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1、人教B版（2019）选择性必修第三册5.2 等差数列提升训练一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）在等差数列an中，a1+3a8+a15=60，则a2a8+a14等于()A. 10B. 12C. 11D. 42.（5分）设Sn为等差数列an的前n项和，若S9=36，则(a2+a8)2a5=()A. 60B. 30C. 12D. 43.（5分）若一个三角形的三个内角成等差数列，且最小内角为30度，则最大内角的度数是()A. 120B. 90C. 80D. 604.（5分）设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn.若a2+am=18，S13=117，则m=()A. 10B. 11C
2、. 12D. 135.（5分）等差数列an的前5项和为30，最后5项和为120，且所有项的和为750，则它的项数为()A. 13B. 30C. 50D. 606.（5分）设an是公差不为0的等差数列，满足a42+a52=a62+a72，则an的前10项和S10=()A. 10B. 5C. 0D. 57.（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，S170，S180，a4+a110，a7.a8S9C. 当n=7时，Sn最大D. 当Sn0时，n的最大值为1412.（5分）设等差数列an(nN)的公差为d，前n项和为Sn，则Sn+1Sn(nN)的充分条件是()A. a10B. d0C. a10且d0D.
3、 a1+d0且d013.（5分）2021泰州中学高二期初检测已知等差数列an的首项为1,公差d=4,前n项和为Sn,则下列结论成立的有( )A. 数列Snn的前10项和为100B. 若a1,a3,am成等比数列,则m=21C. 若i=1n1aiai+1,则n的最小值为6D. 若am+an=a2+a10,则1m+16n的最小值为2512三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）等差数列an的通项公式为an=2n8，下列四个命题1：数列an是递增数列；2：数列 nan是递增数列；3：数列ann是递增数列；4：数列an2是递增数列其中真命题的是_.15.（5分）已知等差数列an的前n项和
4、为sn，并且s100，s110，若SnSk对nN恒成立，则正整数k的值为_16.（5分）一个直角三角形的三条边的长度成等差数列，则该直角三角形的内角中最小角的余弦值是 _.17.（5分）在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=90，则数列an的前9项的和为 _ .18.（5分）等差数列通项公式为an=2n7,nN，公差为d，则a1d=_ .四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知在等差数列an中，已知a4=6，a8=6，求an.及其前n项和Sn的最值20.（12分）已知数列an，Sn=n2+2n，求(1)a1，a2，a3的值(2)通项公式an21.（12分） 设等
5、差数列 的前 n 项和为 ，且 (1)求数列 的通项公式； (2)设数列 的前 项和为 ，求 的值22.（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，bcosC与ccosB的等差中项为acosB.(1)求B；(2)若a+c=6，ABC的面积S=3，求边b.23.（12分）已知二次函数y=f(x)的图象的顶点坐标为(1,13)，且过坐标原点O.数列an的前n项和为Sn，点(n,Sn)(nN)在二次函数y=f(x)的图象上()求数列an的通项公式；()设bn=anan+1cos(n+1)，(nN)，数列bn的前n项和为Tn，若Tntn2对nN恒成立，求实数t的取值范围；()在数列an中
6、是否存在这样一些项：an1，an2，an3，ank，(1=n1n2n3nk,kN)，这些项都能够构成以a1为首项，q(0q0,a9+a100，得a90，又S18=18a1+a182=9a9+a100，则a9+a100，a100，则(Sn)max=S9，且a9是正数项中的最小项，则S1a1，S2a2，S15a15中最大的项为S9a9，故选C.8.【答案】B;【解析】解：S10=1，S30=5，由等差数列的定义和性质可得，S10、S20S10、S30S20，S40S30成等差数列，S10=1，S30=5，2(S20S10)=S10+S30S20，S20=83，2(S30S20)=S20S10+S4
7、0S30，S40=8.故选：B.由等差数列的定义和性质可得，S10、S20S10、S30S20，S40S30成等差数列，由此求得S40的值设此题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题9.【答案】BD;【解析】此题主要考查数列的递推关系，裂项相消法的应用，属于较难题.根据数列的递推关系F(n+2)=F(n+1)+F(n)以及裂项相消法逐一分析各选项即可.解：对于A，因为F2nFn1Fn+1=F2nFn1Fn+Fn1=FnFnFn1F2n1=Fn1+Fn2Fn2F2n1=F2n2+Fn1Fn2Fn1=F2n2Fn1Fn3(其中n4)，所以F(8)2F(7)F(9)=
8、F(6)2F(5)F(7)=.=F(2)2F(1)F(3)=1，故A错误；对于B，F8F6F5F4F3F2F1=F7F5F4F3F2F1=F6F4F3F2F1=F5F3F2F1=F4F2F1=F3F1=21=1，故B正确；对于C，F2=F3F1，F4=F5F3，.F2n=F2n+1F2n1，将以上n个式子相加可得F(2)+F(4)+F(2n)=F(2n+1)F(1)=F(2n+1)1，故C错误；对于D，F21=F1F2，F22=F2F3F1F2，F23=F3F4F2F3，.F2n=FnFn+1Fn1Fn，将以上n个式子相加可得F(1)2+F(2)2+F(n)2=F(n).F(n+1)，故D正确
9、；故选BD.10.【答案】AD;【解析】此题主要考查等差数列的性质以及求和公式的应用，属于基础题.推导出5a6=20，从而S11=112(a1+a11)=11a6=44，即可得解解：等差数列an的前n项和是Sn，且a4+a5+a6+a7+a8=20，a4+a5+a6+a7+a8=5a6=20，a6=4，S11=112(a1+a11)=11a6=44，可得：a6是常数，S11是常数，故选：AD.11.【答案】BCD;【解析】此题主要考查了等差数列的通项公式以及等差数列的求和，是中档题.利用等差数列的性质可知a4+a11=a7+a8，进而得出d0，a80，a4+a11=a7+a8，a10，a7.a
10、80，a80，公差d0，数列an是递减数列，A错误；S9S6=a7+a8+a9=3a8S9，B正确；a70，a80，a70，a80，S15=15(a1+a15)2=152a820时，n的最大值为14，D正确.故选：BCD.12.【答案】CD;【解析】解：Sn+1snSn+1Sn0an+10，只要能得到数列从第二项开始为正的条件都符合题意，d0，CD符合，AB不符合，故选：CD.先得到an+10，再结合充分条件的定义判断即可此题主要考查充分条件的判断，考查等差数列的性质，属于基础题13.【答案】AB;【解析】由题设可得an=1+4n1=4n3,Sn=n(1+4n3)2=n2n1,Snn=2n1，
11、则数列Snn是首项为1,公差为2的等差数列,其前10项和为101+192=100,故选项A正确;若a1,a3,am成等比数列，则a32=a1am,即81=4m3,解得m=21,故选项B正确;1anan+1=14n34n+1=1414n314n+1,所以i=1n1aiai+1=14115+1519+14n314n+1=14114n+1,由i=1n1aiai+1625可得n6,故选项C错误;若am+an=a2+a10,由等差数列的性质知,m+n=12,n,mN,所以1m+16n=112(1m+16n)(n+m)=112nm+16mn+1711224+17=2512此时等号取不到,即1m+16n25
12、12,故选项D错误.故选AB.14.【答案】1，3;【解析】此题主要考查数列的函数特性的应用，是基础题，解题时要注意函数的单调性的灵活运用，利用函数的单调性直接进行判断，从而得出结论，属于基础题解：等差数列an的通项公式为an=2n8，数列an是递增数列，故1是真命题；nan=2n28n=2n228，数列 nan是先减后增数列，故2是假命题；ann=28n，数列ann是递增数列，故3是真命题；an2=4n232n+64=4n42，数列an2是先减后增数列，故4是假命题故答案为：1，3.15.【答案】5;【解析】解：由题意可得S10=10(a1+a10)2=5(a1+a10)=5(a5+a6)0
13、，a5+a60，同理可得S11=11a60，a60可得a50，故S5是Sn中的最大值，k=5故答案为：5由求和公式和性质可得a50，a60，a60是解答该题的关键，属基础题16.【答案】45;【解析】解：设直角三角形的三边为a，b，c，不妨设abc，根据题意可得2b=a+c，且a2+b2=c2，a2+(a+c)24=c2，即5a2+2ac3c2=0，则c=53a，又b=a+c2=a+53a2=43a，cosA=b2+c2a22bc=(43a)2+(53a)2a22(43a)(53a)=45.故答案为：45.设直角三角形的三边为a，b，c，不妨设abc，根据题意可得2b=a+c，且a2+b2=c
14、2，从而利用a2+(a+c)24=c2，b=a+c2=a+53a2即可得到c=53a，43a，进一步利用cosA=b2+c2a22bc进行求解即可此题主要考查余弦定理，涉及等差中项的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题17.【答案】162;【解析】此题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式，属于中档题由条件利用等差数列的性质求得a5=18，再根据等差数列an的前9项的和S9=9(a1+a9)2=9a5，计算求得结果解：在等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7=90=5a5，a5=18，数列an的前9项的和为S9=9(a1+a9)2=9a5=162，故答案为：
15、162.18.【答案】-7;【解析】解：等差数列通项公式为an=2n7,nN，a1=217=5，a2=227=3，则d=a2a1=2，a1d=52=7.故答案为：7.由等差数列的通项公式求得前两项，进一步求得公差，则答案可求此题主要考查等差数列的通项公式，是基础的计算题19.【答案】解：（1）因为a4=-6，a8=6，d=a8a484=6+64=3，an=a4+（n-4）d=-6+3（n-4）=3n-18；（2）Sn=15+3n182n=3n233n2，结合二次函数的性质可知，当n=5或n=6时，Sn取得最小值，没有最大值，S5=S6=-45;【解析】(1)由已知结合等差数列的性质先求出公差d
16、，进而可求通项公式； (2)结合等差数列的求和公式先求出sn.然后利用二次函数的性质即可求解和的最小值这道题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题20.【答案】解：(1)数列an，Sn=n2+2n，a1=S1=12+21=3，a2=S2S1=(22+22)3=5a3=S3S2=(32+23)8=7(2)当n2时，an=SnSn1=n2+2n(n1)2+2(n1)=2n+1，当n=1时，S1=a1=3符合上式，an=2n+1;【解析】(1)由数列an，Sn=n2+2n，能求出a1，a2，a3的值 (2)当n2时，an=SnSn1=2n+1，由此能求出通项公式an该题考查等
17、差数列的通项公式的求法，考查等差数列的前n项和最大时项数n的求法，考查等差数列的性质等基础知识，是基础题21.【答案】解：（1）设等差数列的公差为d，解得，则d=2，；（2），则，.;【解析】 该题考查数列的通项以及求和的运算(1)根据等差数列的性质求出公差，即可求出通项公式；(2)根据等差数列的前n项和公式，运用裂项相消的方法即可求解22.【答案】解：（1）由题意可得，bcosC+ccosB=2acosB，由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，即sin（B+C）=sinA=2sinAcosB，所以cosB=12，所以B=13；（2）又S=34ac=3，所以ac
18、=4，由余弦定理可得，12=a2+c2b22ac=362acb22ac，解可得，b=26;【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosB，进而可求B；(2)由已知结合三角形的面积公式可求AC，然后结合余弦定理即可求解此题主要考查了正弦定理，和差角公式，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题23.【答案】解：（）由题意得f（x）=13（x+1）2-13，Sn=13（n+1）2-13=13n2+23n（nN*），当n2时，an=sn-sn1=13n2+23n-13（n-1）2+23（n-1）=2n+13，当n=1时，a1=s1=1适合上式，数列an的通项公式
19、是：an=2n+13（nN*），（）bn=anan+1cos（n+1），（nN*），Tn=b1+b2+bn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+（-1）n-1anan+1，由（）得：数列an是以1为首项，公差为23的等差数列，当n=2m，mN*时，Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+（-1）n-1anan+1，=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+a2m（a2m1-a2m+1）=-43（a2+a4+a2m）=-43a2+a2m2m=-19（8m2+12m）=-19（2n2+6n），当n=2m-1，mN*时，Tn=T2m-1=T2m-（-1）2m-1a2ma2m+1=-
20、19（8m2+12m）+19（16m2+16m+3）=19（8m2+4m+3）=19（2n2+6n+7），Tn=19(2n2+6n)，n为正偶数19(2n2+6n+7)，n为正奇数要使Tntn2对nN*恒成立，只要使-19（2n2+6n）tn2（n为正偶数）恒成立，即使-19（2+6n）t对n为正偶数恒成立t19(2+6n)min=-59；（）由an=2n+13知，数列an中每一项都不可能是偶数，如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列ank，kN*，此时ank中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列ank；q=1时，显然不存在这样的数列ank，q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列ank，kN*，则an1=1，n1=1，ank=3k-1=2nk+13，nk=3k12，存在满足条件的数列ank，且nk=3k12，（kN*）;【解析】()先求出sn，通过讨论n的范围，从而得到数列an的通项公式；()通过讨论n的奇偶性，从而求出Tn的表达式，问题转化为使19(2n2+6n)tn2(n为正偶数)恒成立即可；()通过讨论公比的奇偶性，从而得到答案此题主要考查了二次函数的性质，考查了求数列的通项公式问题，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，通过讨论求出Tn的表达式，问题转化为函数恒成立是解答本题的关键，是一道难题 学科网（北京）股份有限公司