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1、随机分析补充知识第1页，共42页，编辑于2022年，星期三第一节第一节 二阶矩过程二阶矩过程一、定义一、定义则称为二阶矩过程。则称为二阶矩过程。Home第2页，共42页，编辑于2022年，星期三解由于 和V都服从正态分布，所以 也具有正态分布，例例1其中 和V是相互独立且都服从正态分布N（0，1）的随机变量，且Home第3页，共42页，编辑于2022年，星期三二、性质二、性质二阶矩过程的协方差函数一定存在证由许瓦兹不等式得故即二阶矩过程 的协方差函数存在注注Home第4页，共42页，编辑于2022年，星期三说明说明在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零，这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同。返
2、回Home第5页，共42页，编辑于2022年，星期三第二节第二节 均方极限均方极限一、均方收敛一、均方收敛定义定义1设随机变量序列 ，n=1,2,和随机变量X都存在二阶矩，如果则称 均方收敛于X，或称X是 的均方极限记作或简记为Home第6页，共42页，编辑于2022年，星期三二、均方收敛准则二、均方收敛准则定理定理1柯西准则则 均方收敛的充要条件为证证只证必要性因为 均方收敛于X，所以有Home第7页，共42页，编辑于2022年，星期三又由所以故故Home第8页，共42页，编辑于2022年，星期三注注等价等价存在其说明随机变量序列 均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛。三、均
3、方收敛性质三、均方收敛性质性质性质1若则证由许瓦兹不等式得因故得证注当 均方收敛于X时，的期望收敛于X的期望Home第9页，共42页，编辑于2022年，星期三性质性质2若则证证由许瓦兹不等式得因故得证Home第10页，共42页，编辑于2022年，星期三性质性质3若则对任意常数a、b都有证证因为故得证Home第11页，共42页，编辑于2022年，星期三性质性质4若则注注因=证证于是即Home均方极限的唯一性均方极限的唯一性第12页，共42页，编辑于2022年，星期三解由Cauchy准则，在级数 收敛的条件下，可得均方收敛。例例2Home第13页，共42页，编辑于2022年，星期三第三节第三节 均
4、方连续性均方连续性均方收敛均方收敛定义定义1即则称 在点t均方连续。一、均方连续一、均方连续称称 在在 时均方收敛于时均方收敛于Home第14页，共42页，编辑于2022年，星期三二、均方连续准则二、均方连续准则定理定理1则证证充分性则所以Home第15页，共42页，编辑于2022年，星期三再证必要性又由均方收敛性质2得定理2证由定理1知，Home第16页，共42页，编辑于2022年，星期三再由均方收敛性质2，得即Home第17页，共42页，编辑于2022年，星期三定理定理3则证由均方连续定义从而说明在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右
5、边表示均方收敛意义下的极限。Home第18页，共42页，编辑于2022年，星期三第四节第四节 均方导数均方导数一、均方导数的定义一、均方导数的定义定义定义1如果均方极限存在则称 在t处均方可微，并将此极限记作即有或Home第19页，共42页，编辑于2022年，星期三二次均方可微二阶均方导数定义定义2广义二次可微存在Home第20页，共42页，编辑于2022年，星期三二、均方可微准则二、均方可微准则定理定理1证证由均方收敛准则知的充要条件是存在而存在Home第21页，共42页，编辑于2022年，星期三三、均方导数的性质三、均方导数的性质性质性质1性质性质2Home第22页，共42页，编辑于202
6、2年，星期三性质性质3性质性质4证1设设 在在t处均方可微，则处均方可微，则 在在t处均方连续。处均方连续。第23页，共42页，编辑于2022年，星期三其它类似可证性质性质5Home第24页，共42页，编辑于2022年，星期三四、四、1证注均方导数 的均值等于均值函数的导数。而 为普通意义下的确定性函数，故可用分析的方法求导。Home第25页，共42页，编辑于2022年，星期三2.证Home第26页，共42页，编辑于2022年，星期三注注求偏导数得到。3证明证明Home第27页，共42页，编辑于2022年，星期三即同理可得又因故Home第28页，共42页，编辑于2022年，星期三注注随机过程
7、的相关函数求两次混合偏导数。例例1证明证明返回Home第29页，共42页，编辑于2022年，星期三第五节第五节 均方积分均方积分一、均方黎曼可积一、均方黎曼可积定义定义1 分割作和式如果则称并称记作即Home第30页，共42页，编辑于2022年，星期三二、均方可积准则二、均方可积准则定理定理1即黎曼积分存在证证由均方收敛准则可知，即存在Home第31页，共42页，编辑于2022年，星期三如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分Home第32页，共42页，编辑于2022年，星期三定理定理2证明证明由定理1知，三、均方积分的性质三、均方积分的性质性质性质1Home第33页，共42页，编辑于2022年
8、，星期三性质性质2其中性质性质3Home第34页，共42页，编辑于2022年，星期三性质性质4性质性质5（均方可积的唯一性）四、均方积分的数字特征四、均方积分的数字特征1随机过程 积分的期望Home第35页，共42页，编辑于2022年，星期三证证注注1注注2Home第36页，共42页，编辑于2022年，星期三2均方积分的方差及协方差函数则证证Home第37页，共42页，编辑于2022年，星期三注注同样可以证明3均方积分的自相关函数及互相关函数则Home第38页，共42页，编辑于2022年，星期三证证只证明其他类似可证Home第39页，共42页，编辑于2022年，星期三例例解在定义中可取则所以Home第40页，共42页，编辑于2022年，星期三Home本章小结本章小结均方连续均方连续均方可导均方可导均方可积均方可积二阶矩变量空间二阶矩变量空间连续性连续性广义二次可导广义二次可导可积性可积性均方收敛均方收敛相关函数相关函数第41页，共42页，编辑于2022年，星期三Home作业作业第42页，共42页，编辑于2022年，星期三