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1、中学数学教学论中学数学教学论青岛大学师范学院数学系青岛大学师范学院数学系李明兰李明兰第八讲第八讲数学技能与数学能力数学技能与数学能力l数学技能数学技能l数学能力数学能力8.1数学技能数学技能l1、技技能能：顺顺利利完完成成某某种种任任务务的的一一种种活活动动方方式或心智活动方式，它是通过练习获得的。式或心智活动方式，它是通过练习获得的。l2、数数学学技技能能：顺顺利利完完成成数数学学活活动动任任务务的的一一种活动方式或心智活动方式。种活动方式或心智活动方式。l或或数数学学技技能能是是通通过过练练习习而而形形成成的的完完成成数数学学活动所必需的活动方式或步骤。活动所必需的活动方式或步骤。l或或定
2、定义义为为：迅迅速速而而正正确确地地完完成成数数学学活活动动的的步骤或程序。步骤或程序。l数数学学技技能能在在形形式式上上可可分分为为外外部部操操作作技技能能和和内内部部心智技能心智技能两类。两类。l在在完完成成某某一一活活动动时时，涉涉及及一一系系列列外外部部可可见见的的实实际际动动作作，这这些些动动作作有有顺顺序序地地组组织织起起来来并并顺顺利利地地进进行行时时，就就称称为为外外部部操操作作技技能能。比比如如，作作图图的的技能，操作计算机的技能等。技能，操作计算机的技能等。l内内部部心心智智技技能能是是顺顺利利完完成成某某一一项项数数学学活活动动的的心心智智活活动动方方式式，是是指指借借助
3、助内内部部言言语语在在头头脑脑中中进进行行的的认认知知活活动动，它它包包括括感感觉觉、直直觉觉、想想象象、思思维维等。等。l3、数学技能的形成过程、数学技能的形成过程l一般认为数学技能的形成过程包括四个阶段：一般认为数学技能的形成过程包括四个阶段：l认知、示例模仿、外部言语、自动化认知、示例模仿、外部言语、自动化。l（1）认认知知阶阶段段（奠奠定定基基础础阶阶段段）：理理解解、掌掌握握与与数数学学活活动动有有关关的的数数学学知知识识，理理解解操操作作的的条条件和操作的结果。件和操作的结果。l（2）示例模仿阶段示例模仿阶段l教师示范，在这一过程中，教师不仅要示范操教师示范，在这一过程中，教师不仅
4、要示范操作过程，而且要用精练的语言解释执行操作的作过程，而且要用精练的语言解释执行操作的条件。注意及时反馈，使学生注意到操作过程条件。注意及时反馈，使学生注意到操作过程中的错误原因，及时纠正错误。中的错误原因，及时纠正错误。l（3）外部言语阶段外部言语阶段l学学生生不不再再依依靠靠范范例例的的指指引引而而是是依依靠靠数数学学活活动动经经验的指引就能进行相应的活动。边说边做。验的指引就能进行相应的活动。边说边做。l（4）自动化阶段自动化阶段l学学生生可可以以自自觉觉地地、无无意意识识地地进进行行数数学学活活动动，遇遇到类似的数学活动就能立即正确地完成。到类似的数学活动就能立即正确地完成。l4、数
5、学技能教学设计中应注意的几个问题、数学技能教学设计中应注意的几个问题l（1）应注意使学生理解、掌握与数学技能有）应注意使学生理解、掌握与数学技能有关的知识关的知识.l（2)应注意练习的效率应注意练习的效率.l（3）注意发展学生的数学能力）注意发展学生的数学能力l5、数学技能训练的途径、数学技能训练的途径l数学技能是通过课内外的练习而获得的。数学技能是通过课内外的练习而获得的。l（1）对对练练习习要要加加强强指指导导，提提供供有有效效练练习习的的条条件件。这这些些条条件件包包括括：明明确确练练习习的的目目的的和和要要求求；练练习习必必须须有有计计划划、有有步步骤骤地地进进行行；练练习习要要抓抓住
6、住关关键键；练练习方式要多样化。习方式要多样化。l（2）外外部部操操作作技技能能的的训训练练要要使使学学生生形形成成正正确确动动作作的视觉形象与动觉表象的结合，并促进其转化。的视觉形象与动觉表象的结合，并促进其转化。l（3）培培养养学学生生良良好好的的思思维维方方法法和和思思维维品品质质，促促进进内部心智技能的形成和提高。内部心智技能的形成和提高。l培培养养学学生生认认真真思思考考和和独独立立思思考考的的能能力力；通通过过讲讲解解和和示示范范，引引导导学学生生掌掌握握解解决决数数学学问问题题的的原原则则、方方法法、途途径径和和步步骤骤，培培养养学学生生思思维维的的逻逻辑辑性性和和推推理理的的严
7、严密密性性；要要注注意意形形成成学学生生概概括括性性等等多多种种联联想想，培培养养学学生生的的概概括括能能力力和和思思维维的的灵灵活活性性品品质质，使使他他们们的的技技能能能能够够广广泛泛迁迁移。移。8.2数学能力数学能力l一、能力一、能力l能能力力是是指指完完成成某某种种活活动动的的本本领领，包包括括完完成成某某种种活活动动的的具具体体方方式式以以及及顺顺利利成成功功地地完完成成某某种种活活动动所必需的个性心理特征。所必需的个性心理特征。l传统心理学把能力分为传统心理学把能力分为一般能力一般能力和和特殊能力特殊能力.l一一般般能能力力是是指指在在各各种种活活动动中中所所表表现现出出来来的的基
8、基本本能力，如观察力、注意力、记忆力等能力，如观察力、注意力、记忆力等.l特殊能力特殊能力是在某种专业活动中表现出来的能力是在某种专业活动中表现出来的能力.二、数学能力二、数学能力l几种具有代表性的观点：几种具有代表性的观点：l瑞瑞典典心心理理学学家家魏魏德德林林（Werdelin)在在数数学学能能力一书中曾给数学能力下过这样的定义：力一书中曾给数学能力下过这样的定义：l“数数学学能能力力是是理理解解数数学学的的(以以及及类类似似的的)问问题题、符符号号、方方法法和和证证明明本本质质的的能能力力,是是学学会会它它们们、在在记记忆忆中中保保持持和和再再现现它它们们的的能能力力;是是把把它它们们同
9、同其其它它问问题题、符符号号、方方法法和和证证明明结结合合起起来来的的能能力力;也也是是在在解解数数学学的的(或或类类似似的的)课课题题时时应应用用它它们们的的能能力力。”l前苏联教育心理学家克鲁捷茨基提出中小学数学前苏联教育心理学家克鲁捷茨基提出中小学数学能力结构大致为：能力结构大致为：l1)概括数学材料的能力概括数学材料的能力;l2)使数学材料形式化的能力使数学材料形式化的能力;l3)运用数学和其它符号进行运算的能力运用数学和其它符号进行运算的能力;l4)“连续而有节奏的逻辑推理连续而有节奏的逻辑推理”的能力的能力;l5)简缩数学推理过程和相应的运算系统的能力简缩数学推理过程和相应的运算系
10、统的能力;l6)从正向思维序列转到逆向思维序列的能力从正向思维序列转到逆向思维序列的能力;l7)思维的灵活性思维的灵活性;l8)对典型的推理的运算模式的概括和记忆能力对典型的推理的运算模式的概括和记忆能力;l9)形成空间概念的能力形成空间概念的能力;l德国一些学者认为中小学学生的数学能力是由德国一些学者认为中小学学生的数学能力是由六个方面组成的六个方面组成的:l一是发现特征的能力一是发现特征的能力;l二是比较区别的能力二是比较区别的能力;l三是对应能力三是对应能力;l四是按规定代换与变化的能力四是按规定代换与变化的能力;l五是分类与综合能力五是分类与综合能力;l六是排列能力。六是排列能力。l我
11、我国国学学者者林林崇崇德德教教授授，从从思思维维角角度度分分析析数数学学能能力的结构：力的结构：l数数学学能能力力是是以以概概括括为为基基础础，将将运运算算能能力力、空空间间想想象象能能力力、逻逻辑辑思思维维能能力力与与思思维维的的深深刻刻性性、灵灵活活性性、独独创创性性、批批判判性性、敏敏捷捷性性所所组组成成的的开开放放动态系统结构动态系统结构.l李李镜镜流流在在教教育育心心理理学学新新探探一一书书中中认认为为数数学学能力结构分为三个方面。能力结构分为三个方面。l1)认认识识:包包括括对对数数的的概概念念、符符号号、图图形形、数数量量关系以及空间形式的认识。关系以及空间形式的认识。l2)操操
12、作作:包包括括对对解解题题思思路路、解解题题程程序序和和表表达达及及逆运算的操作。逆运算的操作。l3)策策略略:包包括括解解题题直直觉觉、解解题题方方式式方方法法、解解题题速度及准确性、创造性、自我检查、评定等。速度及准确性、创造性、自我检查、评定等。l数数学学能能力力是是指指顺顺利利完完成成数数学学活活动动所所具具备备的的、直直接影响其活动效率的个性心理特征。接影响其活动效率的个性心理特征。l观观察察力力、注注意意力力、记记忆忆力力是是数数学学能能力力的的必必要要成成分，称为分，称为数学一般能力数学一般能力；l运运算算能能力力、空空间间想想象象能能力力、逻逻辑辑思思维维能能力力与与非非逻逻辑
13、辑思思维维能能力力、数数学学语语言言能能力力、解解决决实实际际问问题题的的能能力力称称为为数数学学特特殊殊能能力力.它它们们是是构构成成数数学学能能力的主要成分力的主要成分.l数学特殊能力数学特殊能力:l1、数学运算能力数学运算能力l是指能根据运算法则和性质是指能根据运算法则和性质,合理、简捷、灵合理、简捷、灵活、正确地完成数学运算的能力。活、正确地完成数学运算的能力。l(中学数学运算及运算能力中学数学运算及运算能力P24)l数学运算能力的特点数学运算能力的特点l（1）综合性）综合性l它不能单独存在，而与观察能力、记忆能力、它不能单独存在，而与观察能力、记忆能力、推理能力、表达能力以及空间想象
14、能力等相互推理能力、表达能力以及空间想象能力等相互联系。联系。l（2）层次性）层次性l运算能力的发展总是从简单到复杂、从低级到运算能力的发展总是从简单到复杂、从低级到高级，从具体到抽象有层次地逐步发展。高级，从具体到抽象有层次地逐步发展。l培养数学运算能力的要求：培养数学运算能力的要求：l（1）要要掌掌握握有有关关运运算算的的知知识识；（2）要要善善于于分分析析运运算算对对象象的的特特点点和和性性质质；（3）要要善善于于运运用用运运算算规规律律和和法法则则，灵灵活活地地变变换换运运算算程程序序，选选择择最最优优的的运运算算方方法法；（4）具具备备熟熟练练的的运运算算技技巧巧，准准确确、迅迅速速
15、地地进进行行运运算算；（5）在在运运算算过过程程中中要要善善于于思思考考，正正确确运运用用逻逻辑辑方方法法进进行行推推理理，保保证运算的合理性。证运算的合理性。l2、空间想象能力、空间想象能力l数数学学中中的的空空间间想想象象力力,是是指指对对客客观观事事物物的的空空间间形式进行观察、分析和抽象的思维能力。形式进行观察、分析和抽象的思维能力。l初高中空间想象能力要求初高中空间想象能力要求(P24-25)l全全日日制制义义务务教教育育数数学学课课程程标标准准中中对对空空间间观观念念的的解解释释：能能由由实实物物的的形形状状想想象象出出几几何何图图形形，由由几几何何图图形形想想象象出出实实物物的的
16、形形状状，进进行行几几何何体体与与其其三三视视图图、展展开开图图之之间间的的转转化化；能能根根据据条条件件做做出出立立体体模模型型或或画画出出图图形形；能能从从较较复复杂杂的的图图形形中中分分解解出出基基本本的的图图形形，并并能能分分析析其其中中的的基基本本元元素素及及其其关关系系；能能描描述述实实物物或或几几何何图图形形的的运运动动和和变变化化；能能采采用用适适当当的的方方式式描描述述物物体体间间的的位位置置关关系系；能能运运用用图图形形形形象象地地描描述述问问题题，利利用用直直观观来来进进行行思考。思考。l普普通通高高中中数数学学课课程程标标准准中中对对空空间间想想象象能能力力的的解解释释
17、：能能由由实实物物形形状状想想象象出出几几何何图图形形，由由几几何何图图形形想想象象出出实实物物的的形形状状；能能够够想想象象几几何何图图形形的的运运动动与与变变化化；能能从从复复杂杂的的图图形形中中区区分分出出基基本本图图形形，并并能能分分析析其其中中的的基基本本元元素素及及其其关关系系；能能够够根根据据条条件件作作出出或或画画出出图图形形；会会形形象象地地揭揭示示问问题本质。题本质。l对空间想象能力有下面三个方面的要求对空间想象能力有下面三个方面的要求l1）对对基基本本的的几几何何图图形形(平平面面与与立立体体)必必须须非非常常熟熟悉悉,能能正正确确画画图图,能能分分析析出出基基本本图图形
18、形的的基基本本结结构和度量关系。构和度量关系。l2）根根据据题题意意想想象象出出形形体体的的形形状状、大大小小、内内部部结构结构,从而正确画出直观图。从而正确画出直观图。l3）根根据据给给出出的的立立体体图图形形,想想象象出出物物体体的的真真实实形形状状、几几何何元元素素在在空空间间的的实实际际位位置置关关系系和和度度量量关关系系,并并能能用用语语言言符符号号或或式式子子表表达达出出来来,从从而而正正确确解题。解题。l培养空间想象能力的途径培养空间想象能力的途径：l(1)运用实物模型进行直观教学；运用实物模型进行直观教学；l(2)准确地讲清概念、图形结构；准确地讲清概念、图形结构；l(3)加强
19、识图和画图训练；加强识图和画图训练；l直直观观图图是是发发展展空空间间想想象象力力的的关关键键，比比如如对对初初学学立立体体几几何何者者来来讲讲能能否否正正确确画画出出直直观观图图,是是学学生生空空间间概概念念的的重重要要指指标标。教教学学时时应应注注意意以以下下几几点点:1）教教师师画画图图一一定定要要按按照照画画图图的的法法则则,作作出出示示范范,使使学学生生掌掌握握画画直直观观图图的的方方法法和和要要领领。2）画画图图要要根根据据具具体体问问题去构思题去构思想象想象作图。作图。l(4)运用形数结合方法丰富学生空间能力运用形数结合方法丰富学生空间能力。l数数具具有有概概括括和和抽抽象象的的
20、特特征征，形形具具有有具具体体化化和和形形式式化化的的特特点点。数数形形结结合合是是直直观观与与抽抽象象，感感知知与与思思维维的结合。的结合。l3、逻辑思维能力与非逻辑思维能力：、逻辑思维能力与非逻辑思维能力：l中学数学中的中学数学中的逻辑思维能力逻辑思维能力，是指根据正确的，是指根据正确的思维规律和形式，对数学对象的属性进行分析思维规律和形式，对数学对象的属性进行分析综合，抽象概括，推理论证的能力。综合，抽象概括，推理论证的能力。l逻辑思维能力是数学诸能力的核心。逻辑思维能力是数学诸能力的核心。l逻辑思维能力的培养：逻辑思维能力的培养：l(1)重视数学概念教学重视数学概念教学,正确理解数学概
21、念；正确理解数学概念；l(2)要重视逻辑初步知识的教学要重视逻辑初步知识的教学；l(3)通过解题训练通过解题训练,培养学生的逻辑思维能力。培养学生的逻辑思维能力。l首先首先,要让学生熟悉演绎推理的基本模式要让学生熟悉演绎推理的基本模式三段三段论论(大前提大前提小前提小前提结论结论)。l其次初学平面几何其次初学平面几何,要训练学生语言表达的准确性要训练学生语言表达的准确性,严格按照三段论式进行基本的推理训练严格按照三段论式进行基本的推理训练,并逐步并逐步过渡到通常使用的省略三段论式。过渡到通常使用的省略三段论式。l非逻辑思维能力：非逻辑思维能力：l是是指指不不按按固固定定的的逻逻辑辑程程序序进进
22、行行，不不受受特特定定的的逻逻辑辑规规则则约约束束，对对思思考考对对象象的的属属性性与关系直接做出判断的思维方式。与关系直接做出判断的思维方式。l非非逻逻辑辑思思维维主主要要是是指指形形象象思思维维与与直直觉觉思思维维。l三、知识、技能、能力之间的关系三、知识、技能、能力之间的关系l区区别别：涵涵义义不不同同（略略），概概括括的的对对象象也也不不同同。知知识识是是经经验验的的概概括括，技技能能是是一一系系列列行行为为方方式式的的概概括括，能力则是对思想材料进行加工的活动过程的概括。能力则是对思想材料进行加工的活动过程的概括。l联联系系：三三者者之之间间紧紧密密相相关关、互互相相依依存存、互互相
23、相促促进进。掌掌握握一一定定的的数数学学知知识识，是是学学好好基基本本技技能能的的前前提提，而而数数学学基基础础知知识识只只有有通通过过训训练练转转化化为为技技能能，才才能能得得到到巩巩固固和和应应用用，并并且且一一定定的的基基本本技技能能又又为为获获得得新新的的知知识识提提供供基基础础。能能力力是是在在知知识识的的学学习习和和技技能能的的训训练练过过程程中中通通过过有有意意识识的的培培养养而而得得到到发发展展的的。同同时时，能能力力的的提提高高又又会会促促进进知知识识的的深深刻刻理理解解和和技技能的迅速掌握。能的迅速掌握。数学解题数学解题解解题题是是使使学学生生牢牢固固掌掌握握数数学学知知识
24、识和和基基本本技技能能,发展数学能力的基本途径发展数学能力的基本途径.l一、数学问题的分类：一、数学问题的分类：l1、按按数数学学问问题题提提出出时时的的背背景景及及问问题题本本身身对对数数学学的的影影响响,数数学学问问题题可可分分为为两两大大类类,即即常常规规问问题题和和非非常规问题。常规问题。l所所谓谓常常规规问问题题是是指指那那些些在在已已有有理理论论框框架架内内可可以以解解决决的的问问题题。如如教教科科书书里里的的定定理理、公公式式及及例例题题、习习题都是常规问题。题都是常规问题。l而而非非常常规规问问题题则则是是指指按按照照原原有有理理论论框框架架已已无无法法解解决决的的问问题题,它
25、它的的解解决决常常伴伴随随着着新新方方法法、新新理理论论、新思想的产生。新思想的产生。l2、按其内容和解法的不同可分为运算题、证、按其内容和解法的不同可分为运算题、证明题、作图题和应用题明题、作图题和应用题;l3、按其在教学中的形式和作用可分为例题、按其在教学中的形式和作用可分为例题、练习题、复习题、提问题、思考题、讨论题、练习题、复习题、提问题、思考题、讨论题、研究题、游戏题和竞赛题等。研究题、游戏题和竞赛题等。l4、按按解解题题者者形形成成的的问问题题空空间间类类型型划划分分数数学学问题：问题：l（1）标标准准题题：如如果果解解题题者者明明确确某某个个数数学学题题的的起起始始状状态态、目目
26、标标状状态态和和达达到到目目标标状状态态的的途途径径，那那么么相相对对于于解解题题者者而而言言，这这个个数数学学问问题题称称为为标标准题。准题。l（2）变变式式题题：如如果果解解题题者者明明确确某某个个数数学学题题的的起起始始状状态态、目目标标状状态态和和达达到到目目标标状状态态的的途途径径，但但是是解解题题者者还还需需要要从从两两种种或或两两种种以以上上达达到到目目标标状状态态的的途途径径中中进进行行选选择择，那那么么相相对对于于解解题题者者而而言，这个数学问题称为变式题。言，这个数学问题称为变式题。l（3）探探究究题题：如如果果解解题题者者明明确确某某个个数数学学题题的的起起始始状状态态和
27、和目目标标状状态态但但不不知知如如何何达达到到目目标标，那那么么相相对对于于解解题题者者而而言言，这这个个数数学学问问题题称称为为探探究究题。题。l（4）开开放放题题：如如果果解解题题者者只只明明确确数数学学题题的的起起始始状状态态，或或目目标标状状态态，或或达达到到目目标标状状态态的的途途径径而而且且只只明明确确一一个个，那那么么相相对对于于解解题题者者而而言言，这这个数学问题称为开放题。个数学问题称为开放题。l二、数学解题过程二、数学解题过程l包括审题、解题计划的制定、解答的表达和解包括审题、解题计划的制定、解答的表达和解题后的反思。题后的反思。l介绍美籍匈牙利数学家、教育家介绍美籍匈牙利
28、数学家、教育家乔治乔治波利亚波利亚（George Polya)的的“解题表解题表”l弄清问题；弄清问题；l拟订计划；拟订计划；l实施计划；实施计划；l回顾回顾.l弄清问题：弄清问题：l（1）已知是什么？未知是什么？）已知是什么？未知是什么？l（2）条件是什么？结论是什么？）条件是什么？结论是什么？l（3）画个草图，引入适当的符号。）画个草图，引入适当的符号。l拟订计划：拟订计划：l（1）你见过这道题或与之类似的题吗？）你见过这道题或与之类似的题吗？l（2）你能联想起有关的定理或公式吗？）你能联想起有关的定理或公式吗？l（3）再看看未知数！）再看看未知数！l（4）换一个方式来叙述这道题。）换一个
29、方式来叙述这道题。l（5）回到定义看看！）回到定义看看！l（6）先解决一个特例试试。）先解决一个特例试试。l（7）这个问题的一般形式是什么？）这个问题的一般形式是什么？l（8）你能解决问题的一部分吗？）你能解决问题的一部分吗？l（9）你用了全部条件吗？）你用了全部条件吗？实施计划：实施计划：（1）实现你的解题计划并检验每一步骤。）实现你的解题计划并检验每一步骤。（2）证明你的每一步都是正确的。）证明你的每一步都是正确的。回顾：回顾：（1）检查结果并检验其正确性。）检查结果并检验其正确性。（2）换一个方法做做这道题。）换一个方法做做这道题。（3）尝试把你的结果和方法用到其他问题上去。）尝试把你的
30、结果和方法用到其他问题上去。三、数学解题能力的培养三、数学解题能力的培养1、使学生明确解题要求、使学生明确解题要求2、使学生熟悉解题步骤、使学生熟悉解题步骤 审题、探索解法、整理叙述、检查验算审题、探索解法、整理叙述、检查验算3、使学生掌握解题原则、使学生掌握解题原则 一般认为，数学解题应遵循四条基本原则：简单化一般认为，数学解题应遵循四条基本原则：简单化原则、熟悉化原则、直观性原则和间接性原则原则、熟悉化原则、直观性原则和间接性原则4、使学生学会引申拓广、使学生学会引申拓广5、使学生积累解题经验、使学生积累解题经验l四、解题教学设计中应该注意的几个问题四、解题教学设计中应该注意的几个问题l详见详见P143