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1、解解三三角角形形满满分分通通关关 1 10 0 讲讲专题一 三角形中基本量的计算问题.2考点一 计算三角形中的角或角的三角函数值.3考点二 计算三角形中的边或周长.6专题二 三角形的三线两圆及面积问题.10考点一 三角形的三线两圆问题.11考点二 计算三角形的面积.14专题三 三角形形状的判定问题.16专题四 三角形中的最值(范围)问题.20考点一 三角形中与角或角的函数有关的最值(范围).20考点二 三角形中与边或周长有关的最值(范围).22考点三 三角形中与面积有关的最值(范围).24专题五 三角形中边角的计算问题.26专题六 三角形中面积的计算问题.32专题七 三角形中的结构不良题型.3
2、4专题八 多三角形问题.35专题九 三角形中的最值(范围)问题.38考点一 三角形中与角或角的函数有关的最值(范围).39考点二 三角形中与边或周长有关的最值(范围).40考点三 三角形中与面积有关的最值(范围).41专题十 解三角形综合问题.43考点一 正、余弦定理与三角函数结合的问题.43考点二 正、余弦定理与与向量结合的问题.46专题一专题一三角形中基本量的计算问题三角形中基本量的计算问题1正、余弦定理正、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinAbsinBcsinC2Ra2b2c22bccosA；b
3、2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形(1)absin Asin B，basin Bsin A，casin Csin A；(2)sin Aasin Bb，sin Bbsin Aa，sin Ccsin Aa；(3)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(4)sinAa2R，sinBb2R，sinCc2R；(5)abcsinAsinBsinC；(6)abcsin Asin Bsin C2RcosAb2c2a22bc；cosBc2a2b22ac；cosCa2b2c22ab2三角形面积三角形面积公式公式SABC12absinC12bcsinA12acsinBabc4R12(
4、abc)r(r，R 为别是ABC 内切圆半径和外接圆半径)，并可由此计算 R、r3解三角形有关的二级结论解三角形有关的二级结论(1)三角形内角和定理在ABC 中，ABC；变形：AB22C2(2)三角形中的三角函数关系sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC(C2)；sinAB2cosC2；cosAB2sinC2在非 RtABC 中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC(A，B，C2)(3)三角形中的不等关系在三角形中大边对大角，大角对大边ABabsinAsinBcosA2，sinAcosB，cosAc2若ABC 为钝角三角形(假如 C 为钝角)，则 A
5、B2，sinAsinBc2a2b2C 为直角；c2a2b2C 为钝角；c2c，cosB14，则ac()A2B32C3D420若ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2bsin2AasinB，且 c2b，则ab()A2B3C 2D 321(2019全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin Absin B4csin C，cos A14，则bc()A6B5C4D322在ABC 中，已知 B4，D 是 BC 边上一点，AD10，AC14，DC6，则 AB 的长为_23在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2cos2AB2cos2
6、C1，4sinB3sinA，ab1，则 c 的值为()A 13B 7C 37D624在ABC 中，B60，C45，BC8，D 是 BC 上的一点，且BD312BC，则 AD 的长为_25 如图，在ABC 中，D 是 BC 上的一点 已知B60，AD2，AC 10，DC 2，则 AB_26如图，在ABC 中，AB 2，点 D 在边 BC 上，BD2DC，cosDAC3 1010，cosC2 55，则 AC_27已知 ABBD，ACCD，AC1，AB2，BAC120，则 BD 的长等于_28在四边形 ABCD 中，BCa，DC2a，且 AABCCADC37410，则 AB 的长为_29在ABC 中
7、，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且 B 为锐角，若sin Asin B5c2b，sin B74，SABC5 74，则 b 的值为_30在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 A4，b 6，ABC 的面积为3 32，则 c_，B_31在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 B30，ABC 的面积为32，且 sinAsinC2sinB，则 b 的值为_32在ABC 中，B30，AC2 5，D 是 AB 边上的一点，CD2，若ACD 为锐角，ACD 的面积为4，则 BC_33已知ABC 中，AC 2，BC 6，ABC 的面积为32若线段
8、BA 的延长线上存在点 D，使BDC4，则 CD_34在ABC 中，A60，BC 10，D 是 AB 边上不同于 A，B 的任意一点，CD 2，BCD 的面积为1，则 AC 的长为()A2 3B 3C33D2 33专题二专题二三角形的三线两圆及面积问题三角形的三线两圆及面积问题一中线一中线中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的 2 倍即：如图，在ABC中，D为BC中点，则2222122ABACBCAD证明在ABD中，222cos2ABBDADBAB BD，在ABC中，222cos2ABBCACBAB BC22221 22ABACBCAD另外已知两边及其夹角也可表
9、述为：22242cosADABACAB ACA证明由1()2ADABAC，22221111()cos4442ADABACABACAB ACA ，222 42cosADABACAB ACA二角平分线二角平分线角平分线定理：如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，则ABBDACCD证法 1在ABD中，sinsinABBDADBBAD，在ACD中，sinsinACCDADCCAD，ABBDACCD证法 2该结论可以由两三角形面积之比得证，即ABDACDSABBDSACCD三高三高高的性质：123hhh，分别为ABC边abc，上的高，则1231 1 1111:sinsinsinhhha b cABC求
10、高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度四外接圆四外接圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆其圆心叫做三角形的外心外接圆半径的计算：Ra2sinAb2sinBc2sinC外接圆半径与三角形面积的关系：SABCabc4R(R 为ABC 外接圆半径)五内切圆五内切圆与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆其圆心叫做三角形的内心内切圆半径与三角形面积的关系：SABC12(abc)r(r 为ABC 内切圆半径)，并可由此计算 r考点考点一一三角形的三线两圆问题三角形的三线两圆问题【例题选讲例题选讲】例例 1(1)ABC 中，AC 7，BC2，B60，则 BC 边上的高等于()A32B3
11、 32C3 62D3 394(2)在ABC 中，若 AB4，AC7，BC 边的中线 AD72，则 BC_(3)在ABC 中，B120，AB 2，A 的角平分线 AD 3，则 AC_(4)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 tanC125，ab 13，BC 边上的中点为 D，则 sinBAC_，AD_(5)已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，BC 边上的中线长为 2 2，高线长为 3，且btanA(2cb)tan B，则 bc 的值为_(6)已知等腰三角形的底边长为 6，一腰长为 12，则它的内切圆面积为_(7)在ABC 中，内角 A，B，C
12、的对边分别为 a，b，c若ABC 的面积为 S，且 a1，4Sb2c21，则ABC 外接圆的面积为()A4B2CD2(8)设ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R，且sin Asin Bsin C234，则cos C_；当 BC1 时，ABC 的面积为_(9)在ABC 中，D 为边 AC 上一点，ABAC6，AD4，若ABC 的外心恰在线段 BD 上，则 BC_答案3 6解析解法 1如图 1，设ABC 的外心为 O，连结 AO，则 AO 是BAC 的平分线，所以BOODABAD32，所以AOABBOAB35BDAB35(ADAB)，即AO25AB35AD，两边同时点乘AB得AOAB25(AB)
13、235ABAD，即 1825363564cosBAC，所以 cosBAC14，则 BC3636262143 6(说明：两边同时点乘AD也是一样的)图 1图 2图 3解法 2如图 2，设BAC2，外接圆的半径为 R，由 SABOSADOSABD，得126Rsin124Rsin1264sin2，化简得 24cos5R在 RtAFO 中，Rcos3，联立解得 R6510，cos58，所以 sin38，所以 BC2BE2ABsin12383 6解法 3如图 3，延长 AO 交 BC 于点 E，过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 F，则BOODABAD32，OEDFBOBD35 又 DFAE，则DFAE
14、CDCA13，所以OEAE15 设 OEx，则 AE5x，所以 OBOA4x，所以 BE 15x又因为 25x215x236，所以 x3110，所以 BC2BE3 6(10)已知ABC 的外接圆半径为 R，且满足 2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB，则ABC 面积的最大值为_【对点训练对点训练】1在ABC 中，AB3，BC 13，AC4，则 AC 边上的高为_2如图所示，在ABC 中，已知 BC15，ABAC78，sin B4 37，则 BC 边上的高 AD 的长为_3(2016全国)在ABC 中，B4，BC 边上的高等于13BC，则 cosA()A3 1010B1010C1010
15、D3 10104在锐角ABC 中，内角，所对的边分别为 a，b，c，b4，c6 且 asinB2 3，D 为 BC 的中点，则AD 的长为_5在ABC 中，AB7，AC6，M 是 BC 的中点，AM4，则 BC 等于_6在ABC 中，AD 为边 BC 上的中线，AB1，AD5，ABC45，则 sinADC_，AC_7在ABC 中，已知 AB4 63，cosABC66，AC 边上的中线 BD 5，则 sinA 的值_在ABC 中，A105，B30，a62，则 B 的角平分线的长是_9已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A60，b3c，角 A 的平分线交 BC 于点 D，且B
16、D 7，则 cos ADB 的值为()A217B217C2 77D21710在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 A3，b1，ABC 的外接圆半径为 1，则ABC 的面积 S_11在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a1，B45，SABC2，则ABC 的外接圆直径为_12ABC 的两边长分别为 2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为_13已知三角形两边长分别为 1 和 3，第三边上的中线长为 1，则三角形的外接圆半径为_14ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosC2 23，bcosAacosB2，则ABC 的外
17、接圆面积为()A4B8C9D3615已知圆的半径为 4，a，b，c 为该圆的内接三角形的三边，若 abc16 2，则三角形的面积为_16如图所示，已知圆内接四边形 ABCD 中 AB3，AD5，BD7，BDC45，则 BC_17在外接圆半径为12的ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，则 bc 的最大值是()A1B12C3D3218在ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，且 BC 边上的高为36a，则cbbc取得最大值时，内角 A 的值为()A2B6C23D3考点考点二二计算三角形的面积计算三角
18、形的面积【方法总结方法总结】三角形面积问题的题型及解题策略三角形面积问题的题型及解题策略三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解【例题选讲例题选讲】例例 2(1)(2014福建)在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_答案2
19、3解析在ABC 中，由正弦定理得2 3sin604sinB，解得 sinB1，所以 B90，所以 SABC12AB2 312 422 322 32 3(2)(2019全国)ABC 的内角内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c若 b6，a2c，B3，则BDC 的面积是_答案6 3解析由余弦定理得2222cosbacacB，所以2221(2)2262cccc，即212c，解得2 3,2 3cc（舍去），所以24 3ac，113sin4 32 36 3222ABCSacB(3)(2018全国)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 bsinCcsinB4asinBsi
20、nC，b2c2a28，则ABC 的面积为_答案2 33解析已知 bsinCcsinB4asinBsinC2sinBsinC4sinAsinBsinC，所以 sinA12，由 b2c2a280 知 A 为锐角，所以 cos A32，所以32b2c2a22bc4bc，所以 bc838 33，所以 SABC12bcsinA128 33122 33(4)(2017浙江)已知ABC，ABAC4，BC2点 D 为 AB 延长线上一点，BD2，连接 CD，则BDC 的面积是_，cosBDC_(5)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA45，cosC513，a1，则ABC 的面积
21、S_(6)在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosC3acosBccosB，BABC2，则ABC的面积为_(7)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 sin(BA)sin(BA)2sin2A，且 c 6，C3，则ABC 的面积是()A 3B3 3C 3或 1D 3或 3 3(8)已知四边形 ABCD 中，AB2，BCCD4，DA6，且 D60，试求四边形 ABCD 的面积【对点训练对点训练】1我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC 三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三斜求积”公式
22、为 S14a2c2a2c2b222若 a2sinC4sinA，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为()A 3B2C3D 62在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，已知 a2，c2 2，且 C4，则ABC 的面积为()A 31B 31C4D23(2013全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，B6，C4，则ABC 的面积为()A2 32B 31C2 32D 314已知在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 a2bcosA，B3，c1，则ABC的面积为_5在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为
23、 a，b，c已知 cosA23，sinB 5cosC，并且 a 2，则ABC 的面积为_6在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且(2ba)cosCccosA，c3，sinAsinB2 6sinAsinB，则ABC 的面积为()A3 38B2C32D3 347在ABC 中，c2 2，ab，tanAtanB5，tanAtanB6，则ABC 的面积为_8在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a1，2b 3c2acosC，sinC32，则ABC 的面积为()A32B34C32或34D 3或329在ABC 中，若 a7，b3，c8，则其面积等于_10(20
24、14江西)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c若 c2(ab)26，C3，则ABC的面积是()A3B9 32C3 32D3 311设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2 2，cosA34，sinB2sinC，则ABC的面积是_12在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a1，b2，cosB14，则 c_；ABC的面积 S_13在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b5，a3，cos(BA)79，则ABC 的面积为()A152B5 23C5 2D2 214如图，在四边形 ABCD 中，BC120，AB4
25、，BCCD2，则该四边形的面积等于_专题三专题三三角形形状的判定问题三角形形状的判定问题【方法总结方法总结】利用正、余弦定理判断三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ABC这个结论正(余)弦定理是转化的桥梁，无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的
26、限制特别地，在ABC 中，c 是最大的边，若 c2a2b2，则ABC 是钝角三角形【例题选讲例题选讲】例例 1(1)在ABC 中，cos2B2ac2c(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则ABC 的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形(2)在ABC 中，若 tanAtanB1，则ABC 是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定(3)若ABC 的三个内角满足 sinAsinBsinC51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形(4)ABC 的内角 A，B，C 所对的
27、边分别为 a，b，c，若 acosBacosCbc，则ABC 的形状为()A等边三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形(5)在ABC 中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，则ABC 的形状为()A等边三角形B等腰直角三角形C等腰三角形或直角三角形D直角三角形答案C解析(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sinAcosBb22cosAsinBa2，即 a2cosAsinBb2sinAcosB方法一由正弦定理知 a2RsinA，b2RsinB，sin2AcosAsinBsin2BsinA
28、cosB，又 sinAsinB0，sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B在ABC 中，02A2，02B2，2A2B 或 2A2B，AB 或 AB2ABC 为等腰三角形或直角三角形方法二由正弦定理、余弦定理得：a2bb2c2a22bcb2aa2c2b22ac，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20 或 a2b2c20即 ab 或 a2b2c2ABC 为等腰三角形或直角三角形(6)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，若 tanAtanBa2b2，则ABC 的形状为()A等边三角形B等腰直角三角形C等腰三角形或直角三
29、角形D直角三角形(7)在ABC 中，若 b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，则ABC 的形状为()A等边三角形B等腰直角三角形C等腰三角形或直角三角形D直角三角形答案D解析法一：由asin Absin Bcsin C2R，则条件化为：4R2sin2Csin2B4R2sin2Csin2B8R2sinBsinCcosBcosC又 sinBsinC0，sinBsinCcosBcosC，即 cos(BC)0又 0BC180，BC90，A90，故ABC 为直角三角形法二：将已知等式变形为：b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccosBcosC，即 b2c2b2a2b2c22ab2
30、c2a2c2b22ac22bca2c2b22aca2b2c22ab，即 b2c2a2b2c2a2c2b224a24a44a2a2，A90，ABC 为直角三角形(8)在ABC 中，已知(abc)(abc)3ab，且 2cosAsinBsinC，则ABC 的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形答案A解析法一：由正弦定理得sin Csin Bcb，由 2cos Asin Bsin C，有 cos Asin C2sin Bc2b又由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc，所以c2bb2c2a22bc，即 c2b2c2a2，所以 a2b2，所以 ab又因为(abc)(abc)3
31、ab，所以(ab)2c23ab，所以 4b2c23b2，即 b2c2 所以 bc，所以 abc所以ABC 为等边三角形法二：因为 ABC180，所以 sin Csin(AB)，又因为 2cos Asin Bsin C，所以 2cos Asin BsinAcos Bcos Asin B，所以 sin(AB)0又因为 A 与 B 均为ABC 的内角，所以 AB又由(abc)(abc)3ab 得(ab)2c23ab，所以 a2b2c22ab3ab，即 a2b2c2ab由余弦定理，得 cos Ca2b2c22abab2ab12，又 0C180，所以 C60所以ABC 为等边三角形(9)在ABC 中，已
32、知 2acosBc，sinAsinB(2cosC)sin2C212，则ABC 为()A等边三角形B等腰直角三角形C锐角非等边三角形D钝角三角形答案B解析由 2acosBc2aa2c2b22acca2b2，所以 ab 因为 sinAsinB(2cos C)sin2C212，所以 2sinAsinB(2cosC)212sin2C20，所以 2sinAsinB(2cosC)2cosC0，所以(2cosC)(2sinAsinB1)0，因为 cosC2，所以 sinAsinB12，因为 ab，所以 sin2A12，所以 AB4，所以ABC 是等腰直角三角形，故选 B(10)已知 a，b，c 分别是ABC
33、 三个内角 A，B，C 的对边下列四个命题：若 tan Atan Btan C0，则ABC 是锐角三角形；若 acos Abcos B，则ABC 是等腰三角形；若 bcos Cccos Bb，则ABC 是等腰三角形；若acos Abcos Bccos C，则ABC 是等边三角形其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)【对点训练对点训练】1在ABC 中，sin2A2cb2c，则ABC 的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形2在ABC 中，cosA21cos B2，则ABC 一定是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D无法确定3在ABC 中，角 A，B，C 所对
34、的边分别为 a，b，c，若cbcosA，则ABC 为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形4在ABC 中，acosAbcosB，则这个三角形的形状为()A等腰三角形B等腰直角三角形C等腰三角形或直角三角形D直角三角形5在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 2sinAcosBsinC，则ABC 的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形6在ABC 中，sin Asin Bsin C245，则ABC 的形状为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形7在ABC 中，lg(sinAsinC)2lgsinBlg(sinCsinA)，则
35、ABC 的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形若sin Aacos Bbcos Cc，则ABC 是()A等边三角形B有一内角是 30的直角三角形C等腰直角三角形D有一内角是 30的等腰三角形9在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知三个向量 ma，cosA2，nb，cosB2，pc，cosC2 共线，则ABC 的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形10(2013陕西)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定1
36、1在ABC 中，若 cacosB(2ab)cosA，则ABC 的形状为()A等腰三角形B等腰直角三角形C等腰三角形或直角三角形D直角三角形12在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 a2b2c2ab，且 2cosAsinBsinC，则ABC的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形13在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若直线 bxycosAcosB0 与 axycosBcosA0 平行，则ABC 一定是()A锐角三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰或者直角三角形14在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若si
37、n Asin Bac，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为()A直角三角形B等腰非等边三角形C等边三角形D钝角三角形15在ABC 中，sin2Asin2Bsin2C，且 sinA2sinBcosC，则ABC 的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形16在ABC 中，若bcos Cccos B1cos 2C1cos 2B，则ABC 为()A锐角三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰或者直角三角形17在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2b2c2bc，且 sinB 3cosC，则下列结论中正确的是()AA6Bc2aCC2DABC 是等边三
38、角形18已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若cos Acos Bba 2，则该三角形的形状是()A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D钝角三角形19已知ABC 中，内角 A、B、C 成等差数列，其对边为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，则ABC 的形状为()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D钝角三角形20如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C
39、2是钝角三角形专题四专题四三角形中的最值三角形中的最值(范围范围)问题问题三角形中最值三角形中最值(范围范围)问题的解题思路问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外 三角形中的范围最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解一般求最值用基本不等式，求范围用函数由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的
40、范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大考点一考点一三角形中与角或角的函数有关的最值三角形中与角或角的函数有关的最值(范围范围)【例题选讲例题选讲】例例 1(1)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 abc，a2b2c2，则角 A 的取值范围是()A2，B4，2C3，2D0，2(2)在ABC 中，若 AB1，BC2，则角 C 的取值范围是()A0，6B0，2C6，2D6，2(3)在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，A2，sinCsin(BA)2sin2A，则角 A 的取值范围为()A0，
41、6B0，4C6，4D6，3答案B解析法一：在ABC 中，C(AB)，所以 sin(AB)sin(BA)2sin2A，即 2sinBcosA2 2sinAcosA，因为 A2，所以 cosA0，所以 sinB 2sinA，由正弦定理得，b 2a，所以 A 为锐角，又 sinB 2sinA(0,1，所以 sinA0，22，所以 A0，4 法二：在ABC 中，C(AB)，所以 sin(AB)sin(BA)2sin2A，即 2sinBcosA2 2sinAcosA，因为 A2，所以 cosA0，所以 sinB 2sinA，由正弦定理，得 b 2a，由余弦定理得 cosAb2c2a22bc12b2c22
42、bc212b2c22bc22，当且仅当 c22b 时等号成立，所以 A0，4(4)(2014江苏)若ABC 的内角满足 sinA 2sinB2sinC，则 cosC 的最小值是_(5)设ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，已知 a22b2c2，则tan Ctan A_；tanB 的最大值为_(6)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 a2bsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是()A4B3 3C8D6 3【对点训练对点训练】1在不等边三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 a 为最大边，如果 sin2(BC)
43、sin2Bsin2C，则角 A 的取值范围为()A0，2B4，2C6，3D3，22已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinAsinBbcos2A2a，则角 A 的取值范围是()A6，23B6，4C0，6D6，33已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，满足 cosAsinBsinCcosBsinAsinC2cosCsinAsinB，则 C 的最大值为_4在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 b2c22a2，则 cosA 的最小值为_5已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos2Acos2B2co
44、s2C，则 cosC 的最小值为()A32B22C12D126在钝角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，B 为钝角，若 acosAbsinA，则 sinAsinC的最大值为()A 2B98C1D787在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosBbcosA12c，当 tan(AB)取最大值时，角 B 的值为_8在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinAbsinBcsinC 2asinB，则 sin2Atan2B的最大值是_9在ABC 中，若 sinC2cosAcosB，则 cos2Acos2B 的最大值为_10在ABC
45、中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 3acos Cb0，则 tan B 的最大值是_11(2016 江苏)在锐角三角形ABC中，若sin2sinsinABC，则tantantanABC的最小值是_12在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若ABC 为锐角三角形，且满足 b2a2ac，则1tanA1tanB的取值范围是_13在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2Asin2B2sin2C，则1tanA1tanB1tanC的最小值为_考点考点二二三角形中与边或周长有关的最值三角形中与边或周长有关的最值(范围范围)【例题选讲例题选讲】例例 2(1)已知ABC 中，
46、角 A，32B，C 成等差数列，且ABC 的面积为 1 2，则 AC 边的长的最小值是_(2)(2015全国)在平面四边形 ABCD 中，ABC75，BC2，则 AB 的取值范围是_答案(6 2，6 2)解析通法：依题意作出四边形 ABCD，连结 BD令 BDx，ABy，CDB，CBD在BCD 中，由正弦定理得2sin xsin 75由题意可知，ADC135，则ADB135 在ABD 中，由正弦定理得xsin 75ysin(135)所以ysin(135)2sin，即 y2sin(135)sin2sin90(45)sin2cos(45)sin 2(cossin)sin 因为 075，75180，
47、所以 30105，当90时，易得 y 2；当90时，y2(cossin)sin 21tan 1 又 tan 3033，tan 105tan(6045)tan 60tan 451tan 60tan 452 3，结合正切函数的性质知，1tan(32，3)，且1tan 0，所以 y21tan 1(6 2，2)(2，6 2)综上所述：y(6 2，6 2)提速方法：画出四边形 ABCD，延长 CD，BA，探求出 AB 的取值范围如图所示，延长 BA 与 CD 相交于点 E，过点 C 作 CFAD 交 AB 于点 F，则 BFABBE在等腰三角形 CFB 中，FCB30，CFBC2，BF 2222222c
48、os 30 6 2在等腰三角形 ECB 中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BEsin 752sin 30，BE2126 24 6 2 6 2AB0，所以 0B3，所以12cosB1因为cbsin Csin Bsin 2Bsin B2cosB，所以 12cosB2，故 1cb1，ACAB12，当ABC 的周长最短时，BC 的长是_【对点训练对点训练】1已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 abcosCcsinB，且ABC 的面积为 1 2，则 b 的最小值为()A2B3C 2D 32已知ABC 中，AB 2AC6，BC4，D 为 BC 的中点，则当 AD 最小时
49、，ABC 的面积为_3在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A2B，C 为钝角，则cb的取值范围是_4在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A3B，则ab的取值范围是()A(0，3)B(1，3)C(0，1D(1，25已知 a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 所对的边，其面积满足 SABC14a2，则cb的最大值为()A 21B 2C 21D 226在ABC 中，已知 c2，若 sin2Asin2Bsin Asin Bsin2C，则 ab 的取值范围为_7在外接圆半径为12的ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2a
50、sin A(2bc)sin B(2cb)sin C，则 bc 的最大值是()A1B12C3D328在ABC 中，B60，AC 3，则 2ac 的最大值为_9在ABC 中，AB2，C6，则3ab 的最大值为()A 7B2 7C3 7D4 710在ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c若 A120，a1，则 2b3c 的最大值为()A3B2 213C3 2D3 5211在ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，且 BC 边上的高为36a，则cbbc取得最大值时，内角 A 的值为()A2B6C23D312在锐角ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满