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1、1 模块综合测评模块综合测评(二二)(时间:120 分钟满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.在极坐标系中,圆=2cos 垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.=0(R)和 cos=2 B.=(R)和 cos=2 C.=(R)和 cos=1 D.=0(R)和 cos=1 解析:由题意可知,圆=2cos 可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.所以圆垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x=0 和 x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为=(R)和 cos=2,故选 B.答案:B 2.在极坐标系中,圆=-2sin 的圆心的极坐标可以是()A.B.
2、C.(1,0)D.(1,)解析:由题意得,圆的直角坐标方程为 x2+(y+1)2=1,圆心直角坐标为(0,-1),即圆心的极坐标可以是.答案:B 3.在极坐标系中,点到圆=2cos 的圆心的距离为()A.2 B.C.D.解析:圆=2cos 在直角坐标系中的方程为(x-1)2+y2=1,点的直角坐标为(1,).故圆心(1,0)与(1,)的距离为 d=.答案:D 4.极坐标方程(-1)(-)=0(0)表示的图形是()2 A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 解析:=1 表示圆,=(0)表示一条射线.答案:C 5.直线(t 为参数)上与点 P(3,4)的距离等于的点
3、的坐标是()A.(4,3)B.(2,5)C.(4,3)或(2,5)D.(-4,5)或(0,1)解析:将化为普通方程得 x+y-7=0,由 解得 故所求点的坐标为(4,3)或(2,5).答案:C 6.若动点(x,y)在曲线=1(b0)上变化,则 x2+2y 的最大值为()A.B.C.+4 D.2b 解析:设动点的坐标为(2cos,bsin),代入 x2+2y=4cos2+2bsin=-+4+,当0b4 时,(x2+2y)max=+4;当 b4 时,(x2+2y)max=-+4+=2b.答案:A 3 7.设曲线 C 的参数方程为(为参数),直线 l 的方程为 x-3y+2=0,则曲线 C 上到直线
4、 l 距离为的点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4 解析:曲线 C 的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为 3 的圆,其中圆心(2,-1)到直线 x-3y+2=0 的距离 d=且 3-,故过圆心且与 l 平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.答案:B 8.直线 3x-4y-9=0 与圆(为参数)的位置关系是()A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 解析:圆的参数方程可化为 x2+y2=4,可求得该圆的圆心(0,0),半径 r=2.显然圆心不在直线3x-4y-9=0 上,又由点到直线的距离公式知,圆心到直线 3x-4
5、y-9=0 的距离 d=r,故选 D.答案:D 9.曲线(为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是()A.B.C.1 D.解析:曲线(为参数)上的点到两坐标轴的距离之和为 d=|sin|+|cos|,不妨设,则 d=|sin|+|cos|=sin+cos=sin,故最大值为.答案:D 10.经过点(1,1),倾斜角为 135的直线截椭圆+y2=1 所得的弦长为()4 A.B.C.D.解析:过点(1,1),倾斜角为 135的直线的参数方程为(t 为参数),代入椭圆的方程可得=1,化简得 5t2+6t+2=0.设两根为 t1,t2.根据根与系数的关系可得 t1+t2=-,t1t2=,则弦长为|
6、t1-t2|=.答案:B 11.导学号 73144050已知双曲线 C 的参数方程为(为参数),在下列直线的参数方程中,(以上方程中,t 为参数),可以作为双曲线 C 的渐近线方程的是()A.B.C.D.解析:由双曲线的参数方程知,a=3,b=4,且双曲线的焦点在 x 轴上,因此其渐近线方程是 y=x.检验所给直线的参数方程可知适合条件.答案:A 12.极坐标系内曲线=2cos 上的动点 P 与定点 Q的最近距离等于()A.-1 B.-1 C.1 D.5 解析:将曲线=2cos 化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点 Q 的直角坐标为(0,1),则点 P 到点Q 的最短距离为点 Q 与圆
7、心的距离减去半径,即-1.答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.在极坐标系中,曲线=cos+1 与 cos=1 的公共点到极点的距离为.解析:联立方程组得(-1)=1=,又 0,故所求为.答案:14.已知圆的极坐标方程为=4cos,圆心为点 C,点 P 的极坐标为,则|CP|=.解析:由圆的极坐标方程为=4cos,得圆心 C 的直角坐标为(2,0),点 P 的直角坐标为(2,2),所以|CP|=2.答案:2 15.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:(t 为参数)过椭圆 C:(为参数)的右顶点,则常数 a 的值为.解析:由题意知在直角坐标系下,直线
8、 l 的方程为 y=x-a,椭圆的方程为=1,所以其右顶点为(3,0).由题意知 0=3-a,解得 a=3.答案:3 16.导学号 73144051如图,若以过原点的直线的倾斜角 为参数,则圆x2+y2-x=0 的参数方程为.解析:由三角函数定义知=tan(x0),y=xtan,由 x2+y2-x=0 得,x2+x2tan2-x=0,x=cos2,则 y=xtan=cos2tan=sin cos,当=时,x=0,y=0 也适合题意,6 故参数方程为(为参数).答案:(为参数)三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P,圆心为
9、直线 sin=-与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程.解如图,在 sin=-中,令=0,得=1,所以圆 C 的圆心坐标为(1,0).因为圆 C 经过点 P,所以圆 C 的半径 PC=1,于是圆C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为=2cos.18.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数),曲线 C 的参数方程为(为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.解因为直线 l 的参数方程为(t 为参数),由 x=t+1 得 t=x-1,代入 y=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0.同理得到曲线 C 的普通
10、方程为 y2=2x.联立方程组 解得公共点的坐标为(2,2),.19.(本小题满分 12 分)已知动点 P,Q 都在曲线 C:(t 为参数)上,对应参数分别为t=与 t=2(02),点 M 为 PQ 的中点.7(1)求点 M 的轨迹的参数方程;(2)将点 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数,并判断点 M 的轨迹是否过坐标原点.解(1)依题意有 P(2cos,2sin),Q(2cos 2,2sin 2),因此点 M 为(cos+cos 2,sin+sin 2).点 M 的轨迹的参数方程为(为参数,02).(2)点 M 到坐标原点的距离 d=(02).当=时,d=0,故点 M 的轨迹过坐标原
11、点.20.导学号 73144052(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为(为参数).点 M 是 C1上的动点,点 P 满足=2,点 P 的轨迹为曲线 C2.(1)求曲线 C2的参数方程;(2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线=(0)与 C1的异于极点的交点为 A,与 C2的异于极点的交点为 B,求|AB|.解(1)设点 P 为(x,y),则由条件知点 M 为.由于点 M 在 C1上,所以 即 则曲线 C2的参数方程为(为参数).(2)曲线 C1的极坐标方程为=4sin,曲线 C2的极坐标方程为=8sin.射线=(0)与 C1的交点 A
12、的极径为 1=4sin,射线=(0)与 C2的交点 B 的极径为 2=8sin.所以|AB|=|2-1|=2.21.(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,C 的极坐标方程为=2sin.8(1)写出C 的直角坐标方程;(2)点 P 为直线 l 上一动点,当点 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的直角坐标.解(1)由=2sin,得 2=2sin,从而有 x2+y2=2y,所以 x2+(y-)2=3.(2)设 P.又 C(0,),则|PC|=,故当 t=0 时,|PC|取得最小值,此时,点 P 的直
13、角坐标为(3,0).22.(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线 C2的极坐标方程分别为=4sin,cos=2.(1)求 C1与 C2交点的极坐标.(2)设点 P 为 C1的圆心,点 Q 为 C1与 C2交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为(tR,且 t 为参数),求 a,b 的值.解(1)圆 C1的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4,直线 C2的直角坐标方程为 x+y-4=0.解 得 所以 C1与 C2交点的极坐标为.(注:极坐标系下点的表示不唯一)(2)由(1)可得,点 P 与点 Q 的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0.由参数方程可得 y=x-+1.9 所以 解得 a=-1,b=2.