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。在线性非奇异变换下保持不变。定义：定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当

25、它们的系统矩阵之间满足状系统代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。态空间描述坐标变换中给出的关系。代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。控性、能观测性等。第50页/共56页结论结论 线性时变系统在坐标变换下的特性线性时变系统在坐标变换下的特性对线性时变系统对线性时变系统 引入坐标变换引入坐标变换 P(t)P(t)为可逆且连续可微，则变换后系统的状态为可逆且连续可微，则变换后系统的状态空间描述为空间描述为第

26、51页/共56页2.8 2.8 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间描述设设 子系统并联子系统并联 两个子系统可以实现两个子系统可以实现并联联接的条件并联联接的条件 第52页/共56页并联后并联后 子系统串联子系统串联 两个子系统可以实现串联联接的条件是：两个子系统可以实现串联联接的条件是：串联后串联后 第53页/共56页子系统反馈联接子系统反馈联接设设两个子系统实现输出反馈联接的条件是两个子系统实现输出反馈联接的条件是 反馈联接后反馈联接后 第54页/共56页课后练习课后练习 课后习题：课后习题：2.5 2.11 2.12 2.202.5 2.11 2.12 2.20第55页/共56页感谢您的观看！第56页/共56页