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1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷n)理科数学本试卷分第I卷(选 择 题)和 第II卷(非 选 择 题)两 部 分。满分150分，考 试 时 间120分钟。第I卷一、选择题：本 大 题 共12小题，每 小 题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)4=1 +iA.1 +2i B.1 -2i C.2+i D.2-i(2)设集合 A=(1,2,4 ,B=(x x2 -4 x+m =o L 若 B=，B=则-)A.1,3 B.1,0 C.1,3 D.1,5(3)我国古代数学名著 算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头
2、几盏灯？”意思是:一 座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数 的2倍，则塔的顶层共有灯A.1盏 B.3 盏 C.5 盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为允nA.90 B.63n nC.42 D.36D.9 盏第 1 页 共 2 6 页（2x+3y-30（5）没 y满足约束条件z-y的最J、值 是=+2&目 3 0y 3 0A.15 B.9 C,1 D.9（6）安 排 3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A.12 种 B.18
3、 种 C.24 种 D.36 种（7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成谦解成绩老师说：你们四人蔽位优秀位良好，我现在给甲看乙、丙的成微乙看丙的成绩合丁看甲的成萌后甲对大家说:道我的成绩艮据以上信息，则我还是不知7A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩=D.、丁可以知道自己的成绩（8）执行右面的程序相如果输入的a 1,则输出的S输出S2aA.2B.3-=(0 4 =D.5（9）若双曲线2 2x ya 0,b 0）的C 条渐近版2 1b结束2 2y 所截得的弦鼓,则C 的离心率为2 4A.2B.3 C.2 D.2 33第 2 奥 2 6 页(1 0)已
4、知直三棱柱 ABC-ABC 中，NABC=120,A B=2,B C=C C=,1 1 1 1 1则异面直线AB与BG所成角的余弦值为 A.玄 B.压 C.如 D.02 5 5 3(1 1)若x=-2是函数f x=x+ax-e-的极值点，则f(x)的极小值为()(1)2 x rA.-1 B.-2e C.5e D.1A(1 2)已 知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面A B C内一点,则T T +PA PB P C的最小值是A.2 B.C.D.12 3第n卷二、填空题：本 题 共4小题,每小题5分，共2 0分。(1 3)一批产品的等品 率 为0.02,从这批产品中黑虫随机取一件，有放回地抽取
5、100次，表示抽到的二等品件黎-，则D()=+._23 L J(1 4)函数f*x x(x 0,)的最大值是，siM 3 cos4 2X 1 5)等 差 数 列a的前n项和为S,a,S，则Z-=-P n 3 3 4 10k Sk=1(1 6)已知F是抛物线c y x的焦点,人 是C上一点,F M的延长线:8交y轴于点N.若M为FN的中点，则FN第 3 页 共 2 6 页三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、(一)必考题：共6 0分。(17)(12 分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(1)求 co#B _(2)若a c 6,ABC面积为2,求b.解答过程或演算步骤。A+
6、C=2.Bsin()8sin2第 4 页 共 2 6 页（18）（12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧 网 箱 养 殖 方 法 的 产 量 对 比，收获时各 随 机 抽 取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率直方图如下:旧养殖法 新养殖法（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率;（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方 法有关：箱产量 50kg箱产量为0kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精 确
7、到0.01）附:第5页 共2 6页PK 气 0.050 0.010 0.0017)k 3.841 6.635 10.8282 nfad b5)2-(a b)(c d)(a c)(b d)第 6 页 共 2 6 页(19)(12 分)如图，四棱锥P-A B C D中，侧面PA D为等比三角形且垂直于底面三角形 ABCD,=J BAD=ABC=o,E 是 PD 的中点，AB BC AD,2(1)证明：直 线CE II平 面 PAB(2)点M在 棱P C上，且直线B M与底面ABCD所成锐角为45。，求二面角M AB D的余弦值第 7 页 共 2 6 页20.(12 分)J_+y2 _ 1上，过M做
8、x轴的垂线，设O为坐标原点，动 点M在椭圆C：_ 1 2垂足为N,点P满足NP 2 NM.(1)求 点P的轨迹方程；(2)设 点Q在 直 线 上，且OP PQ 1.证明：过 点P且垂直于OQ的直线I过C的左焦点F.第8页 共2 6页21.(12 分)已知函数 f x=ax3-ax-x x 且 f(x)20.()m,(1)求 a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x,且e 2 fx 0,b0,a5+b5)4；(1)(a+b)(a(2)a+b0的最小值是（）A.-15 B.-9 C.1 D.92肝2丫-34 0【解答】解：X、y 满足约束条件 2x-3y+3的可行域如图：,y+30z=2x+y
9、经过可行域的A 时，目标函数取得最小值,第 1 2 页 共 2 6 页由S-3,2x-3y+3=0解 得 A(-6,-3),贝 U z=2x+y的最小值是：-15.故选：A.6.（5 分）（2017?新课标II）安 排 3 名志愿者完成4 项工作，每 人 至 少 完 成 1项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（）A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种【解答】解：4 项工作分成3 组，可得：c；=6，安 排 3 名志愿者完成4 项工作，每 人 至少完成1 项，每项工作由1 人完成，可得：6x A，36种.故选：D.7.（5 分）（2017?新课标口）甲、乙、丙、丁四位同
10、学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩一 乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）一乙看到了丙的成绩，知自己的成绩一丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D.第 1 3 页 共 2 6 页8.（5 分）（20
11、17?新课标II）执行如图的程序框图，如输入的 a=）,躺出的S=()/轴吵/A.2 B.3 C.4 D.5【解答】解：执行程序框图，斫 0,k=1,a=t,代入循环,第一次满足循环，S=k a=1,k=2；满足条件，第二次满足循环,S=1,a=1,k=3；满足条件，第三次满足循环,S=2,a=1,k=4；满足条件，第四次满足循环,S=2,a=),k=5；满足条件，第五次满足循环,S=3,a=1,k=6；满足条件，第六次满足循环,S=3,a=),k=7；74 6 不成立，退出循环输出，S=3；故选：B.9.（5 分）（2017?新课标II）若缆 0）的一条渐 近 线 酸 X2)A.2 B.8
12、C.2+y2=4所截得的弦为2,则的离心率为（7.2/D.)第 14契 2 6 页【解答】解：双曲线C；5-=1 （a0,b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=O,a bza（x-2）2+y2=4 的圆心（2,0）,半径为：2,4 3双曲线C：=1（a0,b 0）的一条渐近线被圆（x-2）2+y 2=4所截得的弦长为2,可得圆心到直线的距离为:解得:，可 得 e=4,即 e=2.故选：A.10.（5 分）（2017?新课标 U）已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ZABC=12O,A B=BC=fg=1,则 用 酶 线 AB娟 BCi所成角的余弦值为（）A.B.5 C.5 D.【解答】解：
13、如图所示，设 M、N、P 分别为AB,BBi和 B iG 的中点，则 ABi、B C 夹角为M N 和 N袅夹角或其补角（因异面直线所成角为（0,二）,1_ 匹可知 MN=2 ABI=2,1 V2N P=B C i=；作 BC中点Q,则PQM为直角三角形；T/PQ=1,MQ=AC,ABC中，由余弦定理得A C2=AB2+BC2-2AB?qC?cosNABC=4+1-2x 2x 1x(-=7，7Y.-.AC=l7,.,.MQ=第1 5页 共2 6页在AMQP 中，MP=J.Q2+PQ色 亨在APMISI中，由余弦定理得COSNMNP二WN2-bNP2-Pll22-NH-NPJT又异面直线所成角的
14、范围是(0,，A B i与 B G 所成角的余弦值为 母511.(5 分)(2017?新课标II)卷2 是函数f(x)=(;值点，M x)的极小值为)3 C.5e3D.1A.1-B.2e2+ax+)铲1,【解答】解：函 数 f(x)=(xx1+(x2+axl-)的，可得f 攵)=(2x+a)e曰 新，/、/2+axt)呼！的极值点，x=2是函数 f(x)=(x可得：4+a+(32a)=0.解 得 a=).xt+(x2肝)呼 1，可得f(k)=(2x1-)e,2+x2)函数的极值点为x=2,x=1,=(x当 x V 2 或 x 1 时，f )0 函数是增函数，xe(2,函数，2+a x 的 的极
15、1)时，函数是减2仟）eii=k x=1时，函数取得极小值：f(1)=(1故选：A.第 16典 2 6 页12.（5 分）（2017?新课标II）已知ABC是边为2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，MPA+而 幅 小值是（）A.2B.G.年）【解答】解：建立如图所示的坐标系，B C 中点为坐标原点，凰（0,75 B（）,0）,c（1,0）,段（x,y）,则（xPg）,=4铢，p ,PB=（仅，-PCy），则齐 弄 凫 2x 2 2 停丫 2=+（。牛 半 !.当x=0,y=哼取得最小值2x（=号 7-故选：B三、填空题：本 题 共 4 小题，每 小 题 5 分，共 20分.13.（5
16、 分）（2017?新课标II）一批产品的二等品券 0.0 2,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，瞅=1.96.【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分模型其中，p=0.02,n=100,X=npq=np(1p-)=100 x0.02x0.98=1.96.故答案为：1.96.14.（5 分）（2017?新课标II）敢 f（x）=sin2x+/3cosx 管 0,的最大值是【解答】解cosx,-37令 cosx=t 且怕 0,1,第 17典 2 6 页则（t）t 2+6+工=-（1逅）2+1,4 2当 t=W_ 时，f（t）m ax=1
17、，2即 f（x）的 最 大 值 1,故答案为：115.（5 分）（2017?新课标II）等差数列 a 的 前 n 项 狗&,a3=3,S4=10,则y工 一 匕.k=lSk-n+l-【解答】解：等差数列 a 的前n 项 羽 Sn，a3=3,S4=10,S4=2（氏+a3）=10,可得a2=2,数列的首项为1,公差为1,S n=n（n r l-1）,1 =2 _ _ r _ l_ .1）,2 Sn n（n+l）-n n+1则 1 1-1 1 .1 1 科+1 1 1=2 （1 -1）=2 nk=S k 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1故答案为：2 n .n+12=8x的焦点，M 是
18、 C 上一16.（5 分）（2017?新课标II）已 知 F 是抛物线C：v点，FM 的延长线突轴于点N.若 M 为 FN 的中点，=6-【解答】解：抛 物 线 c：=8 x的焦点F（2.0）,M 是 C 上一点 FM 的延长线 四 于 点 N.若 M 为 FN的中点，可 知 M 的横坐标为：1,则 的纵坐标为：2,|FN|=2|FM|=2/u-2 产+（土2 近-0）=6.故答案为：6.三、解答题：共 7 0 分.解答应写出文字说明、解答过程或演算骤第 1 7 2 1题为必做题，每个试题考生都必侬答.第 2 2、2 3 题为选考题，考生据塞作 答.（一）必考题：共6 0 分.17.（12分）
19、（2017?新课标II）ABC 的内角A,B,C 的对砂粥a,b,B可.c,已知 sin（A+C）=8sin-(1)求 cosB；(2)若 a+c=6,ABC 面积 2,求 b.第18契2 6页出,【解答】解：(1)sin(A+C)=8sin 2.*.sinB=4(1 -cosB),.s.in2B+cos2B=1,2+cos2B=1,/.1 6(1-cosB).(17c嫡-15)(cosB-1)=0,17cosB=；TV(2)由(f )可知 sinB=,7,SAA舒 ac?sinB=2,T.ac=,I7 15T 17.,2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2x x.b2+c2-15=(
20、a+c)2-2ac-15=36-17-15=4,=a：.b=2.18.（12分）（2017?新课标口）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单旧养殖法邦养殖法（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表 示 事 件“旧养殖法的箱产量低于 50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A 的概率：箱产量 50kg（2）嗔写下面列朕表，并 未方法有关:-p据列联表判断是否有_ _ 9a的把握认为箱产量与养殖第 1 9 页 共 2 6 页箱产量250kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位
21、数的估计值精确 到 0.01).附：2 k)P(K-0.0500.0100.001K3.8416.63510.82822_ n(ad-bc)-K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】解：(1)比表示事件“旧养殖法的箱产量低39kg”,C 表示事件新养殖法的箱产量不低50kg；由 p(A)=P(BC)=P(B)P(C),贝|J旧养殖法的箱产量低yUkg：(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)x5=0.62,故 P(B)的估计值62,新养殖法的箱产量不低39kg：(0.068+0.046+0.010+0.008)x 5=0.66,故 P(C)的估计博，则事件 A
22、的概率估计值 P(A)=P(B)P(C)=0.62x0.66=0.4092；.A 发生的概率为0.4092；#-96-W4-206200(62X66-38X34)22x2列联表4*仔 声、一 二CI.L -壮-_f-1 乂 小 必 _ _ _ _ _ _ _相J Sibvkg相,星,2.uvKg oabzooIOU新 乔 恒 生34bb1UU则长人 100X100X96X104=15.705,由 15.7056.635,.有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关第 20典 2 6 页(3)由题意可知：方法一：而=5x(37.5x0.004+42.5x0.020+47.5x0.044+52.5x
23、0.068+57.5x 0.046+62.5x 0.010+67.5x 0.008),=5x10.47,=52.35(k g).新养殖法箱产量的中位数的估债 52.35(kg)方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg的直方图的面积：(0.004+0.020+0,044)、5=0.034,箱产量低于55kg的直方图面积为：(0.004+0.020+0.044+0.068)x 5=0.68 0.5,故新养殖法产量的中位数的估债为：50+52.35(k g),u.Ubo新养殖法箱产量的中位数的估镣 52.35(kg).19.(12分)(2017?新课标I I)如图，四棱淤BC
24、D中，侧 面 PAD为皴三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC=T-AD,N BAD=NABC=90,E 是 PD的中点.(1)证明：直辨|平 面 PAB；(2)点 M 在 棱 P C 上，且 直 触 与 底 面 ABCD所成角为45,求二面角M-ABD的余弦值.【解答】(1)证明：熟 的中点F,连BF,B F,因 为 E 是 PD的中点,所以 EF 栏 AD,AB=BC=,AD,zBAD=zABC=90.BCEF是平行四边形，可E|BF,B F?平 面 PAB,CF?平 面 PAB,直辨|平 面 PAB；第 21典 2 6 页（2）解：四 棱 锥 P-ABCD中，侧 面 PAD为等边三角形
25、且垂直于底面 ABCD,AB=BC=1AD,2Z BAD=ZABC=9O,E 是 PD 的中点.取 A D 的中点0,M 在底面ABCD上的射影N 在 0 C 上 设AD=2,则AB=BC=1,0P=V3,.-.ZPCO=60,直 线 B M 与底面ABCD所成角为45,可得：BN=MN,CN=2：/IMN,BC=1,3徂 D.4TM2=BN2,B N=M N=&口 J 得：1 +N作 N Q AB于 Q,连 接 MQ,所以NMQN就是二面角M-AB-D 的平面角,Vio=-2-二面角M-AB-D 的余弦值为：710=20.（12分）（2017?新课标n）设 O 为坐标原点，动 点 M 在椭圆
26、C：2+y上，过 M 做 x 轴的垂线，垂 足 为 N,点 P 满足=笫 2 2 页 共 2 6 页(1)求 点 P 的轨迹方程;(2)设 点 Q 在直然3 上，且？81r.p耻明：过 点 P 且垂直于0 Q 的直线I 过 C 的左焦点F.【解答】解：(1)设 M(xo，y o),由题意可得N(xo，0),设 P(x,y)，由 点 P 满 足 而 6而可 得(XXD，y)=,/0,y ),可得 XXD=0,y=M即有 xo=x,yo=-L,2 2 2代入椭圆方程f+y 2 可 得 沙 皇 12+y2=2；即有点P 的轨迹方程阚X(2),证明:设 Q(3,m),P(cosa sin a),(04
27、 O2TT),OP PQ 42 y/2 V2 V2?=1,可 得(cosa sin d?(3cosa msin d=1,V2 2 V2 2即为解得即有ccSCflaccfc(3rfeina2sin a=1,V 2sin0.21.(12分)(2017?新课标U 已知函数f(x)=a x(1)求 a；2f(Xo)0),第23熨2 6页则（x）2 0 等价于 h（x）=axalnx 0,因为H&)=a,-曲 O V x V的收)上0、当x M(k)0,工x a a所以 h(X)min=h(),a又因为 h(1)=aalfi1=0.所以 =1,解 得a=1 ；a(/2c、)证-rn明n：由*.(/1、
28、)可一rw知,fr (/x)、=x2xxlnx,fM)=2x2lnx,令 fik)=0,可得 2x21nx=0,fe(x)=2xKnx,则K)=2,-:令攵)=0,解得：x=77所以t (x)在区间(0,多 上 单 调 递 减，在(p +8)上单调递增，所以t (x)min=t(；)=ln2Y0,从 而t (x)=0有解，即fJk)=0存在两根Xo，X2，且不妨饺!k)在(0,Xo)上为正、在(Xo，X2)上为负、在(X2，Z)上为正，所以f (x)必存在唯一极大值点，且 2XOZHXO=O,所以 f (xo)=摩郴1nxo=xo+2xo2 x亍Xo，-由 XoV1 可知 f(xo)色 卢 =
29、由 f(L)V 0 可知 x0 f()=L；e e2上所述，f(x)存在唯一的极大值点，1(-)选考题：共10分.请 考 生 在 第22、23题中任选一题作答.如果做，按所做的第一题计分.选整4：坐标系与参数方程(2 2x0 x0_ L工工：22 2 4(Xo,工)上单调递减,e2 f（X 0）0,b0,a5+b5)4；(1)(a+b)(a(2)a+b(+)【解答】斗 疑 出 夺 由柯西不等式得：(a+b)(a2=(矛+b3)2 4,当且仅当,即 a=b=1时取等号,第 25典 2 6 页(2)/a3+b3=2,:.(a+b)2ab+b2)=2,23ab=2,(a+b)(a+b)/b、33ab(a+b)=2,(a+b)(a4b 尸-2:a =ab,(ab 尸-2由均值不等式可得亍abv30+b)3(a fb)33?4/.(a+b)14 34 2,(a+b)a+b22/.a+b 2,当且仅当a=b=1时等号成立.第 26典 2 6 页