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1、一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为 曲顶柱体的顶为连续曲面曲顶柱体的底为连续曲面则其体积为|（根据的特征选择适当的坐标系计算）第1页/共42页若光滑曲面方程为则有若光滑曲面方程为 则有设光滑曲面二、曲面的面积第2页/共42页三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有平面域 D,并有连续密度函数则 分别位于为为其质心公式.推导如下:第3页/共42页将 D 分割,对于y轴的静力矩Dxy另一方面,设物体的质心为则所以同理当为常数时,得形心坐标：(其中A为D的面积)第4页/共42页若物体为占有空
2、间区域,则它的质心坐标为其密度为 则得形心坐标：第5页/共42页例例4.求位于两圆求位于两圆和的质心.(P171例3)解:利用对称性可知而之间均匀薄片总之,薄片的质心(形心)坐标为:第6页/共42页四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元dv 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.第7页/共42页类似可得类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量第8页/共42页如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面密度
3、为则转动惯量的表达式是二重积分.第9页/共42页例例5.求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,的转动惯量.(P172例5)第10页/共42页解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则例例6.6.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量的转动惯量.(P173)设球 所占域为(用球坐标)看教材上是怎么计算的第11页/共42页五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于P0(x0,y0,z0)质量为m质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为其中P0第12页/共42
4、页 G 为引力常数设特别地,当质点位于原点时在上积分即得各引力分量:引力元素在三坐标轴上的投影分别为第13页/共42页对 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为第14页/共42页例例7.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的质量为m质点的引力.。第15页/共42页例例8.计算二重积计算二重积分分其中D 是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线 形心坐标第16页/共42页作业作业P154 7，10,17 P175 1，3，6,11,13,14P182 2(4)，6,13,14已布置第17页/共42页习题课习题课一、重积分计算的基
5、本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 第十章 重积分的 计算 及应用 第18页/共42页一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法3.掌握确定积分限的方法 累次积分法(第一积分限的确定:)第19页/共42页利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则第20页/共42页利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分第21页/共42页方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)记作根据D
6、的情况及第一次积分的结果再将二重积分化为二次积分解:如图,且在xoy面上投影为D原式=利用直角坐标计算三重积分第22页/共42页方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)=方法特别适用于，当被积函数为的一元函数时，而截面的图形非常清楚且面积易知(记为S(z)的情况,否则一般不用方法2 解:如图第23页/共42页方法3.利用对称性 若关于yoz面(或xoz面,xoy面)对称，且f(x,y,z)为关于x(或y,z)的连续奇函数,则=0称关于x为奇函数称关于x为偶函数第24页/共42页利用柱坐标计算三重积分=化为极坐标=化为极坐标为,的函数第25页/共42页利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算
7、三重积分 第26页/共42页将三次积分先对y的三次积分：柱面坐标下的三次积分：球面坐标下的三次积分：化为如图则(1)则(2)则(3)-1第27页/共42页2(3).计算二重积计算二重积分分其中D 为圆周所围成的闭区域.解:D如图原式P182(利用极坐标)P182 2(3);4；6;7(1),(3)第28页/共42页4.其中为连续函数.P182 P182 2(3);4；6;7(1),(3)提示:左端=交换积分顺序即可证得.左边=用定积分的方法=右边D如图,第29页/共42页7.把积把积分分化为三次积分,其中由曲面解:积分域如图:原式及平面所围成的闭区域.P183(或列出的不等式)第30页/共42
8、页8(1).计算积计算积分分其中是两个球(R 0)的公共部分.提示:由于被积函数缺 x,y,原式=利用“先二后一”计算方便.P183第31页/共42页8(3).计算三重积计算三重积分分其中是由 xoy平面上曲线x=5所围成的闭区域.解:如图:原式绕 x 轴旋转而成的曲面与平面P183第32页/共42页二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号第33页/共42页例例1.计算二重积分计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.围成.第34页/共42页(2)积分域如图积分
9、域如图:将D 分为添加辅助线利用对称性,得(2)D由直线围成.第35页/共42页例例2.计算二重积计算二重积分分其中D 是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标第36页/共42页例例3.计算二重积计算二重积分分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D 为圆域把与D 分成作辅助线第37页/共42页(2)提示提示:两部分 作辅助线将D 分成第38页/共42页三、重积分的应用三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力 2.物理方面3.其它方面第39页/共42页例例4.证明证:左端=右端第40页/共42页作业作业P183 9 第41页/共42页感谢您的观看！第42页/共42页