2023解三角形满分通关10讲学生版.pdf

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1、解 三角 形满 分 通关 1 0 讲专 题 一 三 角 形 中 基 本 量 的 计 算 问 题.2考 点 一 计 算 三 角 形 中 的 角 或 角 的 三 角 函 数 值.3考 点 二 计 算 三 角 形 中 的 边 或 周 长.6专 题 二 三 角 形 的 三 线 两 圆 及 面 积 问 题.1 0考 点 一 三 角 形 的 三 线 两 圆 问 题.1 1考 点 二 计 算 三 角 形 的 面 积.1 4专 题 三 三 角 形 形 状 的 判 定 问 题.1 6专 题 四 三 角 形 中 的 最 值(范 围)问 题.2 0考 点 一 三 角 形 中 与 角 或 角 的 函 数 有 关 的

2、最 值(范 围).2 0考 点 二 三 角 形 中 与 边 或 周 长 有 关 的 最 值(范 围).2 2考 点 三 三 角 形 中 与 面 积 有 关 的 最 值(范 围).2 4专 题 五 三 角 形 中 边 角 的 计 算 问 题.2 6专 题 六 三 角 形 中 面 积 的 计 算 问 题.3 2专 题 七 三 角 形 中 的 结 构 不 良 题 型.3 4专 题 八 多 三 角 形 问 题.3 5专 题 九 三 角 形 中 的 最 值(范 围)问 题.3 8考 点 一 三 角 形 中 与 角 或 角 的 函 数 有 关 的 最 值(范 围).3 9考 点 二 三 角 形 中 与 边

3、 或 周 长 有 关 的 最 值(范 围).4 0考 点 三 三 角 形 中 与 面 积 有 关 的 最 值(范 围).4 1专 题 十 解 三 角 形 综 合 问 题.4 3考 点 一 正、余 弦 定 理 与 三 角 函 数 结 合 的 问 题.4 3考 点 二 正、余 弦 定 理 与 与 向 量 结 合 的 问 题.4 6专 题 一 三 角 形 中 基 本 量 的 计 算 问 题1 正、余 弦 定 理在 A B C 中，若 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 是 a，b，c，R 为 A B C 外 接 圆 半 径，则定 理 正 弦 定 理 余 弦 定 理内 容asin Absin Bc

4、sin C2 Ra2 b2 c22 b ccos A；b2 c2 a22 c acos B；c2 a2 b22 a bcos C 变 形(1)a bsin Asin B，b asin Bsin A，c asin Csin A；(2)sin A asin Bb，sin B bsin Aa，sin C csin Aa；(3)a 2 Rsin A，b 2 Rsin B，c 2 Rsin C；(4)sin A a2 R，sin B b2 R，sin C c2 R；(5)a b c sin A sin B sin C；(6)a b csin A sin B sin C2 R cos A b2 c2 a2

5、2 b c；cos B c2 a2 b22 a c；cos C a2 b2 c22 a b2 三 角 形 面 积 公 式S A B C 12a bsin C 12b csin A 12a csin B a b c4 R12(a b c)r(r，R 为 别 是 A B C 内 切 圆 半 径 和 外 接 圆 半 径)，并 可 由 此 计 算 R、r 3 解 三 角 形 有 关 的 二 级 结 论(1)三 角 形 内 角 和 定 理在 A B C 中，A B C；变 形：A B22C2(2)三 角 形 中 的 三 角 函 数 关 系sin(A B)sin C；cos(A B)cos C；tan(A

6、 B)tan C(C 2)；sinA B2cosC2；cosA B2sinC2 在 非 Rt A B C 中，tan A tan B tan C tan Atan Btan C(A，B，C 2)(3)三 角 形 中 的 不 等 关 系 在 三 角 形 中 大 边 对 大 角，大 角 对 大 边 A B a bsin Asin Bcos A2，sin Acos B，cos A c2 若 A B C 为 钝 角 三 角 形(假如 C 为 钝 角)，则 A B2，sin Asin B c2 a2 b2 C 为 直 角；c2 a2 b2 C 为 钝 角；c2 a2 b2 C 为 锐 角 a b c，b

7、 c a，c a b 若 x 0，2，则 sin x x tan x 若 x 0，2，则 1 sin x cos x 2(4)三 角 形 中 的 射 影 定 理在 A B C 中，a bcos C ccos B；b acos C ccos A；c bcos A acos B 在 处 理 三 角 形 中 的 边 角 关 系 时，一 般 全 部 化 为 角 的 关 系，或 全 部 化 为 边 的 关 系 若 出 现 边 的 一 次 式 一般 采 用 到 正 弦 定 理，出 现 边 的 二 次 式 一 般 采 用 到 余 弦 定 理 若 已 知 条 件 同 时 含 有 边 和 角，但 不 能 直 接

8、 使 用正 弦 定 理 或 余 弦 定 理 得 到 答 案，要 选 择“边 化 角”或“角 化 边”，变 换 原 则 如 下：若 式 子 中 含 有 正 弦 的 齐 次 式，优 先 考 虑 正 弦 定 理“角 化 边”，然 后 进 行 代 数 式 变 形；若 式 子 中 含 有 a，b，c 的 齐 次 式，优 先 考 虑 正 弦 定 理“边 化 角”，然 后 进 行 三 角 恒 等 变 换；若 式 子 中 含 有 余 弦 的 齐 次 式，优 先 考 虑 余 弦 定 理“角 化 边”，然 后 进 行 代 数 式 变 形；含 有 面 积 公 式 的 问 题，要 考 虑 结 合 余 弦 定 理 求

9、解；同 时 出 现 两 个 自 由 角（或 三 个 自 由 角）时，要 用 到 三 角 形 的 内 角 和 定 理 考 点 一 计 算 三 角 形 中 的 角 或 角 的 三 角 函 数 值【方 法 总 结】计 算 三 角 形 中 的 角 或 角 的 三 角 函 数 值 的 解 题 技 巧此 类 问 题 主 要 考 查 正 弦 定 理、余 弦 定 理 及 三 角 形 面 积 公 式，最 简 单 的 问 题 是 只 用 正 弦 定 理 或 余 弦 定 理即 可 解 决 中 等 难 度 的 问 题 要 结 合 三 角 恒 等 变 换 再 用 正 弦 定 理 或 余 弦 定 理 即 可 解 决 难

10、度 较 大 的 问 题 要 结合 三 角 恒 等 变 换 并 同 时 用 正 弦 定 理、余 弦 定 理 和 面 积 公 式 才 能 解 决【例 题 选 讲】例 1(1)(2013 湖 南)在 锐 角 A B C 中，角 A，B 所 对 的 边 长 分 别 为 a，b，若 2 asin B 3 b，则 角 A 等于()A 12B 6C 4D 3(2)(2017 全 国)A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 已 知 C 60，b 6，c 3，则 A _(3)在 A B C 中，角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 是 a，b，c 已 知 8 b 5 c，C 2

11、 B，则 cos C 等 于()A 725B 725C 725D 2425(4)(2017 全 国)A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 已 知 sin B sin A(sin C cos C)0，a2，c 2，则 C()A 12B 6C 4D 3(5)(2018 全 国)A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，若 A B C 的 面 积 为a2 b2 c24，则 C()A 2B 3C 4D 6(6)(2016 山 东)A B C 中，角 A，B，C 的 对 边 分 别 是 a，b，c，已 知 b c，a22 b2(1 sin

12、A)，则 A 等于()A 34B 3C 4D 6(7)E，F 是 等 腰 直 角 三 角 形 A B C 斜 边 A B 上 的 三 等 分 点，则 tan E C F _(8)(2014 天 津)在 A B C 中，内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 是 a，b，c.已 知 b c 14a，2sin B 3sin C，则 cos A 的 值 为_(9)在 A B C 中，角 A，B，C 所 对 的 边 长 分 别 为 a，b，c，sin A，sin B，sin C 成 等 比 数 列，且 c 2 a，则 cos B 的 值 为()A 14B 34C 24D 23(10)在 锐 角 三

13、 角 形 A B C 中，角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 若baab6cos C，则tan Ctan Atan Ctan B的 值是_【对 点 训 练】1 在 A B C 中，角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，若b3cos Basin A，则 cos B 等 于()A 12B 12C 32D 322 在 A B C 中，已 知(b c)(a c)(a b)4 5 6，则 sin A sin B sin C 等 于_ 3 在 A B C 中，角 A，B，C 的 对 边 分 别 是 a，b，c，若 a 52b，A 2 B，则 cos B()A 53B 54

14、C 55D 564 已 知 a，b，c 为 A B C 的 三 个 内 角 A，B，C 所 对 的 边，若 3 bcos C c(1 3cos B)，则 sin C sin A()A 2 3 B 4 3 C 3 1 D 3 25(2013 辽 宁)在 A B C 中，内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 若 asin Bcos C csin Bcos A 12b，且 a b，则 B 等 于()A 6B 3C 23D 566 如 图，在 A B C 中，C 3，B C 4，点 D 在 边 A C 上，A D D B，D E A B，E 为 垂 足 若 D E 2 2，则 cos

15、 A 等 于()A 2 23B 24C 64D 637 在 A B C 中，sin A sin B sin C 3 2 3，则 cos C 的 值 为_ 8 在 A B C 中，若 b 1，c 3，A 6，则 cos5 B()A 32B 12C 12或 1 D 32或 09 已 知 在 A B C 中，内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，若 2 b22 a2 a c 2 c2，则 sin B 等 于_ 10 在 A B C 中，角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，若(a2 c2 b2)tan B 3 a c，则 角 B 的 大 小 为()A 6B 3C

16、6或56D 3或2311 如 图，在 A B C 中，A B 3，A C 2，B C 4，点 D 在 边 B C 上，B A D 45，则 tan C A D 的 值 为_ 12(2020 全 国)在 A B C 中，cos C 23，A C 4，B C 3，则 cos B 等 于()A 19B 13C 12D 2313 已 知 A B C 中，角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，C 120，a 2 b，则 tan A _ 14 在 A B C 中，B 60，最 大 边 与 最 小 边 之 比 为(3 1)2，则 最 大 角 为_ 15(2020 全 国)如 图，在 三 棱 锥

17、 P A B C 的 平 面 展 开 图 中，A C 1，A B A D 3，A B A C，A B A D，C A E 30，则 cos F C B _ 16 在 A B C 中，内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，若 A B C 的 面 积 为 S，且 2 S(a b)2 c2，则 tanC()A 34B 43C 43D 3417 在 A B C 中，内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，若 b 2，A B C 面 积 的 最 大 值 为 3，则 角 B 的值 为()A 23B 3C 6D 418 在 A B C 中，角 A，B，C 的 对 边 分 别

18、 为 a，b，c，若 a23 b23 c22 3 b csin A，则 C _ 19 A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，asin A csin C 2 asin C bsin B，则 角 B _ 20 在 A B C 中，内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，且 2 asin A(2sin B sin C)b(2 c b)sin C，则A()A 60 B 120 C 30 D 15021 已 知 A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，若(a b)(sin A sin B)(c b)sin C，则 A(

19、)A 6B 3C 56D 2322 A B C 的 内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，若sin B sin Asin C3 a ca b，则 角 B _ 23 在 A B C 中，a，b，c 分 别 是 内 角 A，B，C 的 对 边，且b asin C2 asin B csin B sin A，则 A _ 24 在 A B C 中，内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 是 a，b，c，若 a2 b2 3 b c，sin C 2 3sin B，则 角 A 为()A 30 B 60 C 120 D 15025 设 A B C 的 内 角 A，B，C 所 对 边 的

20、 长 分 别 为 a，b，c 若 b c 2 a，3sin A 5sin B，则 角 C _ 26 A B C 中，内 角 A，B，C 对 应 的 边 分 别 为 a，b，c，c 2 a，bsin B asin A 12asin C，则 sin B 的 值 为()A 2 23B 34C 74D 1327 在 A B C 中，内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c 若 a 4，b 5，c 6，则sin 2 Asin C等 于_ 考 点 二 计 算 三 角 形 中 的 边 或 周 长【方 法 总 结】计 算 三 角 形 中 的 边 长 的 解 题 技 巧此 类 问 题 主 要

21、考 查 正 弦 定 理、余 弦 定 理 及 三 角 形 面 积 公 式，最 简 单 的 问 题 是 只 用 正 弦 定 理 或 余 弦 定 理即 可 解 决 中 等 难 度 的 问 题 要 结 合 三 角 恒 等 变 换 再 用 正 弦 定 理 或 余 弦 定 理 即 可 解 决 难 度 较 大 的 问 题 要 结合 三 角 恒 等 变 换 并 同 时 用 正 弦 定 理、余 弦 定 理 和 面 积 公 式 才 能 解 决【例 题 选 讲】例 2(1)在 A B C 中，若 A 60，a 2 3，则a b csin A sin B sin C等 于_(2)(2016 全 国)A B C 的 内

22、 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，若 cos A 45，cos C 513，a 1，则 b_(3)在 A B C 中，C 23，A B 3，则 A B C 的 周 长 为()A 6sinA 3 3 B 6sinA 6 3 C 2 3sinA 3 3 D 2 3sinA 6 3(4)(2016 全 国)A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 已 知 a 5，c 2，cos A 23，则 b()A 2 B 3 C 2 D 3(5)(2018 全 国)在 A B C 中，cosC255，B C 1，A C 5，则 A B()A 4 2 B 30 C

23、 29 D 2 5(6)A B C 的 内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，且 a，b，c 成 等 比 数 列 若 sin B 513，cos B 12a c，则 a c 的 值 为_(7)如 图，在 A B C 中，B 45，D 是 B C 边 上 的 一 点，A D 5，A C 7，D C 3，则 A B 的 长 为_(8)如 图 所 示，在 四 边 形 A B C D 中，A D C D，A D 10，A B 14，B D A 60，B C D 135，则 B C的 长 为_(9)在 A B C 中，三 个 内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，

24、c，若 S A B C 2 3，a b 6，acos B bcos Ac2cos C，则 c 等 于()A 2 7 B 4 C 2 3 D 3 3(10)已 知 A B C 中，A C 2，B C 6，A B C 的 面 积 为32 若 线 段 B A 的 延 长 线 上 存 在 点 D，使 B D C4，则 C D _【对 点 训 练】1 在 A B C 中，A B 1 2，sin C 1，则 a b c 等 于()A 1 2 3 B 3 2 1 C 1 3 2 D 2 3 12 在 A B C 中，若 b 5，B 4，tan A 2，则 a _ 3 设 A B C 的 内 角 A，B，C

25、的 对 边 分 别 为 a，b，c 若 a 3，sin B 12，C 6，则 b _ 4 A B C 的 三 个 内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，asin Asin B bcos2A 2 a，则ba等 于()A 2 3 B 2 2 C 3 D 25(2019 浙 江)在 A B C 中，90 A B C，4 A B，3 B C，点 D 在 线 段 A C 上，若 45 B D C，则 B D _，cos A B D _ 6 设 A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，且 cos A 35，cos B 513，b 3，则 c _ 7 A

26、 B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，若 cos A 45，cos C 513，a 1，则 b()A 2113B 75C 1213D 23128(2017 山 东)在 A B C 中，角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 若 A B C 为 锐 角 三 角 形，且 满 足 sin B(12cos C)2sin Acos C cos Asin C，则 下 列 等 式 成 立 的 是()A a 2 b B b 2 a C A 2 B D B 2 A9 在 A B C 中，内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，且 b 2，sin2 C1

27、 cos2 C1，B 6，则 a 的 值 为()A 3 1 B 2 3 2 C 2 3 2 D 2 610 在 A B C 中，若 A B 13，B C 3，C 120，则 A C()A 1 B 2 C 3 D 411 A B C 的 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，若 cos A 78，c a 2，b 3，则 a()A 2 B 52C 3 D 7212(2013 福 建)在 A B C 中，已 知 点 D 在 B C 边 上，A D A C，sin B A C 2 23，A B 3 2，A D 3，则B D 的 长 为()A 3 B 3 C 2 D 213(2014 广

28、东)在 A B C 中，角 A，B，C 所 对 应 的 边 分 别 为 a，b，c，已 知 bcos C ccos B 2 b，则ab_ 14(2014 全 国)钝 角 三 角 形 A B C 的 面 积 是12，A B 1，B C 2，则 A C 等 于()A 5 B 5 C 2 D 115 在 A B C 中，角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，若 A 3，3sin2Ccos C2sin Asin B，且 b 6，则 c()A 2 B 3 C 4 D 616 已 知 A B C 中，角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，且 满 足 2cos2A 3sin2 A

29、 2，b 1，S A B C 32，则 A _，b csin B sin C_ 17 在 A B C 中，角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，acos B bcos A 2 ccos C，c 7，且 A B C 的 面积 为3 32，则 A B C 的 周 长 为()A 1 7 B 2 7 C 4 7 D 5 718 在 A B C 中，角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 已 知 a 4，b 2 6，sin2 A sin B，则 边 c 的 长 为()A 2 B 3 C 4 D 2 或 419 已 知 a，b，c 分 别 为 A B C 内 角 A，B，C 的

30、对 边，sin2B 2sin Asin C，且 a c，cos B 14，则ac()A 2 B 32C 3 D 420 若 A B C 的 内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，已 知 2 bsin2 A asin B，且 c 2 b，则ab()A 2 B 3 C 2 D 321(2019 全 国)A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，已 知 asin A bsin B 4 csin C，cos A 14，则bc()A 6 B 5 C 4 D 322 在 A B C 中，已 知 B 4，D 是 B C 边 上 一 点，A D 10，A C

31、 14，D C 6，则 A B 的 长 为_ 23 在 A B C 中，A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 若 2cos2A B2cos2 C 1，4sin B 3sin A，a b 1，则 c 的 值 为()A 13 B 7 C 37 D 624 在 A B C 中，B 60，C 45，B C 8，D 是 B C 上 的 一 点，且 B D3 12B C，则 A D 的 长 为_ 25 如 图，在 A B C 中，D 是 B C 上 的 一 点 已 知 B 60，A D 2，A C 10，D C 2，则 A B _ 26 如 图，在 A B C 中，A B 2，点 D 在 边 B

32、 C 上，B D 2 D C，cos D A C 3 1010，cos C 2 55，则 A C_ 27 已 知 A B B D，A C C D，A C 1，A B 2，B A C 120，则 B D 的 长 等 于_ 28 在 四 边 形 A B C D 中，B C a，D C 2 a，且 A A B C C A D C 3 7 4 10，则 A B 的 长 为_ 29 在 A B C 中，a，b，c 分 别 是 内 角 A，B，C 的 对 边，且 B 为 锐 角，若sin Asin B5 c2 b，sin B 74，S A B C 5 74，则 b 的 值 为_ 30 在 A B C 中，

33、内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c 已 知 A 4，b 6，A B C 的 面 积 为3 32，则 c _，B _ 31 在 A B C 中，内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，已 知 B 30，A B C 的 面 积 为32，且 sin A sin C2sin B，则 b 的 值 为_ 32 在 A B C 中，B 30，A C 2 5，D 是 A B 边 上 的 一 点，C D 2，若 A C D 为 锐 角，A C D 的 面 积 为4，则 B C _ 33 已 知 A B C 中，A C 2，B C 6，A B C 的 面 积 为32 若 线

34、 段 B A 的 延 长 线 上 存 在 点 D，使 B D C4，则 C D _ 34 在 A B C 中，A 60，B C 10，D 是 A B 边 上 不 同 于 A，B 的 任 意 一 点，C D 2，B C D 的 面 积 为1，则 A C 的 长 为()A 2 3 B 3 C 33D 2 33专 题 二 三 角 形 的 三 线 两 圆 及 面 积 问 题一 中 线中 线 定 理：一 条 中 线 两 侧 所 对 边 的 平 方 和 等 于 底 边 平 方 的 一 半 与 该 边 中 线 平 方 的 2 倍 即：如 图，在 A B C 中，D 为 B C 中 点，则2 2 2 2122

35、A B A C B C A D 证 明 在 A B D 中，2 2 2cos2A B B D A DBA B B D，在 A B C 中，2 2 2cos2A B B C A CBA B B C 2 2 2 21 22A B A C B C A D 另 外 已 知 两 边 及 其 夹 角 也 可 表 述 为：2 2 24 2 cos A D A B A C A B A C A 证 明 由1()2A D A B A C，2 2 221 1 1 1()cos4 4 4 2A D A B A C A B A C A B A C A，2 2 2 4 2 cos A D A B A C A B A C

36、A 二 角 平 分 线角 平 分 线 定 理：如 图，在 A B C 中，A D 是 B A C 的 平 分 线，则A B B DA C C D 证 法 1 在 A B D 中，sin sinA B B DA D B B A D，在 A C D 中，sin sinA C C DA D C C A D，A B B DA C C D 证 法 2 该 结 论 可 以 由 两 三 角 形 面 积 之 比 得 证，即A B DA C DS A B B DS A C C D 三 高高 的 性 质：1 2 3h h h，分 别 为 A B C 边 a b c，上 的 高，则1 2 31 1 1 1 1 1:

37、sin sin sinh h ha b c A B C 求 高 一 般 采 用 等 面 积 法，即 求 某 边 上 的 高，需 要 求 出 面 积 和 底 边 长 度 四 外 接 圆过 三 角 形 三 个 顶 点 的 圆 叫 三 角 形 的 外 接 圆 其 圆 心 叫 做 三 角 形 的 外 心 外 接 圆 半 径 的 计 算：R a2sin Ab2sin Bc2sin C外 接 圆 半 径 与 三 角 形 面 积 的 关 系：S A B C a b c4 R(R 为 A B C 外 接 圆 半 径)五 内 切 圆与 三 角 形 三 边 都 相 切 的 圆 叫 三 角 形 的 内 切 圆 其

38、圆 心 叫 做 三 角 形 的 内 心 内 切 圆 半 径 与 三 角 形 面 积 的 关 系：S A B C 12(a b c)r(r 为 A B C 内 切 圆 半 径)，并 可 由 此 计 算 r 考 点 一 三 角 形 的 三 线 两 圆 问 题【例 题 选 讲】例 1(1)A B C 中，A C 7，B C 2，B 60，则 B C 边 上 的 高 等 于()A 32B 3 32C 3 62D 3 394(2)在 A B C 中，若 A B 4，A C 7，B C 边 的 中 线 A D 72，则 B C _(3)在 A B C 中，B 120，A B 2，A 的 角 平 分 线 A

39、 D 3，则 A C _(4)在 A B C 中，内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，若 tan C 125，a b 13，B C 边 上 的 中 点为 D，则 sin B A C _，A D _(5)已 知 A B C 的 内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，B C 边 上 的 中 线 长 为 2 2，高 线 长 为 3，且btan A(2 c b)tan B，则 b c 的 值 为_(6)已 知 等 腰 三 角 形 的 底 边 长 为 6，一 腰 长 为 12，则 它 的 内 切 圆 面 积 为_(7)在 A B C 中，内 角 A，B，C

40、的 对 边 分 别 为 a，b，c 若 A B C 的 面 积 为 S，且 a 1，4 S b2 c21，则 A B C 外 接 圆 的 面 积 为()A 4 B 2 C D 2(8)设 A B C 内 切 圆 与 外 接 圆 的 半 径 分 别 为 r 与 R，且 sin A sin B sin C 2 3 4，则 cos C _；当 B C 1 时，A B C 的 面 积 为_(9)在 A B C 中，D 为 边 A C 上 一 点，A B A C 6，A D 4，若 A B C 的 外 心 恰 在 线 段 B D 上，则 B C _ 答 案 3 6 解 析 解 法 1 如 图 1，设 A

41、 B C 的 外 心 为 O，连 结 A O，则 A O 是 B A C 的 平 分 线，所以B OO DA BA D32，所 以 A O A B B O A B35B D A B35(A D A B)，即 A O25A B35A D，两 边 同 时 点 乘 A B得A O A B25(A B)235A B A D，即 18 2536 3564cos B A C，所 以 cos B A C 14，则 B C 36 36 262143 6(说 明：两 边 同 时 点 乘 A D也 是 一 样 的)图 1 图 2 图 3解 法 2 如 图 2，设 B A C 2，外 接 圆 的 半 径 为 R，由

42、 S A B O S A D O S A B D，得126 Rsin 124 Rsin 1264sin2，化 简 得 24cos 5 R 在 Rt A F O 中，Rcos 3，联 立 解 得 R 6510，cos 58，所 以 sin 38，所 以 B C 2 B E 2 A Bsin 12383 6 解 法 3 如 图 3，延 长 A O 交 B C 于 点 E，过 点 D 作 B C 的 垂 线，垂 足 为 F，则B OO DA BA D32，O ED FB OB D35 又 D F A E，则D FA EC DC A13，所 以O EA E15 设 O E x，则 A E 5 x，所

43、以 O B O A 4 x，所 以 B E 15 x 又因 为 25 x215 x236，所 以 x 3110，所 以 B C 2 B E 3 6(10)已 知 A B C 的 外 接 圆 半 径 为 R，且 满 足 2 R(sin2A sin2C)(2 a b)sin B，则 A B C 面 积 的 最 大 值为_【对 点 训 练】1 在 A B C 中，A B 3，B C 13，A C 4，则 A C 边 上 的 高 为_ 2 如 图 所 示，在 A B C 中，已 知 B C 15，A B A C 7 8，sin B 4 37，则 B C 边 上 的 高 A D 的 长 为_ 3(201

44、6 全 国)在 A B C 中，B 4，B C 边 上 的 高 等 于13B C，则 cos A()A 3 1010B 1010C 1010D 3 10104 在 锐 角 A B C 中，内 角，所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，b 4，c 6 且 asin B 2 3，D 为 B C 的 中 点，则A D 的 长 为_ 5 在 A B C 中，A B 7，A C 6，M 是 B C 的 中 点，A M 4，则 B C 等 于_ 6 在 A B C 中，A D 为 边 B C 上 的 中 线，A B 1，A D 5，A B C 45，则 sin A D C _，A C _ 7 在 A B

45、 C 中，已 知 A B 4 63，cos A B C 66，A C 边 上 的 中 线 B D 5，则 sin A 的 值_ 在 A B C 中，A 105，B 30，a 62，则 B 的 角 平 分 线 的 长 是_ 9 已 知 A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，A 60，b 3 c，角 A 的 平 分 线 交 B C 于 点 D，且B D 7，则 cos A D B 的 值 为()A 217B 217C 2 77D 21710 在 A B C 中，角 A，B，C 的 对 边 分 别 是 a，b，c，已 知 A 3，b 1，A B C 的 外 接 圆

46、半 径 为 1，则 A B C 的 面 积 S _ 11 在 A B C 中，内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，a 1，B 45，S A B C 2，则 A B C 的 外 接 圆直 径 为_ 12 A B C 的 两 边 长 分 别 为 2，3，其 夹 角 的 余 弦 值 为13，则 其 外 接 圆 的 直 径 为_ 13 已 知 三 角 形 两 边 长 分 别 为 1 和 3，第 三 边 上 的 中 线 长 为 1，则 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 为_ 14 A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，若 cos C 2 23，

47、bcos A acos B 2，则 A B C 的 外 接圆 面 积 为()A 4 B 8 C 9 D 3615 已 知 圆 的 半 径 为 4，a，b，c 为 该 圆 的 内 接 三 角 形 的 三 边，若 a b c 16 2，则 三 角 形 的 面 积 为_ 16 如 图 所 示，已 知 圆 内 接 四 边 形 A B C D 中 A B 3，A D 5，B D 7，B D C 45，则 B C _ 17 在 外 接 圆 半 径 为12的 A B C 中，a，b，c 分 别 为 内 角 A，B，C 的 对 边，且 2 asin A(2 b c)sin B(2 c b)sin C，则 b

48、c 的 最 大 值 是()A 1 B 12C 3 D 3218 在 A B C 中，a，b，c 分 别 为 三 个 内 角 A，B，C 的 对 边，且 B C 边 上 的 高 为36a，则cbbc取 得 最 大 值时，内 角 A 的 值 为()A 2B 6C 23D 3考 点 二 计 算 三 角 形 的 面 积【方 法 总 结】三 角 形 面 积 问 题 的 题 型 及 解 题 策 略三 角 形 的 面 积 是 与 解 三 角 形 息 息 相 关 的 内 容，经 常 出 现 在 高 考 题 中，难 度 不 大 解 题 的 前 提 条 件 是 熟练 掌 握 三 角 形 面 积 公 式，具 体 的

49、 题 型 及 解 题 策 略 为：(1)利 用 正 弦 定 理、余 弦 定 理 解 三 角 形，求 出 三 角 形 的 有 关 元 素 之 后，直 接 求 三 角 形 的 面 积，或 求 出 两边 之 积 及 夹 角 正 弦，再 求 解(2)把 面 积 作 为 已 知 条 件 之 一，与 正 弦 定 理、余 弦 定 理 结 合 求 出 三 角 形 的 其 他 各 量 面 积 公 式 中 涉 及 面积、两 边 及 两 边 夹 角 正 弦 四 个 量，结 合 已 知 条 件 列 方 程 求 解【例 题 选 讲】例 2(1)(2014 福 建)在 A B C 中，A 60，A C 4，B C 2 3

50、，则 A B C 的 面 积 等 于_ 答 案 2 3 解 析 在 A B C 中，由 正 弦 定 理 得2 3sin604sin B，解 得 sin B 1，所 以 B 90，所 以 S A B C12 A B 2 3 12 42 2 3 22 3 2 3(2)(2019 全 国)A B C 的 内 角 内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 是 a，b，c 若 b 6，a 2 c，B 3，则 B D C 的 面 积 是_ 答 案6 3解 析 由 余 弦 定 理 得2 2 22 cos b a c ac B，所 以2 2 21(2)2 2 62c c c c，即212 c，解 得2 3,